MATEMATİK
ORTAÖĞRETİM
MATEMATİK
9. SINIF
DERS KİTABI
YAZARLAR
Havva AYTAR Sibel ARSLANTAŞ
D İ K E Y Y A Y I N C I L I K
Bu kitap, Millî Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı’nın 08.12.2011 tarih ve
224 sayılı kurul kararıyla 2012-2013 öğretim yılından itibaren 5 (beş) yıl süreyle ders kitabı
olarak kabul edilmiştir.ISBN: 978-975-9168-04-9
Editör
Melek GÜLBAHAR
Dil Uzmanı
Kürşat EFE
Görsel Tasarım Uzmanı
Yrd. Doc. Dr. Anıl ERTOK ATMACA
Program Geliştirme Uzmanı
Yusuf SARIGÜNEY
Ölçme Değerlendirme Uzmanı
Kenan GEDİK
Rehberlik / Gelişim Uzmanı
Filiz YILMAZ
Kavacık Subayevleri Mah. Fahrettin Altay Cad. Nu.: 4/8 Keçiören/ANKARA
tel.: (0.312) 318 51 51- 50 • Belgeç : 318 52 51
D İ K E Y Y A Y I N C I L I K
Her hakkı saklıdır ve DİKEY YAYINCILIK SAN. ve TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. İçindeki şekil,
yazı, metin ve grafikler, yayın evinin izni olmadan alınamaz; fotokopi, teksir, film şeklinde ve
başka hiçbir şekilde çoğaltılamaz, basılamaz ve yayımlanamaz.3
Korkma, sönmez bu şafaklarda yüzen al sancak;
Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak.
O benim milletimin yıldızıdır, parlayacak;
O benimdir, o benim milletimindir ancak.
Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilâl!
Kahraman ırkıma bir gül! Ne bu şiddet, bu celâl?
Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helâl...
Hakkıdır, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!
Ben ezelden beridir hür yaşadım, hür yaşarım.
Hangi çılgın bana zincir vuracakmış? Şaşarım!
Kükremiş sel gibiyim, bendimi çiğner, aşarım.
Yırtarım dağları, enginlere sığmam, taşarım.
Garbın âfâkını sarmışsa çelik zırhlı duvar,
Benim iman dolu göğsüm gibi serhaddim var.
Ulusun, korkma! Nasıl böyle bir imanı boğar,
“Medeniyet!” dediğin tek dişi kalmış canavar?
Arkadaş! Yurduma alçakları uğratma, sakın.
Siper et gövdeni, dursun bu hayâsızca akın.
Doğacaktır sana va’dettiği günler Hakk’ın...
Kim bilir, belki yarın, belki yarından da yakın.
Bastığın yerleri “toprak!” diyerek geçme, tanı:
Düşün altındaki binlerce kefensiz yatanı.
Sen şehit oğlusun, incitme, yazıktır, atanı:
Verme, dünyaları alsan da, bu cennet vatanı.
Kim bu cennet vatanın uğruna olmaz ki fedâ?
Şühedâ fışkıracak toprağı sıksan, şühedâ!
Cânı, cânânı, bütün varımı alsın da Huda,
Etmesin tek vatanımdan beni dünyada cüdâ.
Ruhumun senden, İlâhi, şudur ancak emeli:
Değmesin mabedimin göğsüne nâmahrem eli.
Bu ezanlar -ki şahadetleri dinin temeliEbedî yurdumun üstünde benim inlemeli.
O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- taşım,
Her cerîhamdan, İlâhi, boşanıp kanlı yaşım,
Fışkırır ruh-ı mücerred gibi yerden na’şım;
O zaman yükselerek arşa değer belki başım.
Dalgalan sen de şafaklar gibi ey şanlı hilâl!
Olsun artık dökülen kanlarımın hepsi helâl.
Ebediyen sana yok, ırkıma yok izmihlâl:
Hakkıdır, hür yaşamış, bayrağımın hürriyet;
Hakkıdır, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!
Mehmet Âkif ERSOY
İSTİKLÂLMARŞI4
ATATÜRK’ÜN GENÇLİĞE HİTABESİ
Ey Türk gençliği! Birinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk cumhuriyetini,
ilelebet, muhafaza ve müdafaa etmektir.
Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel, senin, en
kıymetli hazinendir. İstikbalde dahi, seni, bu hazineden, mahrum etmek isteyecek, dahilî ve haricî, bedhahların olacaktır. Bir gün, istiklâl ve cumhuriyeti mü-
dafaa mecburiyetine düşersen, vazifeye atılmak için, içinde bulunacağın vaziyetin imkân ve şeraitini düşünmeyeceksin! Bu imkân ve şerait, çok nâmüsait
bir mahiyette tezahür edebilir. İstiklâl ve cumhuriyetine kastedecek düşmanlar,
bütün dünyada emsali görülmemiş bir galibiyetin mümessili olabilirler. Cebren
ve hile ile aziz vatanın, bütün kaleleri zapt edilmiş, bütün tersanelerine girilmiş, bütün orduları dağıtılmış ve memleketin her köşesi bilfiil işgal edilmiş
olabilir. Bütün bu şeraitten daha elîm ve daha vahim olmak üzere, memleketin
dahilinde, iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hattâ hıyanet içinde bulunabilirler. Hattâ bu iktidar sahipleri şahsî menfaatlerini, müstevlilerin siyasî
emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde harap ve bîtap düş-
müş olabilir.
Ey Türk istikbalinin evlâdı! İşte, bu ahval ve şerait içinde dahi, vazifen;
Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmaktır! Muhtaç olduğun kudret, damarlarındaki asîl kanda, mevcuttur! 5
MUSTAFA KEMAL ATATÜRK6
‹Ç‹NDEK‹LER
ORGANİZASYON ŞEMASI...................................................................................................... 9
1. BÖLÜM : MANTIK
ÖNERMELER ........................................................................................................................ 11
Önerme ............................................................................................................................ 12
Önermelerin Doğruluk Değeri ........................................................................................ 13
Denk Önermeler .............................................................................................................. 14
Bir Önermenin Olumsuzu (Değili).................................................................................. 14
ALIŞTIRMALAR ................................................................................................................15
BİLEŞİK ÖNERMELER ..........................................................................................................16
Bileşik Önerme .............................................................................................................. 16
“Ve”, “Veya” Bağlaçları .................................................................................................. 17
“Ve”, “Veya” Bağlaçlarının Özellikleri ............................................................................19
Koşullu Önerme .............................................................................................................. 22
İki Yönlü Koşullu Önerme .............................................................................................. 25
Totoloji ve Çelişki ............................................................................................................ 27
ALIŞTIRMALAR .............................................................................................................. 29
AÇIK ÖNERMELER .............................................................................................................. 30
Açık Önerme .................................................................................................................. 30
Niceleyiciler...................................................................................................................... 31
ALIŞTIRMALAR................................................................................................................ 33
TANIM, AKSİYOM, TEOREM VE İSPAT .............................................................................. 34
Tanım, Aksiyom ve Teorem .......................................................................................... 34
İspat Yöntemleri .............................................................................................................. 37
ALIŞTIRMALAR................................................................................................................ 37
1. TEST .................................................................................................................................. 38
2. BÖLÜM : KÜMELER
KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR .................................................................................... 39
Küme Kavramı ................................................................................................................ 39
Kümelerin Gösterilişi ...................................................................................................... 40
Sonlu ve Sonsuz Kümeler .............................................................................................. 41
Alt Küme .......................................................................................................................... 42
Eşit ve Denk Kümeler .................................................................................................... 46
ALIŞTIRMALAR................................................................................................................ 47
KÜMELERDE İŞLEMLER ...................................................................................................... 48
İki Kümenin Birleşimi...................................................................................................... 49
İki Kümenin Kesişimi ...................................................................................................... 49
Birleşim ve Kesişim İşlemlerinin Özellikleri ................................................................ 50
İki veya Üç Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısı ...................................................... 51
Evrensel Küme ve Bir Kümenin Tümleyeni.................................................................. 54
Tümleme İşleminin Özellikleri........................................................................................ 56
İki Kümenin Farkı ............................................................................................................ 58
Fark İşleminin Özellikleri ................................................................................................ 60
Kümeler ile İlgili Problemler .......................................................................................... 61
ALIŞTIRMALAR................................................................................................................ 63
2. TEST .................................................................................................................................. 647
3. BÖLÜM : BAĞINTI, FONKSİYON VE İŞLEM
KARTEZYEN ÇARPIM .......................................................................................................... 65
Sıralı İkili .......................................................................................................................... 65
İki Kümenin Kartezyen Çarpımı .................................................................................... 66
ALIŞTIRMALAR................................................................................................................ 70
BAĞINTI ................................................................................................................................ 71
Bağıntı .............................................................................................................................. 71
Bağıntının Şeması ve Grafiği ........................................................................................ 72
Bağıntının Tersi................................................................................................................ 73
Bağıntının Özellikleri ...................................................................................................... 74
ALIŞTIRMALAR................................................................................................................ 81
FONKSİYON .......................................................................................................................... 83
Fonksiyon ........................................................................................................................ 83
Bir Fonksiyonun Grafiği ................................................................................................ 87
Fonksiyon Türleri ............................................................................................................ 90
ALIŞTIRMALAR................................................................................................................ 98
İŞLEM .................................................................................................................................... 99
İşlem ................................................................................................................................ 99
İşlemin Özellikleri .......................................................................................................... 101
ALIŞTIRMALAR.............................................................................................................. 108
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER ........................................................................................ 109
Fonksiyonların Bileşkesi .............................................................................................. 109
Bir Fonksiyonun Tersi .................................................................................................. 114
Fonksiyonlarda Dört İşlem .......................................................................................... 125
ALIŞTIRMALAR.............................................................................................................. 127
3. TEST ................................................................................................................................ 130
4. BÖLÜM : SAYILAR
DOĞAL SAYILAR ................................................................................................................ 133
Doğal Sayıların Pozitif Sayı Kuvvetleri........................................................................ 133
Taban Aritmetiği ............................................................................................................ 135
Asal Sayılar .................................................................................................................... 138
Bölünebilme Kuralları .................................................................................................. 142
OBEB ve OKEK.............................................................................................................. 151
ALIŞTIRMALAR.............................................................................................................. 154
TAM SAYILAR ...................................................................................................................... 155
Tam Sayılar Kümesinde Toplama İşlemi .................................................................... 156
Tam Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri.............................................. 157
Tam Sayılar Kümesinde Çarpma İşlemi ...................................................................... 158
Tam Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Özellikleri .............................................. 158
Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi .................................................................... 159
Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi ........................................................................ 160
ALIŞTIRMALAR.............................................................................................................. 161
MODÜLER ARİTMETİK ...................................................................................................... 162
Modül Kavramı ve Kalan Sınıfları .............................................................................. 162
Modüler Aritmetik ile İlgili Özellikler............................................................................ 164
Z / m Kümesinde İşlemler ............................................................................................ 168
Toplama ve Çarpma İşleminin Özellikleri.................................................................... 169
ALIŞTIRMALAR.............................................................................................................. 1718
RASYONEL SAYILAR.......................................................................................................... 172
Rasyonel Sayı Kavramı ................................................................................................ 173
Rasyonel Sayılar Kümesinde Toplama İşlemi ............................................................ 174
Rasyonel Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri .................................... 175
Rasyonel Sayılar Kümesinde Çarpma İşlemi ............................................................ 177
Rasyonel Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Özellikleri...................................... 178
Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ............................................................ 181
Rasyonel Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi................................................................ 181
Rasyonel Sayılarda Sıralama ...................................................................................... 184
Rasyonel Sayıların Yoğunluğu .................................................................................... 186
Rasyonel Sayıların Ondalık Açılımı ............................................................................ 186
ALIŞTIRMALAR.............................................................................................................. 189
GERÇEK SAYILAR .............................................................................................................. 190
Gerçek Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri ........................................ 192
Gerçek Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Özellikleri.......................................... 193
Gerçek Sayılarda Eşitsizliğin Özellikleri .................................................................... 194
Gerçek Sayı Aralıkları .................................................................................................. 196
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ve Eşitsizlikler .............................. 199
ALIŞTIRMALAR.............................................................................................................. 206
MUTLAK DEĞER ................................................................................................................ 207
Mutlak Değer Kavramı .................................................................................................. 207
Mutlak Değerin Özellikleri ............................................................................................ 208
ALIŞTIRMALAR.............................................................................................................. 215
ÜSLÜ SAYILAR.................................................................................................................... 216
Üslü Sayıların Eşitliği.................................................................................................... 219
ALIŞTIRMALAR.............................................................................................................. 223
KÖKLÜ SAYILAR ................................................................................................................ 224
Köklü İfadelere Ait Bazı Özellikler .............................................................................. 226
Bir Gerçek Sayının n. Kuvvetten Kökü ...................................................................... 229
n. Kuvvetten Kökle İlgili Bazı Özellikler ...................................................................... 230
ALIŞTIRMALAR.............................................................................................................. 234
ORAN VE ORANTI .............................................................................................................. 235
Orantı Çeşitleri .............................................................................................................. 236
Bileşik Orantı ..................................................................................................................238
Aritmetik Ortalama ........................................................................................................ 238
Geometrik Ortalama ...................................................................................................... 239
Orantının Özellikleri ...................................................................................................... 240
ALIŞTIRMALAR.............................................................................................................. 241
PROBLEMLER .................................................................................................................... 241
Sayı Problemleri ............................................................................................................ 241
Yüzde – Faiz Problemleri.............................................................................................. 243
Hareket Problemleri ...................................................................................................... 245
Yaş Problemleri ............................................................................................................ 248
Karışım Problemleri ...................................................................................................... 250
Kâr – Zarar Problemleri..................................................................................................251
İşçi-Havuz Problemleri ..................................................................................................253
ALIŞTIRMALAR.............................................................................................................. 254
4. TEST ................................................................................................................................ 255
SÖZLÜK.......................................................................................................................... 258
KAYNAKÇA .................................................................................................................... 260
SEMBOLLER.................................................................................................................. 260
CEVAP ANAHTARLARI.................................................................................................. 26139
KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR
Canlılar; bitkiler, hayvanlar, mantarlar ve tek
hücreliler olmak üzere dört gruba ayrılır.
Bu gruplandırmanın nasıl bir yararı vardır?
Gruplandırmalar neye göre yapılmıştır?
Mantarlar ya da bitkiler dendiğinde herkesin
aynı şeyi anlamasının sebebi nedir?
Küme Kavramı
Aşağıdaki tabloda Türkiye’nin bazı illeri verilmiştir.
Tablodan, Türkiye’nin doğusunda bulunan illeri belirleyiniz.
Belirlediğiniz illeri { } şeklinde bir parantez içinde, aralarına virgül koyarak yazınız.
Tablodan, Türkiye’nin kuzeyinde bulunan illeri belirleyiniz.
Belirlediğiniz illeri kapalı bir eğri içinde önlerine nokta koyarak yazınız.
Tablodan, Türkiye’nin güneyinde bulunan illeri bir açık önerme yardımıyla yazınız.
Oluşturduğunuz bu toplulukları A, B, C, D, ... gibi büyük harflerle adlandırınız.
Bu topluluklardaki illeri teker teker yazmak yerine ortak özellikleri yardımıyla nasıl ifade edersiniz?
Bu topluluklarda kaçar tane eleman olduğunu bulunuz.
Örnek : 0 ile 100 arasındaki bazı sayılardan bir topluluk oluşturalım.
Çözüm : Topluluğun hangi sayılardan oluşacağı açık ve kesin olarak belirtilmediğinden herkes değişik sayı-
lardan bir topluluk oluşturabilir.
Örnek : 0 ile 100 arasındaki kareleri çift olan sayılardan bir topluluk oluşturalım.
Çözüm : 0 ile 100 arasında kareleri çift olan sayılar 2, 4, 6, ..., 98 sayılarından oluşan topluluktur. Bu topluluk açık ve kesin olarak bellidir.
Van Samsun Sinop Kastamonu
Antalya Hatay Kilis Bitlis
Mersin Bartın Adana Ağrı
Ordu Muş Giresun Iğdır
Küme, birbirinden farklı ve iyi tanımlanmış nesnelerden oluşan bir topluluktur. Kümeler
genel olarak A, B, C, ... gibi harflerle gösterilir.
Kümeyi oluşturan nesnelerin her biri kümenin elemanlarıdır.
Bir a nesnesi A kümesine ait ise a ∈A (a eleman A) biçiminde gösterilir. Bir b nesnesi A
kümesine ait değilse b ∉A (b elemanı değil A) biçiminde gösterilir.
2. BÖLÜM KÜMELER
9
ORGANİZASYON ŞEMASI
161
Örnek : a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. Buna göre 5b + 6a + c = 35 denklemini
sağlayan en büyük ve en küçük c değerlerini bulalım.
Çözüm
c sayısının en büyük olabilmesi için a ve b değerleri en küçük seçilmelidir. Buna göre a = 1 ve b = 2
seçilirse 5 . 2 + 6 . 1 + c = 35 ⇒ c = 19 bulunur.
c sayısının en küçük olabilmesi için a ve b değerleri en büyük seçilmelidir. Buna göre a = 3 ve
b = 2 seçilirse 5 . 2 + 6 . 3 + c = 35 ⇒ c = 7 bulunur.
Örnek : a, b ve c sıfırdan farklı pozitif tam sayılar ve
olduğuna göre a sayısının alabileceği en küçük tam sayı değerini bulalım.
Çözüm
a = 5b + 3 ve b = 7c + 2 ⇒ a = 5 (7c + 2) + 3 ⇒ a = 35c + 13 tür.
c > 2 olduğundan c = 3 seçilirse a = 35 . 3 + 13 = 118 olarak bulunur.
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a. b.
c. ç.
2. kesrini tam sayı yapan a tam sayılarını bulunuz.
3. olmak üzere x . y = 35 , y + z = –13 ise z . x + z . y ifadesinin alabileceği en büyük
değer kaçtır?
Yandaki bölme işleminde, c + k kaçtır?
5. a bir çift tam sayı ise ifadesi çift midir?
6. Ardışık 10 tane tek sayının toplamı 240 ise bu sayıların en küçüğü kaçtır?
20 5 - +a
2
] g
xyz Z , , !
-
a
3
3 15 +
-- + -+ - + 8 5 1 3 7 2 3 15 : :
$
-- + -- - 15 3 2 7 3 2 : 5 ? 6 ] g @
$
6 @ ] g
- - - - -- -- - 7 3 4 1 3 8 12 4 : :
$
4 5 1 3 75 5 - + - -- + -: 6 6 ] g ] g@ @ ] g ] g
$
] ]] g gg 6 @
A, B, C, K!N, B ! 0 ve 0 ≤ K < B olmak üzere
ise A = B . C + K dır.
Bir bölme işleminde elde edilen kalan ya sıfırdır ya da bölen sayıdan daha
küçük pozitif bir tam sayıdır.
a 5
b
3
b c
7
2
abababab ab
c
k
4.
A
K
B
C
Öğrencinin kendini deneyebileceği, alt öğrenme alanını kapsayan soruların bulunduğu bölüm
Konu ile ilgili tanımların ve
özet bilgilerin verildiği bölüm
Kavramların pekiştirildiği,
öğrenilen konularla ilgili kalıcı
bilgilerin oluşturulduğu bölüm
Ünitenin adı Ünite numarası
Etkinlik logosu
Girişte bahsedilen kavramlarla ilgili matematiksel sorular yardımıyla ipuçlarının verildiği, öğrenilecek kavramların temel özelliklerinin ortaya çıkarıldığı bölüm
İşlenecek konudaki kavramların neler olduğu ve bu konuların pratik hayatta nerelerde kullanıldığını açıklayan çalışmalar
Etkinlik basamağı
Sonuca yada bilgiye
ulaştıran bölüm10
Bölüm ile ilgili değerlendirme
yapma çalışması
Etkinlik logosu
Tanım, bilgi, özellik
Özlü söz
Motivasyon logosu
Alıştırma logosu
Kitapta Kullan›lan Logolar
AxB
B
3
2
1
a b c
A
130
3. TEST
1. a ve b pozitif tam sayı olmak üzere (2a + b, 4) = (11, a – b) ise (a,b) ikilisi nedir?
A. (5,1) B. (1,5) C. (2,3) D. (1,–5) E. (2,6)
2. s(A) = 7 ve s(B) = 8 ise A x B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A. 7 B. 8 C. 15 D. 56 E. 78
3. A = {x : x | 10 , x ∈ N} ve s(A x B) = 4 ise s(B) kaçtır?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
4. A = {3, 5, 6, 7} ve B = {0, 2, 4, 6, 7} olmak üzere aşağıdakilerden hangisi B x A kümesinin elemanı olamaz?
A. (0,5) B. (2,6) C. (8,7) D. (4,3) E. (6,5)
5. A = {1, 2, 3, 4} ve B = {a, b, c, d} ise aşağıdaki bağıntılardan hangisi A dan B ye bir bağıntı değildir?
A. α = {(1,a) , (2,b) , (b,2)} B. β = {(3,c) , (3,d) , (2,a)}
C. = {(1,a) , (1,b) , (1,c)} D. θ = {(1,a) , (4,d)}
E. ψ = {(1,a) , (2,b) , (3,c) , (4,d)}
6. A = {a, b} olmak üzere A kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi yansıyan de-
ğildir?
A. α1
= {(a,a) , (b,b)} B. α2
= {(a,a) , (b,b) , (b,a)}
C. α3
= {(a,a) , (b,a) , (a,b)} D. α4
= {(a,a) , (a,b) , (b,b) , (b,a)}
E. α5
= {(b,a) , (b,b) , (a,a)}
7. A = {1, 2, 3} olmak üzere A kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi yansıyan, simetrik ve geçişkendir?
A. α1
= {(1,1) , (2,2) , (3,3)} B. α2
= {(1,1) , (1,2) , (1,3)}
C. α3
= {(1,2) , (2,1) , (1,3) , (3,1) } D. α4
= {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4)}
E. α5
= {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (3,1)}
8. Yandaki grafiğe göre A kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
A. 3 B. 8 C. 9
D. 16 E. 64
α11
ÖNERMELER
– Bir küp buldum.
– Bir kenar uzunluğu kaç cm?
– Ne önemi var? İçinden altın çıktı.
– İyi ya hacmini bulup değerini hesaplarız.
– Ama kenarı yok ki bunun.
– Nasıl yok! Küpün 12 kenarı vardır.
Yukarıdaki baba-oğulun iletişimindeki problem sizce nedir?
Yukarıdaki cümlelerden hangisi kesim bir hüküm bildiriyor? Açıklayınız.
Terim
Ay Dünya’nın uydusudur.
Doğru noktalardan oluşur.
Su 100 °C de kaynar.
Küp 16 yüzlü bir cisimdir.
Paralel iki doğrudan birini kesen düzlem diğerini de keser.
Yukarıdaki cümlelerde farklı yerlerde özel anlam kazanan kelime ya da kelimeleri belirleyiniz?
Bu sözcüklerin her biri tanımlanabilir mi? Açıklayınız.
Belirlediğiniz kelimelerin hangi bilim dalında anlamlı olduğunu söyleyiniz.
Bir bilim dalı için kullandığınız kelimeyi başka bir bilim dalı için kullanırsanız kendinizi doğru ifade
edebilir misiniz? Açıklayınız.
Örnek : Yamuk, ışın, kültür, küp terimlerinin anlamlarını inceleyelim.
Çözüm : Yamuk, konuşma dilinde “bir yana doğru eğik olan” anlamına gelir. Fakat matematikte yamuk,
“karşılıklı kenarlardan en az bir çifti paralel olan dörtgen” anlamını kazanarak matematiğin bir terimi olmuştur.
Işın, konuşma dilinde “bir ışık kaynağından çıkarak her yöne yayılıp giden ışık demeti” anlamında
kullanılır. Fakat matematikte “bir noktadan çıkıp sonsuza giden yarım doğrulardan her biri” anlamını kazanır.
1. BÖLÜM MANTIK
12
Kültür, konuşma dilinde “bir toplumun maddi ve manevi birikimlerinin bütünü” anlamında kullanılır.
Biyolojide ise “bir canlının yapay bir ortamda çoğaltılması” anlamındadır.
Küp, konuşma dilinde “su, pekmez, yağ gibi sıvıları veya un, buğday gibi tahılları saklamaya yarayan, geniş karınlı, dibi dar toprak kap” anlamında kullanılır. Matematikte ise “altı yüzü de kare olan bir
çok yüzlü” anlamını kazanır.
Yukarıdaki örnekte bazı terimleri tanımladık. Bunlar evrensel olarak tanımlanabilen, tanımı evrensel
kabul görmüş terimlerdir. Fakat bazı terimleri tanımlayamayız, sezgi ile kavrarız ve bu terimleri olduğu
gibi kabul ederiz. “Nokta”, “doğru”, “düzlem”, “değişken” sezgi ile kavradığımız terimlerdendir. Örneğin
düzlemi tanımlamak için hangi ifadeyi kullanırsak kullanalım bu ifade eksik kalacaktır.
Konuşma dilinde farklı kelimeleri aynı anlamda kullandığımız gibi bazen de aynı kelimeyi farklı anlamlarda kullanırız. Bazı kelimeler de belirli bilim dallarında özel anlam kazanır. Doğru kelimesi, konuş-
ma dilinde dürüst anlamında kullanılabileceği gibi yanlışın karşıtı olarak da kullanılabilir. Fakat matematikteki anlamı daha başkadır.
Örnek : “Açı”, “dörtgen”, “çember”, “asal sayı”, “alt küme” matematikteki tanımlı terimlere örnek olarak
verilebilir.
Önerme
Ay Dünya’nın uydusudur. Bugün pazartesidir.
Bugün sinemaya gidelim. 5 + 2 = 15 tir.
Yukarıdaki cümlelerden hangileri doğru veya yanlış yargı bildirir? Belirleyiniz.
“5 + 2 = 15 tir.” cümlesinin yanlış olması yargı bildirmesine engel midir? Nedenini açıklayınız.
Kesin bir hüküm verebileceğimiz ifadelere ne ad verilir?
Yargı bildiren bir cümlenin doğruluğu ile ilgili kaç tane değer vardır? Açıklayınız.
Yukarıdaki cümleleri doğru veya yanlış yargı bildirmesi yönüyle sınıflandırınız. Bu sınıflamaya göre
hangi cümlelerin denk olduğunu söyleyiniz.
Yukarıdaki cümlelerin olumsuzlarını söyleyiniz.
“Değildir” sözcüğünün bir cümle üzerindeki etkisi nedir? Açıklayınız.
Bir cümlenin olumsuzunu nasıl isimlendirebilirsiniz? Arkadaşlarınızla tartışınız.
Örnek : “Bir çırak bir ustayı değerlendirebilir mi?” ve “5 ile 7 toplanınca sonuç 12 olur.” cümlelerin yargı bildirip bildirmediğini belirleyelim.
Çözüm : Örnekteki birinci cümle soru cümlesidir. Bu yüzden yargı bildirmez. İkinci cümle yargı cümlesidir.
Örnek : Aşağıdaki cümlelerin hangilerinin kesin olarak doğru ya da yanlış olduğunu belirleyelim.
a. “Ankara, Türkiye’nin başkentidir.” b. “2 den başka çift olan asal sayı yoktur.”
c. “–15 > 10 dur.” ç. “Bayramınız kutlu olsun.”
Bir terimin evrensel kabul görmüş bir tanımı varsa bu terime tanımlı terim denir.
Sezgi yolu ile kavranabilen terimler tanımsız terimlerdir.
Belirli bir bilim dalında özel anlam kazanan kelimeler o bilim dalının terimleridir.13
Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadeler önerme olarak
adlandırılır.
Önermeler; p, q, r, ... gibi küçük harflerle gösterilirler.
Çözüm : Yukarıda a ve b de belirtilen cümleler kesin olarak doğrudur. c deki cümle kesinlikle yanlıştır.
ç de belirtilen cümle ise doğru ya da yanlış hüküm bildirmez.
Örnek : Yandaki altın fiyatlarını gösteren grafiğe göre aşağıdaki ifadelerin önerme olup olmadığını belirleyelim.
a. p : “1 Eylül ile 7 Eylül tarihleri arasında 24 ayar
altının en yüksek gram fiyatı 29,75 TL olmuştur.”
b. r : “En iyi yatırım altına yapılan yatırım mıdır?”
Çözüm :Bu ifadelerden p kesin hüküm bildirdiğinden bir önermedir. r ifadesi ise kesin hüküm bildirmediğinden önerme değildir.
Önermelerin Doğruluk Değeri
Örnek : Aşağıdaki önermelerin hükümlerini doğruluk ve yanlışlık yönüyle inceleyelim.
p: “33
= 27 dir.”
q: “Bursa şehrinin Marmara Denizi’ne kıyısı yoktur.”
Çözüm :Yukarıdaki önermelerden p önermesi doğru, q önermesi ise yanlış hüküm bildirmektedir.
24 AYAR ALTIN (TL / gr)
29,45 29,5 29,35 29,75 30,05 29,60
1 Eylül 2 Eylül 4 Eylül 5 Eylül 6 Eylül 7 Eylül
1 Eylül - 7 Eylül arası altın fiyatları
p önermesinin
doğruluk tablosu
Doğru D 1
Yanlış Y 0
Bir önermenin doğru ya da yanlış olması, bu önermenin doğruluk değeridir. Önerme doğru ise doğruluk değeri “1” ya da “D” ile, yanlış ise doğruluk değeri “0” ya da
“Y” ile gösterilir.
Doğruluk değerleri genellikle doğruluk tablosu denilen bir tablo ile gösterilir.
p q
1 1
1 0
0 1
0 0
p ve q gibi iki önermemiz olduğunu varsayalım. Bu
iki önermenin doğruluk değerlerini birlikte değerlendirip bir tahminde bulunalım.
Her iki önerme de doğru olabilir. p doğru iken q
yanlış olabilir. p yanlış iken q doğru olabilir ya da her
ikisi de yanlış olabilir. Bu durumları doğruluk tablosunda gösterelim. Tablodan da görüldüğü gibi iki önerme
için 4 durum oluşur.
Bir önermenin doğruluk değeri “1” ya da “0” olacağından bu önerme için 2 de-
ğişik durum vardır. 14
Doğruluk değerleri aynı olan iki önerme denk önermelerdir. p ve q gibi iki önermenin
denkliği p ≡ q biçiminde gösterilir.
Hükmünün olumsuzu alınarak oluşturulan yeni önerme, bu önermenin olumsuzu (de-
ğili) olarak adlandırılır. Bir p önermesinin olumsuzu pı
ile gösterilir.
Denk Önermeler
Örnek : p : “İki tek sayının toplamı çifttir.” önermesi ile doğruluk değeri aynı olan başka bir önerme yazalım.
Çözüm : p ≡ 1 dir. Doğruluk değeri 1 olan başka bir önerme q: “30
= 1 dir.” önermesi olabilir.
Örnek : Aşağıdaki önermelerden denk olanları belirleyelim.
a. p: “ 34
> 25
tir.”
b. q: “ 1 asal bir sayıdır. ”
c. r: “ 3 – 8 < 5 tir. ”
ç. t: “ 9 bir çift sayıdır. ”
Çözüm : p ve r önermelerinin doğruluk değerleri 1 olup p ≡ r dir. q ve t önermelerinin doğruluk değerleri 0 olup q ≡ t dir.
Bir Önermenin Olumsuzu (Değili)
Örnek : p : “Bir yıl 12 aydır.” önermesinin doğruluk değerini değiştirecek şekilde yeni bir önerme yazalım.
Çözüm : p önermesinin doğruluk değeri 1 dir. Bu önermenin doğruluk değerini 0 yapacak önerme,
q: “Bir yıl 12 ay değildir.” dir.
Örnek : Aşağıdaki önermelerin olumsuzlarını yazalım. Doğruluk değerlerini ve varsa denk olan önermeleri gösterelim.
a. p: “ En küçük tam sayı –1 dir.”
b. q: “ 13 ten küçük 7 tane çift doğal sayı vardır. ”
Çözüm :
a. p ≡ 0 dır. pı
: “En küçük tam sayı –1 değildir.” olup pı
≡ 1 dir.
b. q ≡ 1 dir. qı
: “13 ten küçük 7 tane çift doğal sayı yoktur.” olup qı
≡ 0 dır.
p
ı
≡ 1 ≡ q olduğundan pı
≡ q ve q
ı
≡ 0 ≡ p olduğundan qı
≡ p olduğunu söyleyebiliriz.
Bununla birlikte p ≡ 1 ise pı
≡ 0 ve (pı
)
ı
≡ 1 olduğundan (pı
)
ı
≡ p dir. p ≡ 0 durumu için de aynı sonuç
bulunur.
Aşağıda p, q ve r önermelerinin doğruluk tablosu verilmiştir.
p q r
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
Üç önerme için 8 değişik durum oluşur.
n tane farklı önermenin doğruluk değeri için 2n
tane farklı durum vardır.15
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki terimlerden tanımlı ve tanımsız olanları belirleyiniz.
a. Doğru b. Üçgen c. Düzlem ç. Eşit d. Paralelkenar
2. Aşağıdaki bilim dallarına ait üçer terim yazınız.
a. Matematik b. Fizik c. Tarih
3. “Bir noktadan sonsuz doğru geçer.” ifadesindeki tanımlı ve tanımsız terimleri belirleyiniz.
4. Aşağıdaki ifadelerden önerme olanları belirleyiniz.
a. “95, 2 ye tam bölünür.”
b. “Sen o kadar meşhur muydun?”
c. “Negatif sayıların çift kuvvetleri negatiftir.”
ç. “Gece çok soğuk muydu?”
d. “Masa yüzeyi düzlem belirtir.”
5. Doğruluk değeri 1 ve 0 olan birer önerme yazınız.
6. Önerme olmayan bir cümle yazınız.
7. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerini belirleyip bu önermelere denk olan birer önerme yazınız.
p: “ Kare 5 kenarlıdır.”
q: “ İstanbul başkent olmuş bir şehirdir. ”
8. Aşağıdaki önermelerin değillerini yazınız.
a. “ Yaz ayları kış aylarından sıcak geçer. ”
b. “ 5 = 7 – 2 dir.”
c. “ –7 asal sayıdır.”
ç. “ Tek sayılar asal sayıdır. ”
9. p, p
ı
, (pı
)
ı önermelerini doğruluk tablosunda gösteriniz.
10. r, s, p, k önermelerinin doğruluk değeri için kaç değişik durum vardır?
11. “Su renksizdir.” önermesi “Su beyazdır.” önermesinin değili olabilir mi? Açıklayınız.
12. Aşağıdaki önermelerden hangileri denktir?
p: “Doğruluk değerleri aynı olan önermeler denk önermelerdir.”
p: “Hatay’ın Akdeniz’e kıyısı vardır.”
r: “1 asal bir sayıdır.”
s: “Yanlış önermenin doğruluk değeri 0 dır.”
t: “Bir saat 10 000 saniyedir.”
v: “Su bir elementtir.”
13. Birbirine denk olmayan iki önerme yazınız. 16
Önermelerin “ve”, “veya”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi bağlaçlarla bağlanmasından oluşan yeni önermeler bileşik önermelerdir.
BİLEŞİK ÖNERMELER
∗ Anne-baba iyi eğitim almışlarsa çocuklar da görgülü olur. (Geothe)
∗ Hiçbir şey insan için “ölçüsüz tenkit” veya “aşırı methetme” kadar zararlı olamaz. (Geothe)
∗ Parasızlık kapıdan girer ise aşk bacadan kaçar.
∗ Düzenli bir çalışma ve ardından kazanılan başarılar : İşte mutluluk. (Alain)
∗ Cümleler doğrudur sen doğru isen
Doğruluk bulunmaz sen eğri isen (Yunus Emre)
∗ Yukarıdaki güzel sözler ve özdeyişlerde yer alan bağlaçların cümleye kattığı anlamları tartışınız.
İyi eğitim almış ebeveynin (anne-babanın) görgüsüz çocukları varsa ilk özlü söz doğru olur mu? Neden?
Bileşik Önerme
Kampüs girişinde bulunan üç yoldan ikinci ve üçüncü yol takip edilerek eğitim fakültesine gidilebilmesine rağmen birinci yol izlenerek gidilememektedir. Buna göre,
Kapıda duran memur, aşağıdaki önermeleri söylediğinde gelen ziyaratçileri doğru yönlendirmiş olur mu?
• “Birinci yol eğitim fakültesine gider.”
• “İkinci yol eğitim fakültesine gider.”
• “Üçüncü yol eğitim fakültesine gitmez.”
• “İkinci veya üçüncü yoldan eğitim fakültesine gidilebilir.”
• “Birinci veya ikinci yoldan eğitim fakültesine gidilebilir.”
• “Birinci ve ikinci yollardan hiçbiriyle eğitim fakültesine gidilemez.”
• “İkinci ve üçüncü yolların her ikisiyle de eğitim fakültesine gidilebilir.”
Bağlaçlarla birleştirilen önermelerde “ve” ile “veya” nın etkisi hakkında ne düşünüyorsunuz?
Yukarıdaki önermelerin doğruluk değerleri hakkında ne düşünüyorsunuz? Arkadaşlarınızla tartışınız.
Yukarıdaki önermelerden hangileri aynı anlama geliyor olabilir? Neden?
Örnek : Aşağıdaki önermeleri “ve”, “veya” bağlaçlarıyla bağlayalım.
p: “ Kar beyazdır. ” q: “ Kar, kış mevsiminde yağar. ”
Çözüm :
p ve q : “ Kar beyazdır ve kar kış mevsiminde yağar.”
p veya q : “ Kar beyazdır veya kar kış mevsiminde yağar. ”
3
2
117
“Ve”, “Veya” Bağlaçları
Belma hanım yemek hazırlamak için çocukları Kemal ve Yeşim’den tuz istemiştir.
Sadece Kemal’in tuz getirmesi yeterli olur mu? (Annenin istediği iş yapılmış olur mu?)
Yeşim tuz getirse Kemal getirmese ya da tersi olsa yeterli olur mu? Neden?
Her ikisinin de tuz getirmesi ve hiç birisinin tuz getirmemesiyle ilgili ne söyleyebilirsiniz?
Belma hanım yemek hazırlamak için çocukları Kemal veya Yeşim’den tuz istemiş olsaydı, hangi durumlarda Belma hanımın isteği gerçekleşmiş olurdu? Açıklayınız.
Yukarıda verilen ve, veya mantıksal bağlacı ile bağlanmış iki önermeden oluşan bileşik önermelerin
doğru veya yanlış olabilmesi için gerekli koşulları tartışarak ulaştığınız sonuçları açıklayınız.
Örnek : p : “ Su 00
C ta donar. ”
q : “ Su renksizdir. ” önermelerini “veya” bağlacı ile bağlayarak oluşturulmuş bileşik önermenin
doğruluk değerini bulalım.
Çözüm : p veya q : “ Su 00
C ta donar veya su renksizdir.” şeklinde yazılabilir. Bu örnekte “veya” ile
bağlanan önermelerin ikisi de doğru olduğu için bileşik önermenin de doğruluk değeri 1 dir. Bunu p veya
q≡ 1 biçiminde gösterebiliriz.
“veya” bağlacı ile bağlanmış bileşik önermede önermelerden birisinin doğru olması bileşik önermenin doğruluğu için yeterlidir. Çünkü “veya” bağlacının anlamında her iki önerme için zorunluk yoktur.
Örnek : p : “ Ahmet 45 kg dır. ”
q : “ Veli’ nin boyu 170 cm dir. ” önermelerini “ve” bağlacı ile bağlayarak oluşan bileşik önermenin doğruluk değerini yorumlayalım.
Çözüm : p ve q : “ Ahmet 45 kg dır ve Veli’ nin boyu 170 cm dir. ” şeklinde yazılabilir. Önermelerden her
ikisi de doğru ise bileşik önerme doğrudur. Önermelerden herhangi birinin ya da her ikisinin yanlış olması durumunda bileşik önerme yanlış olacaktır. Çünkü “ve” bağlacının anlamında bir zorunluluk sezilmektedir. Eğer Ahmet 45 kg ve Veli 150 cm ise ilk kısmı doğru olmasına rağmen cümle yanlış olaca-
ğından bileşik önerme yanlış olur.
p ile q gibi iki önermenin “veya” bağlacı ile birleştirilmesiyle oluşturulan bileşik önermenin
doğruluk değeri, önermelerden her ikisi de yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur.
“Veya” bağlacı “ V ” sembolü ile gösterilir.
p ile q gibi iki önermenin “ve” bağlacı ile birleştirilmesiyle oluşturulan bileşik önermenin
doğruluk değeri, önermelerden her ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır. “Ve”
bağlacı “ ∧” sembolü ile gösterilir.
p q p ∨ q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
p, q, p ∨ q önermelerinin doğruluk tablosu yandaki gibidir.
p q p ∧ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
p, q, p ∧ q önermelerinin doğruluk tablosu yandaki gibidir.18
Örnek : p ∨ q , p
ı
∧ q , p
ı
∨ q
ı , (p ∨ q)∧q
ı bileşik önermelerinin doğruluk tablosunu yapalım.
Çözüm :
Örnek : (p ∨ q
ı
) ∧ p bileşik önermesinin doğruluk tablosunu yapalım.
Çözüm :
Örnek : p ≡ 1, q ≡ 0, r ≡ 1 önermeleri için aşağıdaki ifadelerin doğruluk değerini bulalım.
a. (p ∨ q
ı
)∧ r b. (rı
∧ q
ı
)∨ p
ı
c. (pı
∨ q
ı
) ∨ r
ı
Çözüm :
a. (p ∨ q
ı
)∧ r ≡ (1 ∨ 0
ı
) ∧ 1 ≡ (1 ∨ 1) ∧ 1 ≡ 1 ∧ 1 ≡ 1,
b. (rı
∧ q
ı
)∨ p
ı
≡ (1ı
∧ 0
ı
) ∨ 1
ı
≡ (0 ∧ 1) ∨ 0 ≡ 0 ∨ 0 ≡ 0,
c. (pı
∨ q
ı
)∨ r
ı
≡ (1ı
∨ 0
ı
) ∨ 1
ı
≡ (0 ∨ 1) ∨ 0 ≡ 1 ∨ 0 ≡ 1 olur.
Örnek : p: “2 + 2 = 4”
q: “8 . 2 = 14”
r: “Dünya bir gezegen değildir.” önermeleri veriliyor. p ∨ q, q ∧ r ve p
ı
∧ q önermelerini
yazarak doğruluk değerlerini bulalım.
Çözüm :
p: “2 + 2 = 4” olduğundan p ≡ 1 ve q = “8 . 2 = 14” olduğundan q ≡ 0 dır.
p ∨ q: “2 + 2 = 4 veya 8 . 2 = 14” olur. p ∨ q ≡ 1 ∨ 0 ≡ 1 dir.
r: “Dünya bir gezegen değildir.” Öyleyse r ≡ 0 dır.
q ∧ r: “8 . 2 = 14 ve Dünya bir gezegen değildir.” olur. q ∧ r ≡ 0 ∧ 0 ≡ 0 dır.
p
ı
∧ q: “2 + 2 ≠ 4 ve 8 . 2 = 14” olur. pı
∧ q ≡ 0 ∧ 0 ≡ 0 dır.
p q p
ı
q
ı
p ∨ q p
ı
∧ q p
ı
∨ q
ı
(p ∨ q)∧q
ı
1 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 1 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0
p q q
ı
p ∨ q
ı
(p ∨ q
ı
) ∧ p
1 1 0 1 1
1 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 0 1 1 0Her p önermesi için, p ∨ p ≡ p ve p ∧ p ≡ p dir. (tek kuvvet özelliği)
p p ∨ p
1 1
0 0
p p ∧ p
1 1
0 0
p q p ∨ q q ∨ p
1 1 1 1
1 0 1 1
0 1 1 1
0 0 0 0
p q p ∧ q q ∧ p
1 1 1 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
≡ ≡
p ∨q ≡ q ∨p p ∧q ≡ q ∧p
19
Çözüm :
p, p ∨ p, p ∧ p önermelerinin doğruluk değerleri aynıdır.
Örnek : p ∨ q, q ∨ p, p ∧ q, q ∧ p önermelerinin doğruluk tablosunu yapalım.
Çözüm :
p ∨ q, q ∨ p önermeleri ile p ∧ q, q ∧ p önermelerinin doğruluk değerleri aynıdır.
Örnek : (p ∨q) ∨ r, p ∨(q ∨ r), (p ∧q) ∧r ve p ∧(q∧r) önermelerinin doğruluk tablosunu yapalım.
Çözüm :
Örnek : p ∧ (q ∨ r) , (p ∧q) ∨ (p ∧r) , p ∨(q ∧ r) , (p ∨q) ∧(p ∨r) önermelerinin doğruluk tablosunu yapalım.
Her p ve q önermeleri için, p∨q ≡ q∨p ve p∧q ≡ q∧p dir. (değişme özelliği)
p q r p∨q (p∨q)∨r q∨r p∨(q∨r)
1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 0 1
0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 0 1 0 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0
p q r p∧q (p∧q)∧r q∧r p∧(q∧r)
1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
≡ ≡
Her p, q ve r önermesi için, p∨(q∨r) ≡ (p∨q)∨r ve p∧(q∧r) ≡ (p∧q)∧r dir.
(birleşme özelliği)
(p ∨q) v r ≡ p ∨(q ∨ r) (p ∧q) ∧r ≡ p ∧(q ∧ r)
“Ve”, “Veya” Bağlaçlarının Özellikleri
Örnek : p ∨ p, p ∧ p önermelerinin doğruluk tablosunu yapalım.20
Her p ve q önermesi için p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r) ve p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r) dir. Bu özelliklerden birincisi ∧ nın ∨ üzerine soldan dağılma özelliğidir. İkincisi ise ∨ nın ∧ üzerine soldan
dağılma özelliğidir. Ayrıca (q∧r) ∨ p ≡ (q∨p) ∧ (r∨p) ve (q∨r) ∧ p ≡ (q∧p) ∨ (r∧p) dir. Bu özelliklerden birincisi ∧ nın ∨ üzerine sağdan dağılma özelliğidir.
Her p ve q önermeleri için (p∨q)ı
≡ p
ı
∧q
ı
ve (p∧q)ı
≡ p
ı
∨q
ı
dir. Bu kurallar De Morgan
(Dö Morgın) kurallarıdır.
p q r q∨r p∧(q∨r) p∧q p∧r (p∧q)∨(p∧r)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 0 1 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
p q r q∧r p∨(q∧r) p∨q p∨r (p∨q)∧(p∨r)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0
≡ ≡
Çözüm :
Örnek : (p ∨ q) ∧ q
ı
önermesinin doğruluk değerini bulalım.
Çözüm : (p ∨ q) ∧ q
ı
≡ q
ı
∧ (p ∨ q) ≡ (qı
∧ p) ∨ (qı
∧ q) ≡ (qı
∧ p) ∨ 0 ≡ q
ı
∧ p olur.
Aşağıdaki tabloda boş bırakılan yerleri doldurunuz.
(p∨q)ı
ile pı
∧q
ı
bileşik önermelerinin ve (p∧q)ı
ile pı
∨q
ı
bileşik önermelerinin doğruluk değerlerini
karşılaştırarak bir sonuca ulaşınız.
p ∧ (q ∨r) ≡ (p ∧ q) ∨(p ∧r) p ∨(q ∧r) ≡ (p ∨q) ∧(p ∨ r)
p q p
ı
q
ı
p∨q (p∨q)ı
p
ı
∧q
ı
p∧q (p∧q)ı
p
ı
∧q
ı
1 1
1 0
0 1
0 021
Örnek : (pı
∧q)ı
∨q
ı
≡ 0 ise (p∧q)ı
∨ (p∨q) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım.
Çözüm : (pı
∧q)ı
∨q
ı
≡ 0 ⇒ (pı
∧q)ı
≡ 0 ve qı
≡ 0 ( veya bağlacının özelliği )
⇒ p
ı
∧q≡ 1 ve qı
≡ 0 ( bir önermenin olumsuzu )
⇒ p
ı
≡ 1 ve q≡ 1 ( ve bağlacının özelliği )
⇒ p ≡ 0 ( bir önermenin olumsuzu )
olacaktır. Buna göre, (p∧q)ı
∨ (p∨q) ≡ (0∧1)ı
∨ (0∨1) ≡ 1∨1 ≡ 1 olur.
Örnek : (p∧q)ı
∨ (p∨q) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım.
Çözüm : (p∧q)ı
∨ (p∨q) ≡ (pı
∨q
ı
) ∨ (p∨q) ( De Morgan kuralları )
≡ (pı
∨ p) ∨ (qı
∨ q) ( değişme ve birleşme özelliği )
≡ 1∨1≡ 1 bulunur.
Örnek : [(pı
∧q)ı
∨ q]ı
önermesinin doğruluk değerini bulalım.
Çözüm : [(pı
∧q)ı
∨ q]ı
≡ (pı
∧ q) ∧ q
ı
≡ p
ı
∧ (q ∧ q
ı
) ≡ p
ı
∧ 0 ≡ 0 olur.
Örnek : “Ali ve Veli evde ödev yapıyorlar.” önermesinin değilini bulalım.
Çözüm :
p, q önermeleri; p: “Ali evde ödev yapıyor.”
q: “Veli evde ödev yapıyor.” şeklinde yazılabilir.
(p∧ q)ı
≡ p
ı
∨ q
ı
olduğundan “Ali ve Veli evde ödev yapıyorlar.” önermesinin değili “Ali veya Veli evde
ödev yapmıyorlar.” önermesi olur.
Örnek : [(p∨q
ı
) ∧ (p∨q
ı
)]
ı
önermesini en sade şekilde yazalım.
Çözüm :
[(p∨q
ı
) ∧ (p∨q
ı
)]
ı
≡ (p∨q
ı
)
ı
∨ (p∨q
ı
)
ı
≡ (pı
∧q) ∨ (pı
∧q)
≡ p
ı
∧q olur.
Örnek : (p∨q
ı
)
ı
∨ (pı
∧q
ı
) önermesini en sade biçimde yazalım.
Çözüm :
(p ∨ q
ı
)
ı
∨ (pı
∧ q
ı
) ≡ (pı
∧ q) ∨ (p
ı
∧ q
ı
)
≡ p
ı
∧ (q ∨ q
ı
)
≡ p
ı
∧ 1
≡ p
ı
022
Koşullu Önerme
Bir spor kulübü sporcularına “Eğer maçı kazanırsanız sizi tatile göndereceğim.” diyor. Bu önerme için;
Sporcuların maçı kazandığı ve tatile gittiği düşünülürse kulüp sözünü tutmuş olur mu?
Bu durumda önermenin doğruluğu için ne söyleyebilirsiniz?
Sporcuların maçı kazandığı fakat tatile gitmediği düşünülürse kulüp sözünü tutmuş olur mu?
Bu durumda önermenin doğruluğu için ne söyleyebilirsiniz?
Sporcuların maçı kazanamaması durumunda, kulübün sözünü tutmadığı söylenebilir mi? Açıklayınız.
Kulübün sporcularına söylediği şartlı cümlenin hangi şart ve sonuçlar altında doğru olduğunu bulabilir misiniz? Açıklayınız.
Örnek : “Kırmızı ışık yanarsa trafik durur.” bileşik önermesini oluşturan önermeleri belirleyelim.
Çözüm : p , q önermeleri;
p : “Kırmızı ışık yandı.”
q : “Trafik durdu.” şeklinde yazılabilir.
Kırmızı ışık yanar ve trafik durursa bileşik önerme doğrudur. Kırmızı ışık yanar
ve trafik durmazsa önerme yanlış olur. Kırmızı ışık yanmazsa trafiğin durması ya da durmaması durumunda şart gerçekleşmediğinden önermeye yanlıştır diyemeyiz, doğru kabul etmek zorundayız.
p ve q önermelerinin “ise” bağlacı getirilerek birleştirilmesiyle oluşan bileşik
önermeye koşullu önerme denir. p ⇒ q biçiminde gösterilir.
p q p⇒ q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
p⇒ q koşullu önermesi p doğru, q yanlış iken
yanlış, diğer durumlarda doğrudur.
George Boole (Corc Buul)-(1815–1864), matematiksel Mantık teorisine
dayalı Boolean Cebiri geliştirmiştir. George Boole bu eserle matematikte yeni bir
çığır açarak bugünkü bilgi teknolojilerinin gelişebileceği müjdesini o günlerde
vermiştir.
Bertrand Russell (Bertrant Rasıl)-(1872–1970), matematiğin prensipleri konulu
bir kitap yazmıştır. Çalışmalarında, önermelerin ilişkilerini ve, veya, ise, ancak ve
ancak gibi mantıksal operatörlere dayalı mantık sistemini tanıtmıştır. Mantıksal
öğretiyle, yeni bir felsefe ortaya koymuştur. Matematiği p ⇒ q biçiminde önermeler
kümesi olarak tanımlaması ile matematiğe yeni bir boyut kazandırmıştır.23
Örnek : p: “Ağaç yaş iken eğilir.”
q: “Hayatta en gerekli şey iyi bir eğitimdir.” önermeleri veriliyor. p ⇒ q ve q ⇒ p
ı koşullu önermelerini yazalım.
Çözüm : Verilen önermeler ise bağlacı ile bağlandığında,
p ⇒ q: “Ağaç yaş iken eğilir ise hayatta en gerekli şey iyi bir eğitimdir.” olur.
p
ı
: “Ağaç yaş iken eğilmez.” olduğunda
q ⇒ p
ı
: “Hayatta en gerekli şey iyi bir eğitim ise ağaç yaş iken eğilmez.” olur.
Örnek : p ≡ 1 , q ≡ 0 , r ≡ 1 ise aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulalım.
a. (p ⇒ q) ⇒ r b. (p ⇒ q) ∧ (r ⇒ q) c. (r ∨ q
ı
) ⇒ p
ı
Çözüm :
a. (p ⇒ q) ⇒ r ≡ (1 ⇒ 0) ⇒ 1 ≡ 0 ⇒ 1 ≡ 1
b. (p ⇒ q) ∧ (r ⇒ q) ≡ (1⇒ 0) ∧ (1 ⇒ 0) ≡ 0 ∧ 0 ≡ 0
c. (r ∨ q
ı
) ⇒ p
ı
≡ (1 ∨ 1) ⇒ 0 ≡ 1 ⇒ 0 ≡ 0 olur.
Örnek : p
ı
⇒ (q
ı
∧ r
ı
)
ı
≡ 0 ise [(p∨q) ⇒ r]
⇒ (r ∧ p) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım.
Çözüm : Koşullu önermenin doğruluk değeri sadece 1 ⇒ 0 durumunda 0 dır. Bu yüzden pı
≡ 1 ve
(q
ı
∧ r
ı
)
ı
≡ q∨r ≡ 0 olur.
q∨r ≡ 0 ise q ≡ 0 ve r ≡ 0 olmalıdır. pı
≡ 1 olduğundan p≡ 0 olur. O hâlde
[(p∨q) ⇒ r]
⇒ (r ∧ p) ≡ [(0 ∨ 0) ⇒ 0] ⇒ (0 ∧ 0) ≡ (0 ⇒ 0) ⇒ 0 ≡ 1 ⇒ 0 ≡ 0 olur.
Koşullu önermeyi oluşturan önermelerin yerleri değiştirilerek ya da önermelerin olumsuzları kullanı-
larak yeni koşullu önermeler oluşturulabilir. Bunlar mantıkta özel adlarla ifade edilirler.
Örnek : p: “4 + 7 ≠ 12”
q: “2 = 3” önermeleri veriliyor.
p ⇒ q koşullu önermesi ile bu önermenin karşıtını, tersini ve karşıt tersini ifade edelim.
Çözüm : p ⇒ q önermesinin karşıtı: q ⇒ p: “2 = 3 ise 4 + 7 ≠ 12 dir.”,
p ⇒ q önermesinin tersi: pı
⇒ q
ı
: “4 + 7 = 12 ise 2 ≠ 3 tür.”,
p ⇒ q önermesinin karşıt tersi: qı
⇒ p
ı
: “2 ≠ 3 ise 4 + 7 = 12 dir.” olur.
p ⇒ q koşullu önermesi için;
q ⇒ p önermesine p⇒q önermesinin karşıtı,
p
ı ⇒ q
ı
önermesine p⇒q önermesinin tersi,
q
ı ⇒ p
ı
önermesine p⇒q önermesinin karşıt tersi deriz.p q r p
⇒q (p⇒q) ∧ r
1 1 1 1 1
1 1 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 0 0 0
0 1 1 1 1
0 1 0 1 0
0 0 1 1 1
0 0 0 1 0
p q p ⇒ q q ⇒ p p
ı
q
ı
p
ı ⇒ q
ı
p
ı ∨q q
ı ⇒ p
ı
1 1 1 1 0 0 1 1 1
1 0 0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1 1
≡ ≡
24
Örnek : p
⇒q , q⇒p , pı
⇒q
ı , pı ∨q ve qı
⇒p
ı
önermelerinin doğruluk değerini doğruluk tablosu üzerinde
gösterelim.
Çözüm :
Örnek : “Ahmet okulda ise Ali eve gitmiştir.” önermesini “veya” bağlacı kullanarak yazalım.
Çözüm : p ⇒ q ≡ p
ı
∨ q olduğundan
p ⇒ q: “Ahmet okulda ise Ali eve gitmiştir.” olur. Bu durumda,
p ⇒ q ≡ p
ı
∨ q : “Ahmet okulda değildir veya Ali eve gitmiştir.” olur.
Örnek : (p⇒q) ∧ r önermesinin doğruluk değerini doğruluk tablosu yaparak gösterelim.
Çözüm :
Örnek : [(p
ı
⇒ q
ı
)
ı
∧ q
ı
]
ı
∨ (p ∨ q)
ı
önermesinin doğruluk değerini bulalım.
Çözüm :
[
(p
ı
⇒ q
ı
)
ı
∧q
ı
]
ı
∨(p ∨q)
ı
≡ (p
ı
⇒ q
ı
)
ı
∧ q
ı
⇒(p ∨q)
ı
(her p ve q önermesi için, p ⇒ q ≡ p
ı
∨q olduğundan)
≡ [
(p ∨ q
ı
)
ı
∧ q
ı
]
⇒ (p
ı
∧ q
ı
)
≡ [
(p
ı
∧ q) ∧ q
ı
]
⇒ (p
ı
∧ q
ı
)
≡ [
p
ı
∧ (q ∧ q
ı
)]
⇒ (p
ı
∧ q
ı
)
≡ (p
ı
∧ 0) ⇒ (p
ı
∧ q
ı
)
≡ 0 ⇒ (p
ı
∧ q
ı
)
≡ 0 ⇒ t
≡ 1
İlginç bir sonuç: Yanlışla başlayan her koşullu önerme doğrudur.
Örnek : (p∧q) ⇒ (mı
⇒n) ≡ 0 ise p, q, m, n önermelerinin doğruluk değerlerini bulalım.
Çözüm : (p∧q) ⇒ (mı
⇒n) ≡ 0 ise (p∧q) ≡ 1 ve (mı
⇒n) ≡ 0 dır.
Her p ve q önermesi için, p ⇒ q ≡ p
ı ∨q ≡ q
ı ⇒ p
ı dir.
Bir koşullu önerme karşıt tersine denktir.
t
p ⇒ q ≡ p
ı
∨q ≡ q
ı ⇒ p
ı25
Buradan, (p∧q) ≡ 1 ise p ≡ 1 ve q ≡ 1
(mı
⇒n) ≡ 0 ise mı
≡ 1 ve n ≡ 0 bulunur.
O hâlde p ≡ 1, q ≡ 1, m ≡ 0 ve n ≡ 0 dır.
Örnek : (p ⇒ q) ≡ [p∨(p ⇒ q)]
ı
∨(q
ı
⇒ p
ı
) denkliğinin doğruluğunu gösterelim.
Çözüm : [p∨(p ⇒ q)]
ı
∨(q
ı
⇒ p
ı
) ≡ [p
ı
∧(p ⇒ q)
ı
] ∨(p
⇒ q)
≡ [p
ı
∧(pı
∨q)
ı
] ∨(p
ı
∨q)
≡ [p
ı
∧(p∧q
ı
)] ∨(p
ı
∨q)
≡ [(p
ı
∧p)∧q
ı
] ∨(p
ı
∨q)
≡ (0∧q
ı
) ∨(p
ı
∨q)
≡ 0 ∨(p
ı
∨q)
≡ p
ı
∨q ≡ p
⇒q olur.
Örnek : [(p⇒q) ∧ (pı
⇒q)] önermesini en sade şekilde yazalım.
Çözüm : (p⇒q) ∧ (pı
⇒q) ≡ (pı
∨q) ∧ (p∨q)
≡ (q∨p
ı
) ∧ (q∨p)
≡ q ∨ (pı
∧ p)
≡ q ∨ 0
≡ q olur.
İki Yönlü Koşullu Önerme
ABC üçgeni için, p: “ABC üçgeni ikizkenardır.”, q: “ABC üçgeninin iki kenarı birbirine eştir.” önermelerinden yola çıkarak,
p ⇒ q ile q ⇒ p önermelerinin doğruluk değerlerini yazınız.
p ⇒ q önermesi doğruysa q ⇒ p önermesi doğru olmak zorunda mıdır?
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) bileşik önermesini yazınız.
p ⇒ q önermesi ile q ⇒ p önermesinin “ve” bağlacıyla bağlanmasıyla oluşturulan bileşik önermenin doğruluk değeri hakkında ne söylenebilir?
Örnek : “İki doğru paraleldir ancak ve ancak kesişmezlerse.” bileşik önermesini oluşturan p ve q önermeleri belirleyelim. Bu bileşik önermenin hangi durumlarda doğru, hangi durumlarda yanlış olacağını
bulalım.
Çözüm : Verilen bileşik önermeyi oluşturan p ve q önermeleri
p : “İki doğru paraleldir.”
q : “İki doğru kesişmez.” şeklinde yazılabilir.
İki doğru paralel ve kesişmez ise bileşik önerme doğrudur. İki doğru paralel değil ve kesişir ise bileşik
önerme yine doğru olur. Fakat iki doğru paralelken doğruların kesişmesi ya da iki doğru paralel değilken kesişmemesi durumlarında bileşik önerme yanlış olur.p q p
ı
q
ı
p⇔q (p⇔q)ı
p
ı
⇔q p⇔q
ı
1 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 0 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0 0
(p⇔q)ı
≡ p
ı
⇔q ≡ p⇔q
ı
p ve q önermelerinin “ancak ve ancak” bağlacıyla birleştirilerek oluşturulan bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir. p ancak ve ancak q önermesi p ⇔ q biçiminde gösterilir.
p q p
⇒q q
⇒p (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) p ⇔ q
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 1
≡
p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧(q ⇒ p)
26
p ⇔ q iki yönlü koşullu önermesinin doğruluk değeri, p ile
q önermelerinin doğruluk değerleri aynı iken doğru, farklı iken
yanlış olur.
Örnek : p ∧ q ≡ 1 ise (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) önermesinin doğruluk değerini bulalım.
Çözüm : p ∧ q ≡ 1 ise p ≡ 1 ve q ≡ 1 olmalıdır. Öyleyse (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡ (1 ⇒ 1) ∧ (1 ⇒ 1)
≡ 1∧1 ≡ 1 olur.
Örnek : p ⇔ q ile (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) önermelerinin doğruluk değerlerini doğruluk tablosunu yaparak eşit
olduklarını gösterelim.
Çözüm :
Her p , q önermesi için (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡ p ⇔ q dur.
p q p ⇔ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Örnek : (1 ⇔ 0) ⇔ (1 ⇔ 1) ⇒ (0 ⇒ 1) önermesinin en sade biçimde yazalım.
Çözüm : [(1 ⇔ 0) ⇔ (1 ⇔ 1)]
⇒ (0 ⇒ 1) ≡ (0 ⇔ 1) ⇒ (0 ⇒ 1) ≡ 0
⇒ 1 ≡ 1 olur.
Örnek : p ⇔ q ≡ q ⇔ p olduğunu gösterelim.
Çözüm : p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡ (q ⇒ p) ∧ (p ⇒ q) ≡ q ⇔ p olur.
Öyleyse, p ⇔ q ≡ q ⇔ p dir.
Örnek : m
ı
⇔ n ≡ m⇔ n
ı
denkliğinin doğru olduğunu gösterelim.
Çözüm : m
ı
⇔ n ≡ (m
ı
⇒ n) ∧ (n ⇒ m
ı
) ≡ (m ∨ n) ∧ (n
ı
∨ m
ı
)
≡ (n ∨ m) ∧ (m
ı
∨ n
ı
) ≡ (n
ı
⇒ m) ∧ (m ⇒ n
ı
)
≡ m ⇔ n
ı
olur.
Örnek : (p ⇔ q)ı
≡ p
ı
⇔q ≡ p ⇔q
ı
olduğunu tablo yaparak gösterelim.
Çözüm :27
Örnek : (p⇔1) ⇒ (q ⇔ 0) önermesinin en sade biçimini bulalım.
Çözüm : (p ⇔ 1) ⇒ (q ⇔ 0) ≡ [(p ⇒ 1)∧ (1⇒ p)]
⇒ [(q ⇒ 0)∧ (0 ⇒ q)]
≡ (1 ∧p) ⇒ (q
ı
∧ 1) ≡ p ⇒ q
ı
≡ p
ı
∨ q
ı
≡ (p ∧q)ı
olur.
Örnek : (p∨q) ≡ 0 ve (p⇒q
ı
) ⇔ [(t∨p)⇒k] ≡ 0 olduğuna göre t ve k önermelerinin doğruluk değerlerini bulalım.
Çözüm : p∨q ≡ 0 ise p ≡ 0 ve q ≡ 0 olmalıdır. Bu durumda (p⇒q
ı
) ≡ (0⇒1) ≡ 1 olur.
1 ⇔ [(t∨p) ⇒ k] ≡ 0 ise (t∨p) ⇒ k ≡ 0 dır. Bu durumda (t∨p) ≡ 1 ve k≡ 0 olur. t∨p ≡ 1 ise p ≡ 0
olduğundan t ≡ 1 olmalıdır.
Örnek : (p⇔q) ≡ p
ı
⇔ q
ı
olduğunu doğruluk tablosu yapmadan gösterelim.
Çözüm : (p⇔q) ≡ (p
⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡ (q
ı
⇒ p
ı
) ∧ (p
ı
⇒ q
ı
) ≡ p
ı
⇔ q
ı
olur.
Örnek: p ∧ q ≡ 1 ve [(p ⇒ t) ⇒ (q ⇒ r)] ⇔ p ∨ q ≡ 0 olduğuna göre t ve r önermelerinin doğruluk de-
ğerlerini bulalım.
Çözüm : p∧q ≡ 1 olduğundan p ≡ 1 ve q ≡ 1 olur. O hâlde,
[(p ⇒ t) ⇒ (q ⇒ r)] ⇔ (1 ∨ 1) ≡ 0
[(p ⇒ t) ⇒ (q ⇒ r)] ⇔ 1 ≡ 0 olur. Buna göre
[(p ⇒ t) ⇒ (q ⇒ r)] ≡ 0 olur.
p ⇒ t ≡ 1 ve q ⇒ r
≡ 0
t ≡ 1 ve r
≡ 0 olur.
1
1
0
↓
1
↓
1
↓
0
↓
Aşağıdaki tabloda boş bırakılan yerleri doldurunuz.
p∨p
ı
ile p∨1 önermelerin doğruluk değerleri ne olur?
p∧p
ı
ve p∧0 önermelerinin doğruluk değerleri ne olur? Tartışınız.
Doğruluk değeri daima 1 veya daima 0 olan bileşik önermelere örnekler veriniz.
p p
ı
p∨p
ı
p∨1 p∧p
ı
p∧0
1
0
Totoloji ve Çelişki
p q p
ı
p∧p
ı
(p∧p
ı
) ∨ q
1 1 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 1 0 1
0 0 1 0 0
Örnek : (p∧p
ı
) ∨ q önermelerinin doğruluk değerlerini doğruluk tablosu üzerinde gösterelim.
Çözüm :
(p∧p
ı
) ∨ q önermesinin hem 1 hem de
0 değerleri vardır. p q p
⇒q (p⇒q)∧q [(p⇒q)∧q]
⇒q
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
0 1 1 1 1
0 0 1 0 1
Totoloji
28
Örnek : [(p⇒q)∧q]
⇒ q bileşik önermesinin totoloji olduğunu doğruluk tablosu yaparak gösterelim.
Çözüm :
p ve q önermelerinin tüm doğruluk değerleri için [(p⇒q)∧q]
⇒q önermesinin doğruluk değeri 1 oldu-
ğundan bu önerme bir totolojidir.
Örnek : p
⇒[(p∧q)⇔q] önermesinin totoloji olduğunu özellikler yardımıyla gösterelim.
Çözüm : p
⇒[(p∧q)⇔q] ≡ p
ı
∨[(p∧q)⇔q] ≡ p
ı
∨{[(p∧q)⇒q]∧[q
⇒(p∧q)]}
≡ p
ı
∨{[(p∧q)ı
∨q]∧[q
ı
∨(p∧q)]}≡ p
ı
∨{[p
ı
∨q
ı
∨q]∧[(qı
∨p)∧(qı
∨q)]}
≡ p
ı
∨{[p
ı
∨1]∧[(qı
∨p)∧1]} ≡ p
ı
∨[1∧(qı
∨p)] ≡ p
ı
∨(qı
∨p) ≡ p
ı
∨p∨q
ı
≡ 1∨q
ı
≡ 1 dir.
Örnek : (pı
∧q)∧p∧(q
⇒p
ı
) önermesinin çelişki olduğunu özellikler yardımıyla gösterelim.
Çözüm : (pı
∧q)∧p∧(q
⇒p
ı
)≡ (pı
∧q)∧p∧(q
ı
∨p
ı
) ≡ (pı
∧p)∧q∧(q
ı
∨p
ı
)
≡ 0∧q∧(q
ı
∨p
ı
) ≡ 0∧(q
ı
∨p
ı
) ≡ 0 dır.
Örnek : [(p ⇒ (q ∨ r)] ∨ [(pı
⇒ (t
ı
∧ (r
ı
⇒ mı
))] önermesi bir çelişki ise p, q, r, t, m önermelerinin doğ-
ruluk değerlerini bulalım.
Çözüm : Önerme çelişki ise doğruluk değeri 0 dır. O hâlde,
[p ⇒ (
q ∨ r)] ∨ [p
ı
⇔ (t
ı
∧ (r
ı ⇒ mı
))] ≡ 0 olur.
V bağlacının doğruluk değerinin 0 olabilmesi için [p ⇒ (
q ∨r)] ı
≡ 0 ve [p
ı
⇔ (t
ı
∧ (r
ı ⇒ mı
))] ≡ 0 olmalıdır.
p ⇒ (q ∨ r) ≡ 0 ise p ≡ 1 ve q ∨ r
≡ 0 dır. Öyleyse,
p ≡ 1, q ≡ 0 ve r ≡ 0 olmalıdır.
p ≡ 1 ise pı
≡ 0 olur.
p
ı
⇔ (t
ı ∧(r
ı ⇒ mı
)) ≡ 0 ise p
ı ≡ 0 olduğundan t
ı ∧(r
ı ⇒ mı
) ≡ 1 olmalıdır. Bu durumda,
t
ı ≡ 1 ve (r
ı ⇒ mı
) ≡ 1 olmalıdır.
t
ı
≡ 1 ⇒ t ≡ 0 olur.
r
ı ⇒ mı
≡ 1 ise rı
≡ 1 olduğundan mı
≡ 1 ve dolayısıyla m ≡ 0 olmalıdır.
Bir bileşik önerme, kendisini oluşturan önermelerin her değeri için daima “1” değerini alı-
yorsa bu bileşik önerme totoloji; daima “0” değerini alıyorsa bu bileşik önerme çelişkidir.
p q p∨q (p∨q)ı
p∧q (p∨q)ı
∧ (p∧q)
1 1 1 0 1 0
1 0 1 0 0 0
0 1 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
Çelişki
Örnek : (p∨q)
ı
∧ (p∧q) önermesinin çelişki olduğunu doğruluk tablosu ile gösterelim.
Çözüm :
p ve q önermelerinin tüm doğruluk değerleri için (p∨q)
ı
∧ (p∧q) önermesinin doğruluk değeri 0 olduğundan bu önerme çelişkidir. 29
ALIŞTIRMALAR
1. p ≡ 1, q ≡ 0 ve r ≡1 olduğuna göre aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.
a. (p ∧ q) ∨ r
ı
b. (p ⇒ q)ı
∨r c. [(p ⇔ r) ⇒ (qı
∧r)]
ı
2. p ⇒ [(qı
⇒ p)∧p] önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
3. (pı
∧q)ı
∧q ≡ 1 ise (p∧q)∨q
ı
bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
4. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini doğruluk tablosu ile bulunuz.
a. (p∧q)ı
∧r b. (p ⇒ q)ı
⇔(p∨q) c. (p∨q) ∧ (q ⇒ r)
5. (p ⇔ q)∨(p∨r) ≡ 0 ise aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.
a. [p ⇒ (q∨r)]∧p
ı
b. (p∨q) ⇒ (q∧r) c. (qı
∧p)ı
⇔ (rı
∨q)
6. p : “Ali zekidir.” , q : “Veli çalışkandır.” ve r : “Remzi başarılıdır.” önermeleri veriliyor. Aşağıdaki
önermeleri ifade ediniz.
a. p∨q
ı
b. q∧p c. p⇒r
ı
ç. q⇔r d. pı
⇒r
7. p
⇒(q∨r) ≡ 0 ise (pı
∨q)⇒[r∧(qı
∨p)] bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
8. p∨q ≡ 0 ve (p∧q
ı
)⇔ [t
⇒(p∨r)] ≡ 1 olduğuna göre t ve r önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.
9. Aşağıdaki önermeleri en sade şekilde yazınız.
a. q∨(qı
∧p) b. p∨p
ı
c. p
ı
∨q
ı
ç. 1∧p
d. q∨1 e. p ⇒ 1 f. (p ⇒ q) ⇒ q g. p ⇒ [(p ⇒ q) ∧ q
ı
]
10. Aşağıdaki önermelerin değillerini bulunuz.
a. p ∧ q b. p ⇒ q c. p ⇔ q ç. (p ∧ q
ı
) ∨ q
ı
11. Aşağıdaki koşullu önermelerin karşıtını, tersini ve karşıt tersini bulunuz.
a. p
ı
⇒ q b. qı
⇒ p
ı
c. p ⇒ q
ı
12. Aşağıdaki önermelerden hangilerinin totoloji, hangilerinin çelişki olduğunu gösteriniz.
a. p ∨ 1 b. (p ∨ q) ∧ p
ı
c. (p⇒q)∨(q⇒p) ç. (p∨q)∧(p⇒q
ı
)
13. Aşağıdaki denkliklerin doğruluğunu gösteriniz.
a. (p ⇒ q)ı
≡ p∧q
ı
b. (p ⇒ q)ı
≡ p
ı
⇔ q c. q
ı
⇒ p
ı
≡(pı
∧ q)ı
14. p, q, r, s ve t önermelerine göre, q∧{[(q ∨ r) ∧ (s ∧ t)ı
]
ı
∧ (p ∨ s)ı
}
ı
bileşik önermesinin doğruluk
değerini bulunuz.
15. (q ∨ p
ı
) ∧ q önermesinin olumsuzunu bulunuz.30
Bir açık önermeyi doğru yapan değerlerin kümesine o açık önermenin doğruluk
kümesi deriz.
AÇIK ÖNERMELER
“ Cinderella (Sindrella) fakir bir kızdır. Bir gün prensin de bulunduğu bir baloya katılır. Cinderella’dan
çok hoşlanan prens onu kaybedince Cinderella’nın baloda bıraktığı tek ayakkabıyı herkese deneterek
onu bulmaya çalışır.”
Herkesin ayakkabıyı denemesini bir önermeyle özdeşleştirirsek bu önerme ne zaman doğru olur?
Doğruluk değeri, içerdiği değişkenin değerine bağlı olan önermelere örnek verebilir misiniz?
Açık Önerme
p : “x ∈ N , x2
+ 1 > 7” önermesinin doğruluk değerini x = 1, 2 ve 5 sayıları için bulunuz.
q : “ x, İstanbul’a komşu bir ilimizdir.” önermesinin doğruluk değerini x = Adapazarı, Ankara ve Antalya illeri için bulunuz.
x bilinmiyorsa p ve q önermelerinin doğruluk değeri belirlenebilir mi? Açıklayınız.
Yukarıdaki önermeler tüm x değerleri için doğru olur mu? Neden?
Yukarıdaki önermeleri doğru ya da yanlış yapan başka değerler bulabilir misiniz?
Örnek : p(x): “x, Ömer Seyfettin’in öykülerindendir.” önermesinin doğruluk değerini x yerine {Kaşağı, Şu
Çılgın Türkler, And, Diyet} kümesinin elemanlarını koyarak bulalım.
Çözüm : x yerine Kaşağı konursa “Kaşağı,Ömer Seyfettin’in öykülerindendir.” olur ve doğruluk değeri 1 dir.
x yerine Şu Çılgın Türkler konursa “Şu Çılgın Türkler, Ömer Seyfettin’in öykülerindendir.” olur ve
doğruluk değeri 0 dır.
x yerine And konursa “And, Ömer Seyfettin’ in öykülerindendir.” olur ve doğruluk değeri 1 dir.
x yerine Diyet konursa “Diyet, Ömer Seyfettin’in öykülerindendir.” olur ve doğruluk değeri 1 dir.
Örnek : p(x): “ ” açık önermesini doğru yapan x değerlerini bulalım.
Çözüm : x = 1 için 12
< 10
x = 2 için 22
< 10
x = 3 için 32
< 10 dur.
x = 4 için 42
> 10 olduğundan p(x) önermesi 1, 2 ve 3 doğal sayıları için doğru, diğer
doğal sayılar için yanlıştır.
x xN 10,
2
G ! +
31
Örnek : açık önermesinin doğruluk kümesini doğal sayılarda ve tam sayılarda bulalım.
Çözüm : olur. Buna göre doğal sayılardaki
doğruluk kümesi; ve tam sayılardaki doğruluk kümesi; olur.
Niceleyiciler
“Bütün elmalar tatlıdır.” önermesi doğru ise tatlı olmayan elma bulunabilir mi?
Yukarıdaki önermenin yanlış olması için elmaların hiçbirinin tatlı olmaması mı gerekir? Neden?
“En az bir”, “bazı” ve “her” sözcüklerini içeren önermeler yazarak bu önermelerin değillerini ifade etmeye çalışınız.
“Bazı insanlar 200 cm den uzundur.” önermesinin değilini yukarıdaki üç sözcüğü kullanarak ifade
ediniz?
Örnek : “Bazı” ve “her” niceleyicilerini kullanarak üç önerme yazalım.
Çözüm : p: “Bazı hayvanlar uçabilir.”
q: “Her tam sayının karesi pozitiftir.”
r: “Bazı sayıların küpü kendisinden küçüktür.”
cümleleri birer önermedir ve “her”, “bazı” kelimelerini içerir.
Örnek : p: “ Bazı asal sayılar çifttir. ”
q: “ Her çift sayı 2 ile bölünebilir. ”
r: “ Her x, y sayısı için x + y = y + x tir. ”
önermelerini ∀ ve ∃ sembollerini kullanarak ifade edelim.
Çözüm : p: “ ∃ x , x asal sayı, x = 2k , k ∈ N ”
q: “ ∀ x = 2k, k ∈ N, 2 ⏐ x ”
r: “ ∀ x , y ∈ R , x + y = y + x ” olur.
D 01234 = " , ,,,, D 2 101234 =- - " , , ,,,,,
1 2 5 15 4 2 10 2 5 G GG x xx +- - 1 11 & &
px x ( ): " " 1 2 5 15 G + 1
Önüne geldiği elemanların çokluğunu belirten “her”, “bazı” sözcüklerine niceleyiciler
deriz. Her niceleyicisi “∀” sembolü ile, bazı niceleyicisi de “∃” sembolü ile gösterilir.
Denklem ve eşitsizlikler de birer açık önermedir.
Her niceleyicisi “bütün” anlamı taşır. Bu niceleyiciye evrensel niceleyici denir. Bazı niceleyicisi “en az bir” anlamı taşır. Bu niceleyiciye varlıksal niceleyici
adı verilir. 32
Örnek : “ ∀ x ∈ N için x2
+ 3 > 0 ve “∃x için x2
– 5x < 0” önermelerinin olumsuzunu bulalım.
Çözüm :
“ ∀ x ∈ N için x2
+ 3 > 0 ” önermesi bütün x doğal sayıları için x2
+ 3 ün pozitif olduğunu ifade eder.
Bunun olumsuzu, bazı x doğal sayıları için x2
+ 3 ün negatif ya da sıfır olmasıdır. Bu da;
“ ∃ x ∈ N için x2
+ 3 ≤ 0” olarak ifade edilir.
“ ∃ x , x2
– 5x < 0 ” önermesi bazı x ler için x2
– 5x in negatif olduğunu ifade eder. Bunun olumsuzu,
her x sayısı için x2
– 5x in pozitif ya da sıfır olmasıdır.
Bu da; “∀ x, x2
– 5x ≥ 0” olarak ifade edilir.
Örnek : önermesinin olumsuzunu bulalım.
Çözüm :
dır.
Örnek : önermeleri için p∨q, p∧q, p⇒q
bileşik önermelerini yazarak doğruluk değerlerini bulup olumsuzlarını gösterelim.
Çözüm :
p ve q önermelerinin doğruluk değerleri,
olduğundan p ≡ 1 dir.
olduğundan q ≡ 0 dır.
bulunur.
Bu bileşik önermelerin olumsuzları,
: , ,, ,
: , ,, ,
: , ,, ,
∨∧ ∧
∧∨ ∨
∧ ∧
pq p q x Z x x x x
pq p q x Z x x x x
p q pq x Z x x x x
2 5 3 7 2 4 5 20
2 5 3 7 2 4 5 20
2 5 3 7 2 4 5 20
3
3
& 3
6 7
6 7
7 7
!
!
/ ! !G
/ ! !G
/ ! !G
+ -
+ -
+= -
y y y
y y y
y y
^ ^ ^
^ ^ ^
^ ^ ^
h h h
h h h
h h h
7
7
7
A
A
A
"
"
"
,
,
,
pq pq p q ∨∨ ∧∧ // // / / 10 1 10 0 1 0 0 , , & &
2 8 20 3
= 1
2 5 3 7 12 x xx Z += - = & !
: , ,, ,
: , ,, , ,
: , ,, ,
∨ ∨
∧ ∧
∨ ∨
pq x Z x x x x
pq x Z x x x x
p q p q x Zx x x x
2 5 3 7 2 4 5 20
2 5 3 7 2 4 5 20
2 5 3 7 2 4 5 20
3
3
& 3
7 6
7 6
6 6
2
2
! 2
! !
! !
/! !
+= -
+= -
+ - y
,
^ ^
^ ^
^ ^
h h
h h
h h
7
7
7
A
A
A
"
"
"
,
,
,
p x Z x x ve q x x :" , " :" , , , " 2 5 3 7 2 4 5 20 3
7 6 ! ! += - " , 2
x Rx x x Rx x Rx x x Rx , ,, , 00 00 ∧ ∨ 7 66 7 ! H ! /! ! G - -
22 2 2 2 1 y
7 A _ __ _ ii i i
x R xx x R x , 0 ,0 ∧ 7 A _ _ 7 6 ! H! -
2 2 i i 2
x bir değişken ve p(x) bir açık önerme olsun.
“ ∀ x için, p(x) tir.” önermesinin olumsuzu “ ∃ x için, p(x) değildir. ” şeklindedir. Yani,
tir.
“ ∃ x için, p(x) tir.” önermesinin olumsuzu “ ∀ x için, p(x) değildir. ” şeklindedir. Yani,
7 6 x px x p x , , / tir. y y
] ] g g 6 @ 7 A
66 7 x px x p x , , ] ] g g @
y y / 7 A
Semboller Olumsuzları Semboller Olumsuzları
∨
∧
6
7
∧
∨
7
6
=
2
1
H
G
1
2
!
G
H
şeklindedir.
dir.
Aşağıda bazı terimlerin sembollerinin olumsuzları karşılarına yazılmıştır. 33
ALIŞTIRMALAR
1. açık önermesi veriliyor. p(x) açık önermesini doğru ve yanlış yapan iki-
şer değer bulunuz.
2. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.
a. “ bir asal sayıdır.”
b. “ ”
c. “ ”
3. Aşağıdaki önermelerin olumsuzlarını yazınız.
a. “Her asal sayı tektir.”
b. “Bazı üçgenlerin kenarortayları aynı zamanda açıortaydır.”
c. “ ”
ç.
4. açık önermesinin tam sayılardaki ve doğal sayılardaki doğruluk kümesini
bulunuz.
5. Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz ve değillerini yazınız.
., ,
., ,
. , , 0,
,
,
∧
∨
∨
a xx xx x
b x x xx x N
c xx x xx x
Z
Z
0 30
0 34
6
3 2
6 7
6 7
7 6
1 2
1 !
!
!
G H!
-
+
y
-
_ ^
^ ^
_
i h
h h
i
7
7
7 7
A
A
A A
px x ] g:" " -1 7 1 1
xx x x x x x Z , ,, 4 2 2 2 14 0 ∧ 7 A _
6 7 2
-= - + + ] ]g gi ^ 1 h !
7xZx ! G , 2 50 -
x xx 0 1, 6 !
2
" ,,
=
7x Zx x ! , 3 45 6 -= -
x N2 1 , 6 ! x
-
px x x N ] g:" , " 2 1 17 + 1 !34
TANIM, AKSİYOM, TEOREM VE İSPAT
Tanım, Aksiyom ve Teorem
Aksiyom ve teorem arasında nasıl bir farklılık vardır?
Tanım ve terim arasındaki fark nedir? Açıklayınız.
İspatın evrenselliği ile ilgili neler söyleyebilirsiniz? Açıklayınız.
“Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir.” bileşik önermesini oluşturan önermeleri belirleyiniz.
Bu önermelerden hangisi hipotez, hangisi hükümdür? Açıklayınız.
Örnek : Matematikte bazı terimlerin tanımlı, bazılarının tanımsız olduğundan bahsetmiştik. Aşağıda bazı
terimlerin tanımları verilmiştir.
Önerme : Doğru ya da yanlış bir hüküm bildiren cümlelere önerme denir,
Asal Sayı : 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan 1 den büyük tam sayılara asal sayı denir.
Örnek : “d doğrusu ABC üçgeninin kenarlarından birini keserse diğer iki kenardan birini de keser.” ve
“ Bir noktadan sonsuz doğru geçer.” önermelerini aşağıdaki şekillere bakarak sezgisel olarak kavrayabiliriz.
A
B
d
C
A
Bir terimin ne olduğunu açıklayan ifadeye tanım denir.
Doğruluğu sezgisel olarak kavranan, ispatlanmadan kabul edilen önermelere aksiyom denir.
Yanda verilen resimleri inceleyiniz.
Dört resimden sadece birincisine bakarak yaklaşan
cismin ne olduğu tam olarak açıklanabilir mi?
“Denizin üzerinde dumanı tüten bir cisim varsa bu cisim bir gemidir” koşullu önermesinin her zaman doğru olduğunu kanıtlayabilir misiniz?
İlk üç resime göre zihninizde oluşan düşünceler, yaklaşan cismin bir gemi olduğuna nasıl yardım etti?
Yukarıdaki sorularla bir önermenin ispatının basamakları arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
Örnek : “Bir sayı çift ise sayının karesi de çift sayıdır.” önermesinin doğruluğunu gösterelim.
Çözüm :“Bir sayı çift ise sayının karesi de çift sayıdır.” önermesi sezgisel olarak kavranamaz fakat
doğruluğu gösterilebilir. Doğruluğu gösterilirken yapılan işlemler de evrensel doğrular olmalıdır.
x çift sayı ise x = 2n, n∈Z
+
dır. x2 = (2n)2
= 4n2
= 2 . 2n2
olur.
2n2
= t∈Z olduğundan x2 = 2t dir ve x2
de çift sayıdır.
“Bir sayı çift ise karesi de çift sayıdır.” önermesi evrensel doğrularla ispatlandığı için bu önerme evrensel bir doğrudur.35
Örnek : “ eşkenar üçgen ise dir. ” teoreminin hipotez ve hüküm kısımlarını belirtelim.
Çözüm : Teorem : p ⇒ q : “ eşkenar üçgen ise dir. ”
Hipotez : p : “ eşkenar üçgendir. ” Hüküm : q : “ dir. ” ABC & AB BC AC = =
ABC & AB BC AC = =
ABC & AB BC AC = =
Aksiyom ile teorem arasındaki en önemli fark, aksiyomun doğruluğunun ispatlanmadan kabul edilmesi, teoremin ise doğruluğunun ispat edilebilmesidir.
Doğruluğu ispatlanarak kabul edilen önermelere teorem denir.
Teoremler p ⇒ q şeklindeki önermelerdir. Burada p önermesine hipotez , q
önermesine hüküm adı verilir. Bir teoremin hipotezi doğru iken hükmünün de doğ-
ru olduğunun gösterilmesi teoremin ispatlanmasıdır.
Örnek : “Her tek sayının karesi tek sayıdır.” teoreminin hipotez ve hükmünü belirleyerek ispatlayalım.
Çözüm : Hipotez “ tek sayıdır.” Hüküm: “q : x2
tek sayıdır.”
p önermesinin doğru olduğunu kabul edelim.
p doğru ⇒ x tek sayıdır.
⇒
⇒ x
2
tek sayıdır.
⇒ q doğrudur.
x a aa aa 2 1 4 4 1 22 2 1 2 2 2 2
Z
= + = + += + +
!
] g ] g
123 44 44
px a a Z : = + 2 1 ] g !
Teorem: “∀ x ∈ R için dir.
Bu teoremin hipotezini ve hükümünü aşağıdaki noktalı yerlere yazınız.
Hipotez: .............................................................................................................................................
Hüküm: .............................................................................................................................................
(x2
– 4) = (x – 2) (x + 2) açık önermisi için
x değişkenine değerler vererek yandaki
tabloyu örneğe uygun şekilde doldurunuz.
Elde ettiğiniz souçları karşılaştırınız. Tüm
gerçek sayılar için verilen teoremin doğru
olduğunu söyleyebilir misiniz? Açıklayınız.
Bu teoremi farklı ispat yöntemleri ile ispatlayabilir misiniz? Açıklayınız.
x xx 4 22 2
^
-=- + h ] ]g g
x x
2
– 4 sonuç (x – 2) (x + 2) sonuç
5 5
2
– 4 21 (5 – 2) (5 + 2) 21
–3 (–3)2
– 4 5 (–3 – 2) (–3 + 2) 5
3
1
2
............ ................. ................... ........................
....................
.......
p ⇒ q koşullu önermesinden oluşan teoremde, p önermesinin doğruluğu
kabul edilerek bilinen tanım ve aksiyomlar yardımıyla q önermesinin doğru
olduğunun gösterilmesine doğrudan ispat yöntemi denir.
Örnek : tür. Koşullu önermesinin hipotez ve hükmünü belirleyerek ispatlayalım.
Çözüm : Hipotez : tir. Hüküm : tür. pa 5 : ! q a :2 3 13 + !
a a ! ! 5 2 3 13 & +
Hiçbir araştırma matematiksel ispattan geçmedikten sonra bilim adını almaya
layık olamaz. (Leonardo Davinci)36
q
ı
önermesi, ABC üçgeninin açılarının 60o
olmadığını söylemektedir. Açıların 60o
den farklı olması,
kenar uzunluklarının da farklı olduğunu gösterir. Bu ise başta kabul ettiğimiz ABC üçgeninin eşkenar olmasıyla çelişir. O hâlde önermesi yanlıştır. Eşkenar bir üçgenin bütün açıları 60o
dir.
Örnek : “ bir asal sayıdır.” teoreminin doğru olmadığını örnek vererek açıklayalım.
Çözüm : n = 4 için n2
+ n + 1 = 42
+ 4 + 1 = 21 sayısı 1 ve kendisinden başka sayılara da bölünebildiğinden asal değildir. Dolayısıyla verilen teorem en az bir doğal sayı için doğru değildir. Yani verilen
teorem yanlıştır.
n Nn n , 1 6 !
2
+ +
q
y
p ⇒ q koşullu önermesinden oluşan teoremin doğruluğunu göstermek için bu
önermenin değilinin yanlış olduğunun gösterilmesi yöntemi, çelişki ile ispat yöntemidir.
Sonlu sayıdaki değerler için ifade edilen bir teoremin doğruluğunun, o değerlerin teker teker denenerek gösterilmesi yöntemi deneme yöntemi ile ispattır.
p ⇒ q koşullu önermesinden oluşan teoremde denkliğinden faydalanarak p ⇒ q teoreminin ispatlanması yerine, qı
⇒p
ı
teoreminin ispatlanmasına, olmayana ergi
yöntemi ile ispat denir.
pq q p & & /
y y ^ h
_ i
Örnek : A = {0, 1, 2} kümesi veriliyor. “∀ n ∈ A için tür.”
Çözüm : n = 0 için
n = 1 için
n = 2 için elde edilir. Buna göre A = {0,1,2} kümesinin her elemanı için tür.
Örnek : “ABC eşkenar üçgen ise her bir açısı 60°
dir.” teoreminin hipotez ve hükünü belirleyip ispatlayalım.
Hipotez : “ABC eşkenar üçgendir.”
Hüküm : “ABC üçgeninin her bir açısı 60°
dir.”
p ⇒ q önermesinin doğru olduğunu göstermek için nin yanlış olduğunu gösterelim.
denkliğinden yola çıkarak p önermesi ile önermesinin birbiriyle çeliştiğini göstereceğiz. Yani ∧ ≡ 0 olduğunu, dolayısıyla p ⇒ q≡ 1 olduğunu, göstermiş olacağız.
p: “ABC eşkenar üçgendir.” : “ABC üçgeninin her bir açısı 60o
q değildir.” I
q
I
p
I
q
I
p q pq I
I
^ h & / /
p q & I
^ h
2 34 n n 2
1 +
2 3 2 4 8 10 2$ $
2
1 1 + &
2 3 1 4 2 7, 1$ $
2
1 1 + &
2 3 0 4 0 4, 0$ $
2
1 1 + &
2 34 n n 2
1 +
bulunur. Böylece qı
⇒ p
ı
önermesinin
doğru olduğunu göstermiş olduk. Dengi doğru olan önerme de doğru olacağından p ⇒ q önermesi de
doğrudur. Dolayısıyla bu ispat aynı zamanda p ⇒ q önermesinin de ispatıdır.
qa a a a p : 2 3 13 2 10 5 2 3 13 I
! I
/ / & & I
] g + += = =
olduğundan p ⇒ q önermesi yerine bu önermeye denk olan qı
⇒p
ı
önermesini ispatlayalım.
pq q p
I I ^ & & h / _ i37
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki ifadelerden hangileri birer aksiyom, hangileri birer teorem ifade eder?
a. “Farklı iki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.”
b. “İki tek doğal sayının toplamı daima çifttir.”
c. “Tek bir doğal sayının karesi yine tek bir doğal sayıdır.”
ç. “Bir doğruya dışındaki bir noktadan en çok bir paralel doğru çizilebilir.”
2. Aşağıdaki koşullu önermelerle ifade edilen teoremlerin hipotez ve hükümlerini belirtiniz.
a. “İki tek doğal sayının çarpımı daima tek sayıdır.”
b. “ ”
c. “ i, ikizkenar üçgen ise tabana ait kenarortay uzunluğu aynı zamanda açıortay uzunluğudur.”
ç. “İki çift sayının farkı çift sayıdır.”
3. “Herhangi bir tek sayının kuvveti daima tek sayıdır.” önermesini doğrudan ispat yöntemi ile ispatlayınız.
4. “x ∈ R olmak üzere, ” önermesini olmayana ergi yöntemi ve çeliş-
ki metodu ile ispatlayınız.
5. “a ∈ {–1,0,1} olmak üzere, dir.” önermesinin yanlış olduğunu çelişki yöntemiyle ispatlayınız.
6. “x ∈ {2,3,4,5} için dır.” önermesini deneme yöntemiyle ispatlayınız.
7. “x ∈ N için “ ” ifadesinin yanlış olduğunu aksine örnek vererek ispatlayınız. xx x 1 2 2
++ =+ 2 2 ] ] g g
x x7 6 2
1 -
a a ise m n 6
m n
= =
3 1 7 4 12 . x ise x x dir 2
+= + =
ABC &
2 10 0 1 126 x ise x olur.
3
- = +=
p ⇒ q koşullu önermesinin doğru olmadığını göstermek için bir istisna bulmak yeterlidir. Bu şekilde aksine örnek vererek önermenin yanlış olduğunun
gösterilmesine aksine örnek vererek ispat deriz. Bu yöntem bir önermenin doğ-
ruluğunu değil, yanlışlığını göstermek için kullanılır.
İspat Yöntemleri
Teoremlerin ispatlanabilmesi için çeşitli yöntemler vardır. Bu yöntemlerden bazılarını inceleyelim.
Tümevarım
İSPAT YÖNTEMLERİ
Doğrudan İspat
Olmayana
Ergi Yöntemi
ile İspat
Çelişki
Yöntemi ile
İspat
Deneme
Yöntemi ile
İspat
Aksine
Örnek
Vererek
İspat
Dolaylı İspat
Tümdengelim38
1. TEST
1. Aşağıdaki ifadelerden hangisi önerme değildir?
A. Güneş doğudan yükselir. B. 7 bir çift sayıdır.
C. En küçük doğal sayı 0 dır. D. Yaşasın millî takım!
E. Kar beyazdır.
2. Aşağıdaki terimlerden hangisi tanımlı terimdir?
A. Doğru B. Hücre C. Yanlış D. Küme E. Nokta
3. 6 önermenin doğruluk değeri için kaç değişik durum vardır?
A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 E. 256
4. (p∨q)⇒q bileşik önermesine denk olan bileşik önerme aşağıdakilerden hangisidir?
A. ∨q B. 0∨q C. p∧q D. ∨q E. 1∧0
5. p ≡ 1, q ≡ 0 ve r ≡ 1 olmak üzere aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi doğrudur?
A. (p∨q)∧ B. ( ∧r)∧p C. ( ⇒ q) ⇒ q D. q∧r E. ∧
6. önermesinin doğruluk değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A. 0 B. p∧ C. 1 D. E.
7. (p∧q)⇒ önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?
A. p∧ B. (p∧q) C. ∨q D. p∨q E. p∧q
8. Aşağıdaki önermelerden hangisi totolojidir?
A. p∧1 B. p⇔q C. p∨1 D. E. ∨0
9. Aşağıdaki önermelerden hangisi çelişkidir?
A. ⇒0 B. p∨1 C. p∨0 D. p∧0 E. ⇒1
10. önermeleri veriliyor. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi doğru bir önermedir?
A. (p ∧ q)∨ B. C. D. p∧q∧ E.
11. ∧ q ≡ 1 ise aşağıdaki önermelerden hangisi yanlış bir önermedir?
A. p∨q B. (p∨q)⇒p C. D. E. p ⇒
12. Aşağıdaki bileşik önermelerden kaç tanesinin doğruluk değeri 1 dir?
I. II. III.
IV. V.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
13. bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A. p B. C. D. p∨q E. p∧q
14. p ⇒ (q ∧ p) bileşik önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?
A. p∨ B. p∨q C. p∧ D. p∧q E. ∧q
15. bileşik önermesinin sadeleştirilmiş şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A. p B. q C. D. E. p q ∨q
I
p
I
^ ^ qp q q ∨ ∧h h &
p
I
q
I
q
I
p
I
q
I
p qp
I I I
8 B / 0 _ i
1 0 10 ∨ ∧ 0 I I 00 0 ∨ ∧ 1 ] ] g g 6 @ ] g I
&
1 1 ∨1 ] ] 00 10 +&& g g + I
1 01∧ ] g &
I
6 @ ] g
q
I
p q∨
I
I
p∧q _ i I
^ h
p
I
r q qp∨
I
I
r ^ h & +
I
r qp∧ & I
p∨r ^ h I
r ^ h I
p tir q dur r tir : " ." , : " ." , : " ." 3 5 5 10 3 5 2 2 2
= --
q
I
p
I
p
I
1∧p
I
^ h
p
I
q
I
q
I
q
I
p
I
q
I
q p p ise p q p r ∨ ∨ 0
II I I
_ _ & && i i / ^ h
q
I
p r ∧
I
p ^ h I
q
I
r
I
q
I
p
I39
KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR
Canlılar; bitkiler, hayvanlar, mantarlar ve tek
hücreliler olmak üzere dört gruba ayrılır.
Bu gruplandırmanın nasıl bir yararı vardır?
Gruplandırmalar neye göre yapılmıştır?
Mantarlar ya da bitkiler dendiğinde herkesin
aynı şeyi anlamasının sebebi nedir?
Küme Kavramı
Aşağıdaki tabloda Türkiye’nin bazı illeri verilmiştir.
Tablodan, Türkiye’nin doğusunda bulunan illeri belirleyiniz.
Belirlediğiniz illeri { } şeklinde bir parantez içinde, aralarına virgül koyarak yazınız.
Tablodan, Türkiye’nin kuzeyinde bulunan illeri belirleyiniz.
Belirlediğiniz illeri kapalı bir eğri içinde önlerine nokta koyarak yazınız.
Tablodan, Türkiye’nin güneyinde bulunan illeri bir açık önerme yardımıyla yazınız.
Oluşturduğunuz bu toplulukları A, B, C, D, ... gibi büyük harflerle adlandırınız.
Bu topluluklardaki illeri teker teker yazmak yerine ortak özellikleri yardımıyla nasıl ifade edersiniz?
Bu topluluklarda kaçar tane eleman olduğunu bulunuz.
Örnek : 0 ile 100 arasındaki bazı sayılardan bir topluluk oluşturalım.
Çözüm : Topluluğun hangi sayılardan oluşacağı açık ve kesin olarak belirtilmediğinden herkes değişik sayı-
lardan bir topluluk oluşturabilir.
Örnek : 0 ile 100 arasındaki kareleri çift olan sayılardan bir topluluk oluşturalım.
Çözüm : 0 ile 100 arasında kareleri çift olan sayılar 2, 4, 6, ..., 98 sayılarından oluşan topluluktur. Bu topluluk açık ve kesin olarak bellidir.
Van Samsun Sinop Kastamonu
Antalya Hatay Kilis Bitlis
Mersin Bartın Adana Ağrı
Ordu Muş Giresun Iğdır
Küme, birbirinden farklı ve iyi tanımlanmış nesnelerden oluşan bir topluluktur. Kümeler
genel olarak A, B, C, ... gibi harflerle gösterilir.
Kümeyi oluşturan nesnelerin her biri kümenin elemanlarıdır.
Bir a nesnesi A kümesine ait ise a ∈A (a eleman A) biçiminde gösterilir. Bir b nesnesi A
kümesine ait değilse b ∉A (b elemanı değil A) biçiminde gösterilir.
2. BÖLÜM KÜMELER2
7
M S
10 4
1
5 3
40
Kümelerin Gösterilişi
a. Liste Yöntemi ile Gösterme
Örnek : 10, 4, 8, 6, 2 elemanlarının oluşturduğu A kümesini { } biçimindeki parantezin içine, elemanların aralarına virgül koyarak yazalım.
Çözüm : A = {
2, 4, 6, 8, 10 }
olur.
Örnek : 3 ile 46 arasında 6 ile tam bölünebilen sayıların oluşturduğu K kümesini, liste yöntemi ile gösterelim.
Çözüm : K = {
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 }
olur.
b. Venn Şeması ile Gösterme
Örnek : M = {
2, 3, 5 }
ve S = {
1, 4, 7, 10 }
kümelerinin elemanlarını ayrı ayrı önlerine nokta koyarak
kapalı bir eğri içerisinde gösterelim.
Çözüm :
Örnek : 12 ile 18 sayılarını ortak bölen tam sayıların oluşturduğu A kümesini Venn şeması ile gösterelim.
Çözüm :
Örnek : Aşağıdaki toplulukların hangilerinin bir küme belirteceğini bulalım.
a. İki basamaklı pozitif tam sayılar topluluğu
b. Yeryüzünde yaşayan bazı canlılar topluluğu
c. 12 yi tam bölen bazı sayılar topluluğu
ç. Türkiye’nin G harfi ile başlayan illerinin topluluğu
Çözüm : a ve ç şıklarında verilen topluluklar birer küme belirtirler. Çünkü herkesin bu topluluklar için
söyleyeceği elemanlar aynı olacaktır.
b ve c şıklarında verilen topluluklar kişilere göre farklılıklar göstereceğinden oluşturulacak topluluklar birer küme belirtmeyeceklerdir.
Örnek : “ATATÜRK” kelimesinde kullanılan harflerin oluşturduğu kümedeki elemanları belirtelim.
Çözüm : “ATATÜRK” kelimesindeki harfler A, T, Ü, R, K harfleridir.
Kümeyi oluşturan nesnelerin, sıra gözetilmeden { } biçimindeki parantezin içine, aralarına
virgül konularak yazılması bu kümelerin liste biçiminde gösterilmesidir.
Kümeyi oluşturan nesnelerin kapalı bir eğri içinde önlerine nokta konularak yazılması bu
kümelerin Venn şemasıyla gösterilmesidir.
Kümelerde her eleman bir kez yazılır, tekrarlanmaz.
A
3
-3
6
-6
-1
-2
2
141
c. Ortak Özellik Yöntemi ile Gösterme
Örnek : C = {
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 }
kümesini, elemanları arasında ortak bir özellik varsa bu özelliği belirterek gösterelim.
Çözüm : Bu kümedeki elemanların ortak özelliği 20 den küçük asal sayılar olmasıdır. Kısaca,
şeklinde yazılabilir.
Örnek : Aşağıda ortak özellik yöntemiyle verilen kümeleri liste yöntemi ve Venn şemasıyla gösterelim.
Çözüm :
Sonlu ve Sonsuz Kümeler
∗ Yukarıdaki sayı doğrusu üzerinde 0 dan 10 a kadar olan çift sayıları işaretleyiniz.
∗ İşaretlediğiniz çift sayılardan oluşan kümeyi liste yöntemi ile yazınız.
∗ Aynı sayı doğrusu üzerinde 10 dan büyük kaç tane daha çift sayı işaretleyebiliriz?
İşaretlediğiniz en büyük çift sayıyı söyleyebilir misiniz?
∗ Bu şekilde elde ettiğiniz çift sayılardan bir küme oluşturunuz.
Oluşturduğunuz kümenin eleman sayısı hakkında ne söyleyebilirsiniz?
∗ Şimdi de sayı doğrusu üzerinde ardışık iki çift sayı işaretleyiniz.
∗ Bu iki sayı arasında bulunan çift sayılar ile rasyonel sayılardan iki ayrı küme oluşturunuz.
∗ Oluşturduğunuz kümelerin eleman sayılarını belirleyiniz.
Yukarıdaki kümelerin her birinin eleman sayısını bir doğal sayı ile ifade edebilir misiniz? Neden?
Örnek : kümesinin eleman sayısını bulalım.
Çözüm : A 01234 = " , ,,,, olduğundan A kümesinin 5 elemanı vardır.
A x x xN = # - 0 5 G ! 1 ,
. ,
., ,
. ,
aA x x x Z
b B x y x y x N ve y N
cC xx x Z
2 3
4
9
2
1
1
G !
! !
!
= -
= +=
=
^ h
"
$
#
,
.
-
C x2 = " , G x 20 1 , x asal sayı
Kümeler {
x ⏐ ..... }
veya {
x : ..... }
şeklinde noktalı yere x elemanlarını tanımlayan bir
açık önerme yazılarak gösterilebilir. Kümelerin bu şekildeki gösterimi, ortak özellik yöntemi
ile gösterim olarak adlandırılır.
-1 0
3 1
2
(0,4) (1,3)
(2,2) (3,1)
(4,0)
C
-2 0
1
-1
2
A B
a. A 10123 = -" , ,,,, b. B 04 13 22 31 40 = " , ^^^^^ ,,,,,,,,, hhhhh c. C 2 1012 =- - " , , ,,,
... 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...
Bir A kümesine ait bütün elemanların sayısı s(A) ile gösterilir. A kümesinin eleman sayısı m
ise bu, s(A) = m biçiminde gösterilir. 42
A ve B gibi iki kümeden A kümesinin her bir elemanı B kümesinin de elemanı ise, A kü-
mesi B kümesinin bir alt kümesidir. Bu durum A ⊂ B (A alt küme B) veya B ⊃ A (B kapsar
A) biçiminde gösterilir. Yani, ∀ x ∈ A için x ∈ B ⇔A ⊂ B dir.
Örnek : Aşağıdaki kümelerin eleman sayılarını bulalım.
Çözüm : a. A kümesinin elemanları 5 ten küçük doğal sayılardan oluşur. O hâlde,
tir.
b. B kümesinin elemanları 1 ve 3 arasındaki gerçek sayılardan oluşur. Bu aralıktaki elemanlar sayılamayacak kadar çoktur. Bu nedenle B kümesinin eleman sayısını belirleyemeyiz.
c. Karesi –1 olan gerçek sayı bulunamayacağından C kümesinin elemanı yoktur. O hâlde s(C) = 0 dır.
Alt Küme
A = {a,b,c,d} kümesinin elemanlarını kullanarak
Bir, iki, üç ve dört elemanlı kümeler oluşturunuz.
Elemanı olmayan bir küme oluşturunuz.
Oluşturduğunuz kümelerden başka, A kümesinin elemanlarını kullanarak başka küme oluşturabilir
misiniz?
Elemanları yukarıdaki kümeler olan bir küme oluşturunuz ve bu kümenin eleman sayısını bulunuz.
Benzer işlemleri uygulayarak aşağıdaki tabloda boş bırakılan yerleri doldurunuz.
Tablodan yararlanarak bir kümenin eleman sayısı ile alt kümelerinin sayısı arasında bir bağıntı bulunuz. Bulduğunuz bağıntıyı arkadaşlarınızın bulduğu bağıntı ile karşılaştırınız.
A ve A = = " , 01234 5 ,,,,, s] g
aA xx N bB x x R c xx R .,. ,. , 5 13 1 x xx C
2
= = = =- "
1 11 ! !! , " , # -
Küme Alt kümeleri Kümenin
eleman sayısı
Kümenin alt
kümelerinin sayısı
A = { }
B = { 1 }
C = {1,2}
D = {1,2,3}
E = {1,2,3,4}
Elemanları sayılabilir çoklukta olan kümeler sonlu kümelerdir. Sayılamayacak kadar çok
elemanlı kümeler sonsuz kümelerdir. Hiç elemanı olmayan kümeler boş kümelerdir. Boş kü-
meler ∅ veya {} sembollerinden biri ile gösterilir.
Örnek : A = {1,2,3} kümesinin elemanlarını kullanarak farklı kümeler oluşturalım.
Çözüm : Bu kümeler şeklindedir. Bu kümelerin her
biri A kümesinin birer alt kümesidir. Ayrıca boş küme her kümenin alt kümesi ve her küme kendisinin alt
kümesidir.
!!! +++ , , , , , , , , , , ,, 1 2 12 13 23 123 !
3+ """" ,,, ,43
Örnek : (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C olduğunu gösterelim.
Çözüm :A ⊂ B ⇒ ∀ x ∈ A için x ∈ B,
B ⊂ C ⇒ ∀ x ∈ A için x ∈ C dir.
∀ x ∈ A için x ∈ B ve ∀ x ∈ B için x ∈ C ise ∀ x ∈ A için x ∈ C dir.
Öyleyse A ⊂ C olur. (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C) dir.
Örnek : kümesinin 0, 1, 2, 3 ve 4 elemanlı alt kümelerini bulalım.
Çözüm : kümesinin,
B kümesinin sıfır elemanlı 1, bir elemanlı 4, iki elemanlı 6, üç elemanlı 4, dört elemanlı 1 olmak üzere toplam 16 alt kümesi vardır.
Sıfır elemanlı kümenin alt küme sayısı 1,
Bir elemanlı kümenin alt küme sayısı 2,
İki elemanlı kümenin alt küme sayısı 4,
Üç elemanlı kümenin alt küme sayısı 8,
Dört elemanlı kümenin alt küme sayısı 16 olup bu sayılar 2 nin kuvvetleridir.
Örnek : kümesinin tüm alt kümelerinden oluşan bir küme yazalım.
Çözüm : K = {0, 1, 2} dir. K kümesinin tüm alt kümelerinden oluşan küme;
şeklindedir.
Örnek : Bir A kümesinin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı 31 dir. A kümesinin kaç elemanlı olduğunu bulalım.
Çözüm : s(A) = n olsun. O hâlde; alt küme sayısı, 2n
ve öz alt küme sayısı, 2n
–1 dir. Buna göre;
bulunur.
2 2 1 31 2 2 32
2 2
nn n
& n 4
+ -= =
=
& $
& n 4 =
"Q, , , , , , , , , , ,, !
0 1 2 01 02 12 012 + ! ! + + "" " " ,,, ,,
K xx x N 9, = $ . 2
1 !
;
;
, , , , , ,;
,, ,, ,, ,, ;
,,,
)
)))
)) )
)
495
4 9 5 49 45 95
49 45 495 95
495
,,,
,,,,,
,,,
!
! ! ! !
" " " """
" " ""
"
+
+ + + +
, , ,,,,
, ,, ,
,
B = " , ),,, 495
B = " , ),,, 495
Bir kümenin kendisi dışındaki tüm alt kümelerine o kümenin öz alt kümeleri denir.
Eleman sayısı n olan bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n
, öz alt kümelerinin sayısı
2
n
–1 dir.
Boş küme her kümenin alt kümesi, her küme de kendisinin alt kümesidir. ∅ ⊂ A ve
A ⊂ A dır.
0 elemanlı alt kümesi ,
1 elemanlı alt kümeleri ,
2 elemanlı alt kümeleri ,
3 elemanlı alt kümeleri ,
4 elemanlı alt kümesi ,
Bir kümenin tüm alt kümelerinden oluşan küme, bu kümenin kuvvet kümesidir. O
hâlde s(A) = n ise A nın kuvvet kümesinin eleman sayısı 2n
dir.
şeklindedir. 44
Örnek : A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde;
a. 7 eleman olarak bulunmaz?
b. 3 eleman olarak bulunur?
c. 1 ve 5 eleman olarak birlikte bulunur?
ç. 3 ve 7 elemanlarından hiçbiri bulunmaz?
d. 3 veya 7 eleman olarak bulunur?
Çözüm :
a. “7” alt kümelerin hiçbirinde eleman olarak bulunmayacağından geriye kalan {1, 3, 5, 9} kümesinin
elemanları ile kaç tane alt küme yazabileceğimizi bulmalıyız. O hâlde 24
= 16 tane alt kümede “7”
eleman olarak bulunmaz.
b. “3” elemanı dışında geriye kalan {1, 5, 7, 9} kümesinin elemanları ile 2n
= 16 tane alt küme yazılabilir. Bu alt kümelerin her birine “3” elemanını da dâhil edelim. Böylece elde edilen 16 alt kümenin
her birinde “3” eleman olarak bulunur.
c. “1” ile “5” elemanları dışında geriye kalan {3, 7, 9}kümesinin elemanları ile 23
= 8 tane alt küme yazılabilir. Bu alt kümelerin her birine “1” ve “5” elemanlarını da dâhil edelim. Böylece elde edilen 8 alt
kümenin her birinde “1” ve “5” eleman olarak birlikte bulunur.
ç. “3” ve “7” alt kümelerin hiçbirinde eleman olarak bulunmayacağından geriye kalan {1, 5, 9} kümesinin elemanları ile 23
= 8 tane alt küme yazılabilir.
d. A kümesinin tüm alt kümelerinden, “3” ve “7” elemanlarının her ikisinin de bulunmadığı alt kümeleri
çıkarırsak istenileni bulabiliriz. Buna göre A kümesinin 25
= 32 tane alt kümesi vardır. 32 – 8 = 24 tanesin de “3” veya “7” eleman olarak bulunur.
Örnek : A = {m, l, s, k, b} kümesi veriliyor. {s, b} ⊂ K ⊂ A şartını sağlayan kaç tane K kümesinin yazı-
labileceğini bulalım.
Çözüm : {s, b} ⊂ K ⊂ {m, l, s, k, b} olacak şekilde kümeler bulacağız. Oluşturulabilecek kümelerde “s”
ve “b” elemanları olmak zorundadır. Geriye kalan {m, l, k} kümesinin elemanları ile 23
= 8 tane alt kü-
me yazılabilir. Bu alt kümelerin her birine “s” ve “b” eleman olarak eklenir. Böylece 8 tane K kümesi yazılabilir.
Örnek : M = {a, b, c, d} kümesi veriliyor. Buna göre;
a. M nin en fazla bir elemanlı alt kümelerini,
b. M nin en az iki elemanlı alt kümelerini,
c. M nin en az üç elemanlı alt kümelerini bulalım.
Çözüm :
. , , ,,
. , , , , , , , , , , , , ,, , ,, , ,, , ,, , ,,,
. ,, , ,, , ,, , ,, , ,,,
aa b c d
b ab ac ad bc bd cd abc abd bcd acd abcd
c abc abd bcd acd abcd
!!!! Q
""""""" " " " "
"""""
++++
,,,,,, , , , , ,
,,,, ,
1. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısının n nin r li kombinasyonu olduğunu biliyoruz. O hâlde n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısını;
şeklinde bulabiliriz.
2. n! = 1 . 2 . 3 . ... . n dir.
3. 0! = 1 dir.
,
! !
!
Cnr n
r rn r
n
= =
-
^
e
]
h
o
g45
Örnek : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin;
a. 2 elemanlı alt küme sayısını, b. 6 elemanlı alt küme sayısını,
c. 5 elemanlı alt küme sayısını, ç. 7 elemanlı alt küme sayısını,
d. En çok 3 elemanı olan alt kümelerinin sayısını,
e. En az 2 elemanı olan alt kümelerinin sayısını bulalım.
Çözüm :
a. dir. b. dir.
c. dir. ç.
d. En çok üç elemanlı alt kümeler; 0, 1, 2 ve 3 elemanlı alt kümelerdir. Buna göre,
olarak bulunur.
e. En az iki elemanlı alt kümeler; 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 elemanlı alt kümelerdir. Öyleyse,
+++++ - + olarak bulunur. 7
2
7
3
7
4
7
5
7
6
7
7
2
7
0
7
1
128 1 7 120 7
e o e o e o e e o o e o
= = -+= = G e o e o ] g
7
0
7
1
7
2
7
3
e o
+ + + =++ + = e e o o e o
1 7 21 35 64
! !
!
dir.
7
7 7 0
7
= = 1
$
e o ! !
7 !
5 5 2
765
= = 21
$
e o $ $
! !
7 !
6 6 1
7 6
= = 7
$
e o $
! !
!
! !
!
!
7 !
2 2 72
7
2 5
7
215
765
2
42
= 21
-
= = ==
$ $ $$
e
$ $
]
o
g
olmak üzere
1) 2)
3) 4) dir.
n elemanlı bir kümenin;
5) En çok r elemanlı alt küme sayısı,
6) En az r elemanlı alt küme sayısı,
7) Tüm alt kümelerinin sayısı, dir. ...
nnn n
012 n
2
n
e o
+ + ++ = ee e oo o
...
n
r
n
r
n
1 n
+
+
e o e o
+ +e o
...
nnn n
012 r
e o
+ + ++ ee e oo o
n
r
n
n r
=
-
e o e o
n
0
e o = 1
n
n
1
e o =
n
n
e o = 1
nZrn ! G ,
+
Örnek : B kümesinin eleman sayısı, A kümesinin eleman sayısından bir fazladır. B kümesinin alt kümelerinin sayısı, A kümesinin alt kümelerinin sayısından 32 fazladır. Buna göre B kümesinin kaç tane üç elemanlı
alt kümesinin olduğunu bulalım.
Çözüm :
B kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı, ! !
!
olarak bulunur.
6
3 3 3
6543
= = 20
$
e o $$$
.
.
A n B n olur
n bulunur O h lde B n a
s s
s
1 2 32 2 2 2 32
2 2 1 32
2 32 2
5 1 51 6
n n nn
n
n
1 1
5
= =+ + = - = & &
- =
= =
= =+=+=
+ +
&
&
&
] ]
]
]
g g
g
â. g
dır.46
Eşit ve Denk Kümeler
Yanda verilen A, B ve C kümelerini liste yöntemiyle yazınız.
Bu kümelerin her birinin eleman sayılarını bulunuz.
A, B ve C kümelerini eleman sayıları ve elemanları bakımından karşılaştırınız. Sonuçları
arkadaşlarınız ile paylaşınız.
Örnek :
kümelerinin elemanlarını ve eleman sayılarını karşılaştıralım.
Çözüm :
A kümesinin her elemanı B kümesinde (A⊂B) ve B kümesinin her elemanı da A kümesinde (B⊂A)
bulunmaktadır. dır.
C kümesinin elemanları A ve B kümelerinin elemanları ile aynı değildir. Fakat, dır.
a. s(A) ... s(B) ... s(C) b. (B ... C) ∧ (C ... B) c. (C ... A) ∧ (A ... C)
Çözüm : Öyleyse
a. s(A) ≠ s(B) = s(C) b. (B ⊂ C) ∧ (C ⊂ B) c. (C ⊂ A) ∧ (A ⊂ C) dir.
A B ve C dir = == " "" -523 012 , ,, ,, , ,, . 6 012 ,, ,
... ,
,
3,
, ,
A xx x x x x Z
B xx x N
C xx x N
2 3 5 60
6 012 2
1
1
!
!
!
= - - + -=
=
=
# ] g ]]] ggg
$
#
-
.
-
sss ] ] ABC g g === ] g
6
s s ] ] A B g g = = 6
A B ve C dir == = "" " 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 6 12 ,,,,, , ,,,,, ,,,,, . ,, ,
,
,
B x x xN ,
C x x yi
2 9
12
=
=
# 1 1 !
$
-
.
A 345678 = " , ,,,,, ,
,
,
, ,
A xx x N
B xx x N
C x x x kk N
5
25
2 20 4
2
1
1
1
!
!
G !
=
=
= =
#
$
#
-
.
-
Aynı elemanlardan oluşan kümeler eşit kümelerdir. A ve B eşit kümeler ise A = B şeklinde, A
ve B eşit kümeler değil ise A≠ B şeklinde gösterilir.
Eleman sayısı eşit olan kümeler denk kümelerdir. A ve B denk kümeler ise A≡ B şeklinde, A
ve B denk kümeler değil ise şeklinde gösterilir. A B _
Eşit kümeler aynı zamanda denk kümelerdir. Fakat denk kümeler eşit küme olmak zorunda değildir.
tam bölen pozitif tam sayılar
kümeleri için aşağıdaki boşlukları uygun şekilde dolduralım.
Örnek :
George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 –1918)
Kümeler kavramının kurucusudur. "Sonsuz küme" kavramına matematiksel bir
tanım getirmiş ve gerçel sayıların sonsuzluğunun doğal sayıların sonsuzluğundan
"daha büyük" olduğunu ispatlamıştır.47
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki ifadelerden hangileri birer küme belirtir?
a. 43 ten büyük tek sayılar b. Yılın bazı ayları c. “MATEMATİK” sözcüğünün harfleri
2. Küpü 0 ile 90 arasında olan doğal sayıların kümesi A olsun. Buna göre aşağıdaki ifadelerin hangilerinin doğru olduğunu bulunuz.
a. 5 ∈ A b. {2, 4} ⊂ A c. A ⊂ A ç. s(A) = 5
d. A ≠ ∅ e. 0 ∈ A f. {3} ∈ A g. { } ⊂ A
3. kümesi için aşağıdakilerden hangilerinin doğru (veya yanlış) olduğunu belirtiniz.
a. d ∈ A b. {a} ⊂ A c. s(A) = 3 ç. {a,c} ⊂ A d. b, c ∈ A
4. Aşağıda liste yöntemi ile verilen kümeleri ortak özellik yöntemi ile yazınız.
a. A = {a,b,c,ç,d} b. B = {1,3,5,7,9,11,13,17, ...}
5. Aşağıda ortak özellik yöntemi ile verilen kümeleri liste yöntemi ile yazınız.
a. b.
c. ç.
6. Aşağıdaki kümelerin sonlu veya sonsuz küme olup olmadıklarını belirtiniz.
a. b. c.
7. A = {x ⏐ x tam sayı, } ile B = {x ⏐ x ∈ A ve x asal sayı } kümeleri veriliyor. A ve B
kümelerinin eleman sayılarını bulunuz.
8. A = {0,1,2} ve B = {x ⏐ x ∈ A ve x tam sayı} kümeleri veriliyor. A kümesi, B kümesinin alt kümesi
midir? Açıklayınız.
9. K = {x ⏐ x , 3 ün katı olan doğal sayılar ve } kümesi veriliyor.
a. K kümesini liste yöntemi ile yazınız.
b. K kümesinin kaç alt kümesi ve öz alt kümesi vardır?
c. K kümesinin kuvvet kümesini yazınız.
ç. K kümesinin üç elemanlı, en çok üç elemanlı ve en az beş elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
10. Öz alt küme sayısı 7 olan küme kaç elemanlıdır?
11. Alt küme sayısının 6 fazlası, öz alt küme sayısının 2 katına eşit olan küme kaç elemanlıdır?
12. A = {0,2,4,6,8} kümesi veriliyor. A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde;
a. 6 eleman olarak bulunmaz? b. 4 eleman olarak bulunur?
c. 4 ve 6 eleman olarak bulunur? ç. 4 veya 6 eleman olarak bulunur?
d. 4 eleman olarak bulunur, 6 bulunmaz?
13. kümesi veriliyor. A kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, 4 eleman olarak bulunur?
14. 2 den az elemanlı alt küme sayısı 7 olan bir kümenin alt kümelerinin sayısı kaçtır?
15. Karesi tek sayı olan çift sayma sayılarının kümesi A olsun. A kümesine eşit olan bir küme yazınız.
16. kümeleri veriliyor. A ≠ K ve B ≠ K olmak üzere, A⊂ K ⊂ B
olacak biçimde kaç tane K kümesi yazılabilir?
17. kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde asal sayı bulunmaz?
18. A kümesinin alt küme sayısı B kümesinin alt küme sayısının 32 katı ise A kümesinin eleman sayısı,
B kümesinin eleman sayısından kaç fazladır?
A 12345678 = " , ,,,,,,,
A ve B = = " " 1 2 3 1234567 , , ,,,,,, , ,
A x x xN : , 2 25 GG ! 2
= # -
-2 21 G x 1
0 14 G Gx
A xx x N = # - 2 5, ! C xx x Z = =- $ . 2
9, ! D xx x Z = # - 1 3, !
C xx x Z = -= # - 2 3 10, ! D xx x Z = # - 1 4, !
A xx x Z = = $ . 2
16, ! B x x xZ = # - 2 7 1 1 ,
!
A a bc d = " ,,, " , ,48
KÜMELERDE İŞLEMLER
Yandaki tabloda bir grup öğrencinin okulda hangi
etkinliklere katıldığı verilmiştir.
En az bir etkinlikte görev alan öğrenciler kimlerdir?
Okul korosuna katılmayan öğrenciler kimlerdir?
Sadece tiyatroya katılanlar kimlerdir?
Her iki etkinliğe katılan öğrenciler kimlerdir?
Bir sınıftaki öğrencilerden, matematik veya edebiyat kurslarına devam edenlerin tablosu aşağıda verilmiştir.
Buna göre;
Matematik kursuna devam eden öğrencilerden bir küme oluşturunuz.
Edebiyat kursuna devam eden öğrencilerden bir küme oluşturunuz.
Matematik ve edebiyat kurslarının her ikisine de devam eden öğrencilerden bir küme oluşturunuz.
Yalnız bir kursa devam eden öğrencilerden bir küme oluşturunuz.
Bu sınıfta kursa devam eden öğrencilerden bir küme oluşturunuz.
Oluşturduğumuz bu kümelerin elemanlarını yandaki gibi bir Venn şeması
üzerinde gösteriniz.
Venn şemasında oluşan üç bölgenin özelliklerini söyleyiniz.
Esra x
Ceren x
Ceyda x
Ece x x
Sinem x x
Burak x
Kemal x
Matematik Edebiyat
M E
Okul Korosu Tiyatro
Duru Canan
Gonca Kemal
Canan Burak
Duru Alptuğ
Esra Duru,
. , , , , ,, Y
K ce
aV acde cfe
1
=
= = " "
"
, ,
,
. ,, , ,
,
bM bcd N bd
K bd 2
= =
=
" "
"
, ,
,
c abc de . ,, , ,
K
T R
3
= =
=
" "
!
, ,
+
49
İki Kümenin Birleşimi
Örnek : Aşağıdaki her bir seçenek için verilen iki kümenin elemanlarının tamamını oluşturan kümeyi
liste yöntemi ile yazarak aynı Venn şeması üzerinde gösterelim.
İki Kümenin Kesişimi
Örnek : Aşağıda a, b ve c de verilen iki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeyi (K1
, K2
, K3
) liste
yöntemi ile yazarak Venn şeması ile gösterelim.
A ve B herhangi iki küme olmak üzere; A ve B kümelerinin bütün elemanlarının oluşturduğu
küme bu iki kümenin birleşim kümesidir.
A ve B kümelerinin birleşim kümesi A∪ B (A birleşim B) ile gösterilir. Kısaca,
A B xx A x B , 0 = " , ! ! dir.
A ve B herhangi iki küme olmak üzere ; A ve B kümelerinin ikisine de ait olan elemanların
oluşturduğu küme, bu iki kümenin kesişim kümesidir.
A ve B kümelerinin kesişim kümesi A∩ B ( A kesişim B) ile gösterilir. Kısaca,
A B x x A x B dir + / = " , ! ! .
Kesişimleri boş olan kümeler ayrık kümelerdir.
A ve B ayrık kümeler ise A∩ B = ∅ dir.
. ,,, , ,,,,
,,,,,,
aA B 1234 23567
1234567
= = " "
"
, ,
,
. ,,, , ,
,,,
bA B 1234 34
1234
= = " "
"
, ,
,
. ,, , ,
,,,,
cA B 123 45
12345
= = " "
"
, ,
,
A
1
B A A B
B
4
5
6
7
2
1
3
4
1 4
5
2
3
2
3
M TR
N
b
d
c
a b d
c
e
V Y
c
K1
K2
a d
f
e
Çözüm :
Çözüm :
a. b. c.
Örnek : A = {x ⏐ x, 90 ın asal çarpanları} , B = {x ⏐ x, 105 in asal çarpanları} kümeleri için A ∪ B ve
A ∩ B kümelerini liste yöntemiyle yazalım.
Çözüm :
,, ,, .
,,, , .
A ve B dir
A B ve A B olarak bulunur
235 357
, + 2357 35
= =
= =
" "
" "
, ,
, ,
90 2 3 5 105 3 5 7 ve olup 2
= = $ $ $$50
Her A kümesi için
A∪ ∅ = A dır.
Örnek : kümeleri veriliyor. Aşağıdaki kümeleri liste
yöntemi ile yazalım.
Çözüm :
Birleşim ve Kesişim İşlemlerinin Özellikleri
1. Tek Kuvvet Özelliği
K = {1, 2} ise K ∪ K = K ∩ K = {1, 2} = K dir.
Her A kümesi için
2. Değişme Özelliği
K = {1, 2}, L = {2, 3} ise K ∪ L = L ∪ K = {1, 2, 3} ve K ∩ L = L ∩ K = {2} dir.
Her A ve B kümeleri için
3. Birleşme Özelliği
K = {1, 2}, L = {2, 3}, M = {a, b} ise K ∪ (L ∪ M) = (K ∪ L) ∪ M = {1, 2, 3, a, b} ve
(K ∩ L) ∩ M = K ∩ (L ∩ M) = {2} dir.
Her A, B ve C kümeleri için
4. Birim Eleman
K = {1, 2} ise K U = ∪ K = {1, 2} = K dir.
A xx A x xx A
A
, 0 Q Q = = !! !
=
" " , ,
Q Q
x
x
x
x
x
x
A BC x Ax BC
x Ax Bx C
x AB x C
A B C ve
A BC x Ax BC
x Ax Bx C
x AB x C
AB C
/
,, 0 ,
0 0
,0 0
, ,
++ / +
/ /
+ /
+ +
! !
!!!
! !
! !
!!!
! !
=
=
=
=
=
=
=
=
] ]
] ]
]
] ]
] ]
]
g g
g g
g
g g
g g
g
#
#
#
#
#
#
-
-
-
-
-
-
A B xx A x B xx B x A
B A ve
A B xx A x B xx B x A
B A
, 0 00
,
+ / //
+
!! !!
!! !!
= =
=
= =
=
]
]
g
g
" "
" "
, ,
, ,
xx A x A xx A
A A xx A x A x A A
/
, 0
!! !
= == !! !
AA A + = == " " ,
" "
, ,
, ,
. ,,, ,,,,, ,,
. ,,, , ,,,,
aA B C
bA B C
2356 345678 356
2356 67 23567
+, +
,+ ,
= =
= =
]
]
g
g
"" "
" ""
, ,,
,, ,
aA B C bA B C . . +, ,+ ] g ] g
A B ve C == = "" " 2356 3467 5678 ,,, , ,,, ,,, ,, ,
bağlacının değişme özelliği
dır.
bağlacının birleşme özelliği
dır.
bağlacının birleşme özelliği
bağlacının değişme özelliği
A∩A = A ve A∪A = A dır.
A∪ B = B ∪ A ve A∩ B = B ∩A dır.
A∪ (B ∪ C) = (A∪ B) ∪ C ve A∩ (B ∩ C) = (A∩ B) ∩ C dir.
dır.
dir.51
5. Yutan Eleman
K = {1, 2} ise K ∩ = ∩ K = { } = dir.
6. Birleşim İşleminin Kesişim İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği
K = {1, 2}, L = {2, 3}, M = {2, b} ise K ∪ (L ∩ M) = {1, 2} ∪ {2} = {1, 2} ve
(K ∪ L) ∩ (K ∪ M) = {1, 2, 3} ∩ {1, 2, b} = {1, 2} dir.
Her A, B ve C kümeleri için
7. Kesişim İşleminin Birleşim İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği
K = {1, 2}, L = {2, 3}, M = {2, b} ise K ∩ (L ∪ M) = {1, 2} ∩ {2, 3, b} = {2} ve
(K ∩ L) ∪ (K ∩ M) = {2} ∪ {2} = {2} dir.
Her A, B ve C kümeleri için
İki veya Üç Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısı
Türkiye’nin en çok pamuk ihracatı yaptığı ülkeler İtalya, İspanya, Almanya, Fransa ve Belçika; en
çok zeytin ihraç ettiği ülkeler ABD, Almanya, Fransa, İtalya ve İngiltere; en çok fındık ihraç ettiği ülkeler
ise Almanya, Fransa, İtalya, Hollanda ve Belçika’dır. Bu verilere göre;
Pamuk ihraç ettiğimiz ülkelerden bir küme oluşturunuz. (P kümesi)
Zeytin ihraç ettiğimiz ülkelerden bir küme oluşturunuz. (Z kümesi)
Fındık ihraç ettiğimiz ülkelerden bir küme oluşturunuz. (F kümesi)
Hem pamuk hem de zeytin ihraç ettiğimiz ülkelerden bir küme oluşturunuz.
Oluşturduğunuz bu kümeleri tek bir Venn şeması üzerinde gösteriniz.
Sizce, pamuk ile zeytin ihraç ettiğimiz ülkelerin sayıları toplamı, bu ürünlerin hepsini ihraç ettiğimiz
ülkelerin sayılarına eşit midir? Açıklayınız.
Yukarıdaki bilgilere göre yandaki venn şemasını ilgili ülke isimleriyle doldurunuz.
Pamuk ihraç etitğimiz ülkelerin kümesi P, zeytin ihraç ettiğimiz ülkelerin kümesi Z, fındık ihraç ettiğimiz ülkelerin kümesi F ise s(P), s(Z), s(F) ve bu kümelerin ikili ve üçlü kesişim ve birleşim kümelerinin eleman sayıları arasında nasıl bir bağıntı vardır?
.
A B C xx A x B C xx A x B x C
xx A x B x A x C
x x A B x A C A B A C dir
+, / , / 0
/0/
+0 + +,+
!! ! !!
!! !!
! !
= =
=
= =
] ]]
] ]
] ] ]]
gg g
g g
g g gg
# #
#
#
- -
-
-
.
A B C xx A x B C xx A x B x C
xx A x B x A x C
x x A B x A C A B A C dir
,+ 0 + 0 /
0/0
,/ , ,+,
!! ! !!
!! !!
! !
= =
=
= =
] ] ]
] ]
] ] ] ]
g g g
g g
g g g g
# #
#
#
- -
-
-
.
A xx A x xx
dir
+ / Q QQ
Q
= = !! !
=
" , " ,
Q Q Q
( bağlacının bağlacı üzerine dağılma özelliği) / 0
(0 bağlacının bağlacı üzerine dağılma özelliği) /
Her A kümesi için
A∩ ∅ = ∅ dir.
A∪ (B ∩ C) = (A∪ B) ∩ (A∪ C) dir.
A∩ (B ∪ C) = (A∩ B) ∪ (A∩ C) dir.
Z
F
P52
Örnek : Aşağıda her bir seçenek için verilen iki kümenin birleşiminin eleman sayılarını bulalım.
Örnek : Bir sınıftaki öğrencilerden her biri İngilizce ya da Almanca bilmektedir. İngilizce bilenlerin sayısı 15,
Almanca bilenlerin sayısı 11, her iki dili de bilenlerin sayısı 3 tür. Buna göre sınıf mevcudunu bulalım.
Çözüm :
Örnek : A kümesinin eleman sayısı 7, A∩ B kümesinin eleman sayısı 3, A∪ B kümesinin öz alt küme
sayısı 255 ise B kümesinin eleman sayısını bulalım.
Çözüm : olduğu veriliyor. olsun. kümesinin öz alt kü-
me sayısı olduğundan dir. 2 1 255 2 256 2 2 8 & & n sA B 8 ] g , =
n n n8
-= = = & =
sA sA B ] g
= 7 ve 3 ]
+ g
= s n ] g A B , = A B ,
aA B . ,, , ,,, = = " " 123 4567 , , bA B . ,,,, , ,,, = = " " 12345 4567 , ,
sss ] ] A B A B dir g g == = 34 7 ,, . ]
, g
sss ] ] A B A B dir g g == = 54 7 ,, . ]
, g
ss s ] ] A B AB g g + = ]
, g
dir. s s ] ] A B g g + = 9 olduğundan
Burada dır. A B olup A B + + = = Q s] g 0 ss s ] ] A B AB g g + ! ]
, g
dır.
Çünkü, s(A) + s(B) toplamında, ortak olan elemanlar iki kez alındığından sonuç s(A∪ B) nı vermez.
A
1
B
4
5
6
7
2
3
A
1
B
4
5
6
7
2
3
A ve B herhangi iki küme olmak üzere; dır.
Eğer A ve B ayrık iki küme ise s(A∩ B) = 0 olacağından, dır. sA B sA sB ]
, g
= ] ] g g +
s sss ]
AB A B AB , + g
=+- ] ] g g ] g
1. yol:
İngilizce bilenlerin sayısı : s(İ
) = 15
Almanca bilenlerin sayısı : s(A) = 11
Her iki dili bilenlerin sayısı : s(A∩ İ) = 3
Sınıf mevcudu : s(A∪ İ
)
=
olur.
sA I sA sI sA I
11 15 3
23
, + + -
=+-
=
] g ] ] g g ] g
2. yol:
s i ] g = 15
123 444 444
s] g A = 11
678 444 444
İngilizce bilenlerin sayısı 15
olduğundan, 15 – 3 = 12
öğrenci yalnız İngilizce bilmektedir.
Almanca bilenlerin sayısı 11
olduğundan, 11 – 3 = 8 kişi
yalnız Almanca bilmektedir.
s] g A i olur , = ++= 12 3 8 23 .
İ
12 3 8
A
Çözüm :
a. b.
431
A
s] g A = 7
678 4444 444
s] g A B , = 8
123 4444444 4444444
B
7 7
8,
3 ,
.
⇒ ⇒
⇒ ⇒
s BA s BA
Bs s s
s A s BA
s A A B AB AB
s B
s A B olarak bulunur
87 1
4
31 4
431 8
+
,
= =
+= += =
+ +=
=+=
=++=
]] ] ]
] ] ] ]
]
]
gg g g
g g g g
g
g
İ İİ
İ
İ53
Örnek : olduğuna göre, A∪B kümesinin eleman sayısının alabileceği en küçük ve en büyük değeri bulalım.
Çözüm :
s(A∪ B) nın en küçük değeri alabilmesi için s(A∩ B) nı en fazla seçmeliyiz. Buna göre;
s(A∪ B) nın en büyük değeri alabilmesi için s(A∩ B) nı en az seçmeliyiz. Buna göre;
Örnek : Herkesin futbol, voleybol veya basketbol oyunlarından en az birini oynadığı bilinen bir sınıftaki öğrencilerin 17 si futbol, 15 i voleybol, 13 ü basketbol oynayabiliyor. Bu öğrencilerin 7 si futbol ve voleybol, 6 sı futbol ve basketbol, 8 i voleybol ve basketbol, 3 ü de her üç oyunu oynayabildiğine göre sı-
nıf mevcudunu bulalım.
Çözüm :
A B B A ve A B olsun jj ! , . + Q s s ] ] A ve B g g = = 8 7
V B
F
Venn şeması ile çözüm yaparken önce her üç oyunu
oynayanlar, sonra her iki oyunu oynayanlar, en sonda
da yalnız bir oyunu oynayanlar şemaya yerleştirilir.
Buna göre sınıf mevcudu;
Burada V B F sss ]]] ggg + + =++= 17 15 13 45 olup bu sayı s(M) na eşit değildir.
=
=
.
M VBF
dir
s s 3524337
27
] g
= ++++++ ]
, , g
3
5
2
3
3
4
7
s 7 ] g B =
678 4444 4444
s] g A = 8
123 4444 4444
A
71 6
B
s] g A B , =++= 7 1 6 14 olmalıdır.
A
s] g B = 7
678 444 444
s] g A = 8
123 444 444
26 1
B
s] g A B , =++= 261 9 olmalıdır.Örnek : Not : Herhangi üç A, B ve C kümeleri için s(A∪ B ∪ C) nı sözel olarak ifade edelim.
Çözüm :
Bunun için s(A) + s(B) + s(C) toplamını bulmak yeterli değildir. Çünkü bu toplamda, yandaki şekilde pembe ile
boyanan bölgeler ikişer kez, sarı ile boyanan bölge ise üçer
kez toplanmış olur. Bu nedenle bu toplamdan pembe bölgeleri ifade eden nı birer
kez çıkarmamız gerekir. Bu ise sarı bölgenin üç kez çıkarılmasına neden olur. O hâlde s(A ∩ B ∩ C) toplama eklenmelidir.
Örnek : Bir gezi grubunda; A dilini bilen 16 kişi, B dilini bilen 20 kişi, C dilini bilen 12 kişi, A ve B dillerini bilen 10 kişi, B ve C dillerini bilen 7 kişi, A ve C dillerini bilen 5 kişi vardır. 30 kişilik bu gezi grubunda
başka dil bilen olmadığına göre üç dili de bilen kaç kişi olduğunu bulalım.
Çözüm :
Evrensel Küme ve Bir Kümenin Tümleyeni
Yanda Kız Kulesi, büyük ve küçük tekne figürlerinden oluşan bir yapboz verilmiştir.
Yapbozla ilgili olarak;
Yapbozdaki şekilleri oluşturan parçalardan birbirinin aynısı olan var
mıdır?
Yapbozu bir bütün olarak düşünürsek bütünü oluşturan ana şekiller
nelerdir? Yazınız.
Yapbozun sadece küçük tekne şeklini tamamlamayan bir kişi, tamamladığı kısmı nasıl ifade edebilir?
Her bir figürü “kendisi” ve “kendisi dışında kalan kısım” olmak üzere iki şekilde ifade ediniz.
Yapbozdan seçtiğiniz herhangi bir bölüm için bu bölümü oluşturan
parçalar ile bu bölüm dışında kalan parçaların birleşimi hakkında ne
söyleyebilirsiniz?
Yanda verilen boyalı kısmı sözel olarak ifade ediniz. İfadenizi sınıfta
tartışınız.
,,,
, ,
.
sA sB sC
sA B sB C sA C
s G
sG sA sB sC sA B sB C sA C sA B C
sA B C
s A B C s A B C olarak bulunur
16 20 12
10 7 5
30
30 16 20 12 10 7 5
30 48 22 4 &
+ ++
+ + + ++
+ +
++ ++
===
= ==
=
++- - - +
= + + - --+
=-+ =
=
] ] ]
] ]]
]
] ] ] ] ]]]]
]
] ]
g g g
g gg
g
g g g g ggg g
g
g g
s A B s B C ve s A C ]] ] ++ + gg g ,
54
A ve B herhangi iki küme olmak üzere;
s(A∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A∩ B) – s(A∩ C) – s(B ∩ C) + s(A∩ B ∩ C) dır.
olduğu biliniyor. Buna göre,
tir.
A B
C
2
2 2
K
A B55
Örnek : Türkiye’nin göllerinde yaşayan canlı türleri üzerinde araştırma yapmak isteyen bir araştırmacı
çalışmasının geçerli olabilmesi için neye dikkat etmelidir? Bulalım.
Çözüm : Türkiye’deki bütün göllerin kümesi bu çalışmaya ait en geniş kümedir ve araştırmacının yaptı-
ğı çalışmanın geçerli olabilmesi için Türkiye’deki bütün göller üzerinde çalışma yapmalıdır.
Örnek : kümeleri verilsin. A kümesinin tümleyenini yazalım.
Çözüm : dir. Buna göre
olacaktır.
Örnek : kümeleri için.
kümelerini liste yöntemi ile yazalım.
Çözüm :
Yandaki şemada görüldüğü gibi
a. Evrensel kümeye ait olmayan başka elemanlar bulamayız. O hâlde Eı
= ∅ dir.
b.
c.
ç.
d.
e.
f. olur. A A 135 024 ,, ,,
I
= ==
I I
^ h " " , ,
A A 135 024 ,, ,,
I
+ + = == " " , , ! +
Q
AA E 135 024 012345 ,, ,, ,,,,,
I
, , = == """ ,, ,
AE A + + = == "" " 024 012345 024 ,, ,,,,, ,, , ,,
AE E , , = == "" " 024 012345 012345 ,, ,,,,, ,,,,, ,,,
E dir E . ,,,,, 012345 Q Q 1
I
= = " ,
E A A dir 012345 024 135 ,,,,,,, ,, , ,, .
I
= == " "" ,, ,
aE b cA E A E dA A eA A f A .. . . . . .
I I II I Q ,+,+ I
^ h
E ve A = = " " 012345 024 ,,,,, ,, , ,
A 1 3 5 7 9 11 13 15 ,,,,, , ,
I
= " ,
E ve A = = " " 0 1 2 3 4 14 15 0 2 4 6 8 10 12 14 , , , , ,..., , , , , , , , , , ,
E xx x N A xx x kk N = == # # G! G ! 15 15 2 , ,, - -
Örnek : Yandaki şemada A kümesi E evrensel kümesinin bir alt kümesidir. Evrensel kümeye ait olup A kümesine ait olmayan elemanları liste
yöntemiyle yazalım.
Çözüm :
olduğundan A kümesine ait olmayıp evrensel kümeye ait olan elemanların oluşturduğu küme {1,3,5,7,9,11,13} tür.
E ve A = = " " 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 2 4 6 8 10 12 ,,,,,,,,,, , , , ,,,,, , , ,
E
1
3
0
2 5
4
A
ç
Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan, boş kümeden farklı en geniş küme evrensel kümedir. Genel olarak E harfi ile gösterilir.
Evrensel kümenin bir alt kümesi A olmak üzere; evrensel kümeye ait olup A kümesine ait olmayan elemanların kümesi A nın tümleyeni olarak adlandırılır. Aı
(A nın tümleyeni) ile gösterilir. Kı-
saca, dır. A x x E ve x A I
= " , ! g
evrensel küme ve
E
1
3
5
7
9 11 13
0
2
4
A
6 8
10
12 Yandaki Venn şemasına göre aşağıdaki noktalı yerleri
doldurunuz.
E
I
= ............................
A∪E = ..........................................,
B∪E = ........................................
A∩E = .........................................., B∩E = .........................................
A∪A
I
= .........................................., B∪B
I
= ........................................
A∩A
I
= .........................................., B∩B
I
= ........................................
(AI
)
I
= .........................................., (BI
)
I
= .........................................
(A∪B)I
= .........................................., AI
∪B
I
= ........................................
Her bir satır için bir kural belirleyebilir misiniz? Tartışınız.
A⊂B iken BI
⊂A
I
olur mu? Tartışınız.
56
Tümleme İşleminin Özellikleri
A⊂ B ise BI ⊂ A
I
dir.
8. Her A ve B kümeleri için, A ⊂ B ⇒
E
5
6
A
B
1 2 3
4
A xx A xx A
A
I I
= = g !
=
I
^ h # - " ,
1. E, evrensel küme olmak üzere dir.
2. E, evrensel küme olmak üzere ∅
I
3. E, evrensel küme ve A herhangi bir küme olmak üzere
(A⊂E olduğundan)
4. E, evrensel küme ve A herhangi bir küme olmak üzere
dır.
5. Her A kümesi için
6. Her A kümesi için
7. Her A kümesi için
.
A A xx A x A
x x E E dir
I I , 0 ! !
!
=
= =
#
"
-
,
A E xx A x E xx A A + / = == " " !! ! , ,
.
A E xx A x E xx E
E dir
, 0 = = !! !
=
" " , ,
= == "
x x x x E E dir g Q, " ! , .
E xx E I
= = " , g Q
dır.
E
I
= ∅ dir.
∅
I
= E dir.
A∪ E = E dir.
A∩ E = A dır.
A
I
∪ A = E dir.
A
I
∩ A = ∅ dir.
(AI
)
I
= A dır.
(Tümleme işlemi)
.
A A xx A x A xx A x A
dir 1 0 0
I I +/ /
Q /
!! ! g
/
= =
= ] g
# - " ,
dır.
(Tümleme işlemi)
B x x B x x A A dir.
I I
= = # g g - 1 " ,E
7
5
6
A
B
2
1
3
4
57
Örnek : A⊂ E olmak üzere, olduğunu gösterelim.
Çözüm : dır.
Örnek :
Yandaki şemada verilenlere göre AI
ile BI
nin elemanlarının oluşturduğu kümeleri liste biçiminde yazarak karşılaştıralım.
Çözüm :
Burada A⊂ B ise BI ⊂ A
I
dir.
A olup A dir B olup B dir 12 34567 1234 567 , ,,,, . ,,, ,, .
I I
== = = "" " " , , ,,
s s ss s ss s ss E AA A A AA A A A A ] g
= =+ - =+ - =+ ^
, + I II I I h ] g
^ h ^ h ] g
^ h ]
Qg ] g
^ h
ss s AA E I
] g
+ = ^ h ] g
E = {1,2,3,4} evrensel kümesi üzerinde tanımlı A ve B kümeleri için
yandaki tabloda istenen kümeleri liste yöntemi ile yazarak boş bırakılan
yerleri doldurunuz.
Her A ve B kümeleri için (A∪B)I
ile
A
I
∩B
I
ve (A∩B)I
ile AI
∪B
I
kümelerini
karşılaştırarak bir sonuca varınız.
Örnek : A ⊂ B olmak üzere, olduğuna göre A kümesinin alt
küme sayısını bulalım.
Çözüm :A⊂ B ise A∪ B = B dir. O hâlde, s(A∪B) = s(B) = 12 olur.
olduğundan
olduğundan
A kümesinin alt küme sayısı :
Örnek : ifadesini en sade şekilde yazalım.
Çözüm : ( ∩ işleminin ∪ işlemi üzerine dağılma özelliği ),
= A ∩ E = A olarak bulunur.
Örnek : E, evrensel küme olmak üzere ifadesini en sade şekilde yazalım.
Çözüm : A B E A E A olarak bulunur.
A E
_ _ , +, + Qi i = =
] ] A BE , +, Qg g
AB AB A BB I I
E
]
+,+ +, ^
= `
g
h
j
AB ABI
]
+,+ g
^ h
2 2 128 dir.
sA 7
= =
] g
s ss EAA 27 20 7 =+ = s s ] ] A A dir g g & .
I
] ] g g = + ^ h
s ss EBB s] g E dir =+= 12 15 27 .
I
] ] g g = + ^ h
sss A B AB 20 15 12 , , ^ ^ I I h h == = ]
, g
Örnek : A ve B herhangi iki küme olmak üzere
eşitliklerinin doğruluğunu gösterelim.
Çözüm : a.
( tümleme işlemi tanımından )
( önermelerde olumsuz önerme tanımından )
( birleşim işlemi tanımından )
( tümleme işlemi tanımından )
( birleşim işlemi tanımından )
O hâlde, A B A B olur.
I I ] g , + I
=
A B +
I I +
xx A x B I I + $ . ! ! /
pq pq
I I + " , xx A x B g g / _^ 0 / h
I
/ i
+ xx A x B ! ! 0 I
# - 5 ?
+ xx A B ! ,
I
# - 6 @ ] g
+ # - xx A B g ] g ,
] ] AB AB , , g g I I + # - x x !
aAB A B bAB A B . . ,+ +, II II
= =
I I ] g ] g
olduğundan
A ve B
kümeleri (A∪B) (A∪B)I
A
I
B
I
A
I
∩B
I
(A∩B
I
) A
I
∪B
I
A = {1,2,3,4}
B = {3,4}
A = {1,3}
B = {2,3,4}b.
( tümleme işlemi tanımından )
( önermelerde olumsuz önerme tanımından )
( kesişim işlemi tanımından )
( tümleme işlemi tanımından )
( birleşim işlemi tanımından )
O hâlde, A B A B olur. + ,I I
=
I
] g
A B I I + ,
xx A x B I I + $ . ! ! 0
pq p q
I I + " , xx A x B g g 0 _^ / 0 h
I
/ i
+ xx A x B ! ! / I
# - 5 ?
+ xx A B ! +
I
# - 6 @ ] g
+ # - xx A B g ] g +
A B xx A B + + I
+ ! I
] ] g g # -
DE MORGAN KURALLARI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A B A B ve A B A B dir.
II II ,+ +, = =
I I
] g ] g
olduğundan
Örnek : ifadesini en sade şekilde yazalım.
Çözüm : ( De Morgan kuralından )
( birleşme özelliğinden )
olarak bulunur.
Örnek : ifadesini en sade şekilde yazalım.
( E, evrensel kümedir. )
Çözüm : ( De Morgan kuralından )
( A ⊂ B olduğundan )
Örnek : kümesini bulalım.
Çözüm :
İki Kümenin Farkı
Yanda İzmir’de yetiştirilen tarım ürünleri İ kümesi,
Bursa’da yetiştirilen tarım ürünleri B kümesi olarak gösterilmiştir. Buna göre;
Yalnız İzmir’de yetişip Bursa’da yetişmeyen tarım
ürünlerinden bir küme oluşturunuz ve bu kümeyi
yandaki şekilde tarayınız.
{pirinç, mısır, kestane} kümesini nasıl tanımlarsınız? Açıklayınız.
Oluşturduğunuz bu kümelerin özellikleri ile ilgili neler söyleyebilirsiniz?
Bu kümeler hangi yönleriyle birbirlerinden ayrılırlar?
Yandaki Venn şemasında I ve II ile belirtilen bölümleri A, B, C ve E
cinsinden ifade ediniz.
A a b c d B b c d e f ise A B ,,, , ,,,,
I I
= = , I
" " , , ] g
.
A B
A A olarak bulunur
I
, +
,
Q
Q
=
= =
^ h
A BE , +I I
= ^ h
A B BE AB B E II II
A
, ,, +, + =
I
I
^ h ] g
] g
^ h
A E B E ve A B ise A B B E ,
I I 11 1 , ,, I
I
^ h ] g
B
I
= = Q Q +
AA B + +I I
= ^ h
A AB A A B +, + +I I
=
I
] g
^ h
A AB + , I
] g
• patates
• zeytin
• pamuk
• pirinç
• mısır
• kestane
İ
B
E
• incir
• üzüm
• susam
A B
I II
A B A B a b c d b c d e f b c d dir ,,, ,,,, ,, . ,+ + I I I ] g == = "" " , ,,
58• 1
A B
• 2
A B
• 3 • 4 B A
59
Örnek : Aşağıdaki her bir seçenek için A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanları ve B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanları, Venn şeması üzerinde gösterip liste yöntemi ile yazalım.
aA B . ,,, , ,, = = " " 1234 456 , , bA B . ,,, , , = = " " 1234 12 , , cA B . , , ,, = = " " 12 345 , ,
A
a. b. c.
1
B
A A B
B
4
5
6 2
3 1
4
1
4
5
2
3
2
3
Çözüm :
A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesi: { 1,2,3 }
B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanların kümesi: { 5,6 }
( Burada A ≠ B dir. )
A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesi : { 3,4 }
B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanların kümesi : { }
( Burada B ⊂ A dır. )
A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesi: { 1,2 } = A
B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanların kümesi: { 3,4,5 } = B
( Burada A ∩ B = ∅ dir. )
A ve B herhangi iki küme olmak üzere; A kümesinde
olup B kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kü-
me A nın B den farkıdır.
şeklinde gösterilir. Kısaca,
A B x x A ve x B dir . = " , ! g
A B A fark B veya A B - ] g
A B
A B B A
• A ≠ B için için A B ≠ B A dır.
• B ⊂ A ise B A = ∅ dir.
• A B ise A B A ve B A B dir + = == Q .
A ∩ B
Bir önceki örneğin a, b, c şıkları incelendiğinde A B = {1, 2, 3} ≠ {5, 6} = B A olduğu, B ⊂ A ise
B A = ∅ olduğu ve A ∩ B = ∅ ise AB = A ve B A = B olduğu görülür.
Örnek : Yandaki şemaya göre aşağıdaki kümeleri liste
yöntemi ile yazalım.
Çözüm :
Örnek : kümeleri veriliyor. A B, B A, A ∩ B ve A ∪ B kümelerinin herbirini bularak eşitliğinin doğruluğunu gösterelim.
Çözüm :
s sss ]
A B AB BA A B , + g
=++ ] ] g g ] g
A ve B = = " " 123 34 ,, , , ,
. ,,,,,, ,,,, ,
. ,,,,, , ,,,,
. , ,,,
,,,, ,,,,, ,
aA C A
bB A C
c AB BC
A B
0124789 02789 14
013679 08 13679
28 3679
13456 013679 45 I
,
+
+ +
= =
= =
= =
= =
]
]
] ]
g
g
g g
" ""
" ""
" " !
"" "
, ,,
,, ,
, , +
, ,,
. .
.
a A C A bB A C
c AB BC A B I
, +
+
] ]
] ]
g g
g g
A
•2
•8
•0
•3
•6
•1
•4
•5
•7
•9
B
E
C
ç.
ç.60
tür. O hâlde,
tür.
sss s ] ] AB BA A B A B 211 4 g g + + =++= = ]
+ , g ] g
olarak bulunur.
sA B sB A sA B ] ] , , g g == = 21 1 ]
+ g
ve A B s] g , = 4
A B B A A B ve A B , , , ,,, = == = "12 4 3 1234 , ! +
+ , ! + " ,
A ve B herhangi iki küme olmak üzere dır. s sss ]
A B AB BA A B , + g
=++ ] ] g g ] g
Fark İşleminin Özellikleri
2. Her A kümesi için
dir. ( olduğundan )
3. Her A kümesi için
dır. (A ⊂ E olduğundan )
4. Her A kümesi için
5. E evrensel küme olmak üzere
dir.
6. E evrensel küme olmak üzere
E A x x E x A x x E x A x x E A E A A dir . ! !! ! / / ++ g I I II
= = = == ^ h " , # - # -
A E xx A x E xx A x xx A A = = = == " ! !! ! / / ++ g , " Q Q QQ , # ] g-
A x x x A x x x A x x A A dir.
I II Q Q Q Q QQ = = = == ! !! ! / / ++ g ^ h " , # - $ .
A xx A x xx A x E xx A A Q Q = = == " ! !! ! / / g , " " , ,
A A xx A x A = = " , ! / g Q 10 0 / /
A A= ∅ dir.
1. Her A, B (A ! B) kümesi için
dir.
dir.
olduğundan A B B A dır. !
AB BA BA B A B B A B A xx x xx x A xx = = == " ! !! ! / / ++ g , "
I II , # ] g- + + I I !
A B xx A x B xx A x B xx A B A B ! !! ! / / ++ g I II
= = == " # ^ h , - # -
A B ! B A dır.
A ∅ =A dır.
∅ A= ∅ dir.
A E = ∅ dir.
E A=A
I
dir.
Örnek : E, evrensel küme olmak üzere,
olarak veriliyor. A B ve A ∩ B
I kümelerini liste yöntemi ile yazarak elemanlarını karşılaştıralım.
Çözüm : bulunur. O hâlde, A B
ve A ∩ B
I nin elemanları birbirinin aynısıdır.
Örnek : E, evrensel küme olmak üzere, kümeleri veriliyor. Buna göre aşağıdaki kümeleri liste biçiminde yazalım.
a. A – A b. A ∅ c. ∅ A ç. A E d. E A
Çözüm :
E A = = " " 0123456789 02468 ,,,,,,,,, , ,,,, , ,
A B ve A B , ,, , ,, , 10 101 2 104 10 I
=- =- - - =- " "" " , , ,, + +
E A ve B =- - =- = " "" 2 101234 101 123 , ,,,,, , ,, ,, ,, ,
. ,,,, ,,,, . ,,,, ,,,,
. ,,,, ,,,, ,,,,,,,,,
. ,,,,,,,,, ,,,, ,,,,
aA A bA A
c A AE
dE A A
02468 02468 02468 02468
02468 02468 0123456789
0123456789 02468 13579 I
Q
Q
= = = ==
== = =
= ==
" " ! " ! "
! " ! " " !
" ""
, , + , + ,
+ , + , , +
,, ,
ç.
olur.a
d
İ
G F
b c
61
7. Herhangi iki A ve B kümeleri için
( fark alma işlemi )
( tümleme işlemi )
( kesişim işlemi )
A B dir. +
I
=
xx A B ! +
I
= # - ^ h
xx A x B ! ! /
I
= # -
A B xx A x B = " , ! / g
A B =A∩ B I
dir.
Örnek : olduğuna göre, nı bulalım.
Çözüm :
Buna göre,
Örnek : kümesini en sade biçimde yazalım.
Çözüm :
( fark alma işlemi tanımından )
( ∩ in ∪ üzerine dağılma özelliğinden )
dır.
Örnek : K⊂E ve L⊂E olmak üzere
olduğuna göre, s(K L) nı bulalım.
Çözüm :
s(E) = 96 olduğundan
Kümeler ile İlgili Problemler
Örnek : Bir turist grubunda yalnız İngilizce bilen 5 kişi, Fransızca bilmeyen 8 kişi, İngilizce bilmeyen 12
kişidir. Bu grup 21 kişi olduğuna göre hem İngilizce hem de Fransızca bilen kaç kişi olduğunu bulalım.
Çözüm :
s K L x bulunur 6 6 3 18 . === $ $ ] g
E xxx 3 6 15 10 96
x x
s
31 3 96 3 &
=+ + + =
+= =
] g
32 5 ss s LK K L KL
10x 15x 6x
$$ $ ] g
= = ]
+ g ] g
123 44 44
3 2 5 , 3 , 96 $$ $ s s ss s LK K L KL K L E = = == + , I
] g ] g ] g 6 @ ] g ] g
= = AEA +
A BB ( ) I
E
= + ,
AB B A A B B A ,+ + ,+ I
]
- = g ] g
^ h ] g
]
AB B A - g
, +] g
s s B A B A A bulunur 10 . I I 7 A ^ h
,] g
= = ^ h
.
,
.
.
⇒
B A BA B A B A
BB A
E A A dir
O h lde B A B A A
E B B olup E tir
E A A olup A A dur
s s
s ss s
s ss s s
7 8 15
15 5 10
I II I
I I
I I
I I
I
I II
, + ,+
, +
+
,
=
=
= =
=
= + =+=
= + =+ =
^ ]
^ ^
^
^ ]
^
] ] ^ ]
] ] ^ ^^
h g
h h
h
h g
h
g g h g
g g h hh
7 A
s B A BA I
ss s A B ve B 5, 7 8 7 A ^ h
,] g
I
] ] g g == = ^ h
6x
3
K
E
L
15x 10x
dır.
tür.
â
Yalnız İngilizce bilen : s(İ F) = a = 5
Fransızca bilmeyen : s(FI
) = a + d = 8
İngilizce bilmeyen : s(İI
) = c + d = 12
Grup : s(G) = a + b + c + d = 21
Hem İngilizce hem de Fransızca bilen : s(İ ∩ F) = b = ?a
F G
b c
sarışın a b
esmer c d
ela gözlü mavi gözlü
62
Yandaki şemada İ, İngilizce bilenlerin kümesi; F, Fransızca bilenlerin kümesi olsun. Buna göre;
1. Yalnız İngilizce bilenler : a; Yalnız Fransızca bilenler : c,
2. Hem İngilizce hem de Fransızca bilenler : b,
3. İngilizce veya Fransızca bilenler : a + b + c,
4. İngilizce veya Fransızca dillerinden en az birini bilenler : a + b + c,
5. İngilizce veya Fransızca dillerinden en çok birini bilenler : a + c + d,
6. İngilizce bilmeyenler : c + d; Fransızca bilmeyenler : a + d dir.
Örnek : Bir turist grubu Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerden oluşmuştur. Grubun
% 40 ı Almanca, % 80 i İngilizce biliyor. Grupta her iki dili de bilen 12 kişi vardır. Bu turist grubunda
kaç kişi olduğunu bulalım.
Çözüm : Almanca bilenler A,
İngilizce bilenler İ ile gösterilmek üzere grup 100x kişi olsun. O hâlde
s(A ∩ İ) = 12 kişi olduğundan 20x = 12 ⇒ x = olur. Buna göre grup,
s(A ∪ İ) = 100x = 100 . kişi olarak bulunur. 0
1
2
2
= 60
0
1
2
2
.
Ai x x x
x bulunur
s
s
s s ss A i Ai Ai
A i
100 0 80
0
4
2
&
&
,+ +
+
= - =+-
=
] ] ] + ] ]
]
g g g g g
g
a
d
İ
E
F
b c
Örnek : 42 kişilik bir grupta 7 kişi sarışın, ela gözlü; 8 kişi esmer, mavi gözlüdür. Sarışın, mavi gözlülerin
sayısı; esmer, ela gözlülerin sayısının 2 katı olduğuna göre bu gruptaki esmer kişilerin sayısını bulalım.
Çözüm :
esmer kişilerin sayısı : c + d = ?
c + d = 9 + 8 = 17 olarak bulunur.
Örnek : Herkesin gitar veya flüt çaldığı bilinen bir sınıfta, hem flüt hem gitar çalanların sayısı 5, flüt veya gitardan en az birini çalanların sayısı 21 dir. Flüt çalanların sayısı, gitar çalanların sayısından 4 fazla ise bu sınıfta flüt çalan kaç öğrenci olduğunu bulalım.
Çözüm :
b = 5 ; a + b + c = 21 ; a + b = b + c + 4 ⇒ a = c + 4
a + b + c = 21 ⇒ c + 4 + b + c = 21 ⇒ 2c = 12 ⇒ c = 6 ⇒ a = 10
Flüt çalanların sayısı : a + b = 10 + 5 = 15 tir.
a bcd c c c 42 15 42 3 27 9 3
7 2 8 c
+ ++ = + = = = & &&
.. .
a d b ca b c d = = = +++ = 7 8 2 42 ,, , ,
a d d c d c a b c d b bulunur 8 3 12 9 21 4 ;; .
5 3 5 9 3
+= = += = +++= = && &
. . . ..
Kümeler ile ilgili problemleri çözerken Venn şemasından faydalanmak çözümü kolaylaştırır.63
ALIŞTIRMALAR
1. A ve B iki kümedir. olduğu biliniyor.
A ∩ B nin alt küme sayısı 64 olduğuna göre, A kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
2. olduğuna göre, A ∪ B kümesini bulunuz.
3. kümesinin öz alt küme sayısı 63 olduğuna göre s(A∪B) kaçtır?
4. kümeleri veriliyor. B kümesinin öz
alt küme sayısını bulunuz.
5. A ⊂ B olmak üzere, olduğuna göre A kümesinin öz alt
küme sayısını bulunuz.
6. Aşağıdaki renkli bölgelere karşılık gelen ifadeleri bulunuz.
a. b. c.
7. ifadesini en sade biçimde yazınız.
8. A ve B kümeleri için olduğuna göre A∩ B kümesinin kaç tane alt kümesi vardır?
9. Evrensel küme olmak üzere ve
dir. Buna göre AI
B kümesini bulunuz.
10. A ve B kümeleri veriliyor. olduğuna göre A kü-
mesinin en çok kaç elemanı olabilir?
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 E. 6
11. Bir sınıftaki öğrencilerin her biri; resim, müzik ve spor kurslarından en az birine katılmaktadır. Üç kursa da katılan 5 kişi, resim ve müzik kursuna katılan 7 kişi, resim ve spor kursuna katılan 10 kişi, mü-
zik ve spor kursuna katılan 9 kişi vardır. Resim kursuna 20 kişi, müzik kursuna 14 kişi ve spor kursuna 22 kişi katıldığına göre bu sınıfta kaç öğrenci vardır?
A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 E. 37
12. Üç dilin konuşulduğu bir grupta herkes en az bir yabancı dil bilmektedir. En çok iki dil bilen 50, en az
iki dil bilen 36 ve her üç dili de bilen 6 kişi olduğuna göre grupta yalnız bir dil bilen kaç kişi vardır?
13. Bir otobüste İngiliz ve Fransızlardan oluşan 42 yolcu vardır. Bu yolcuların 26 sı erkektir. Otobüste
23 Fransız vardır. Kadın yolcuların 11 i İngiliz olduğuna göre erkek yolcuların kaçı İngilizdir?
14. Bir gruptaki insanların % 30 u A gazetesini, % 20 si B gazetesini ve % 10 u ise hem A hem de B gazetelerini okuyor. Gazete okumayan veya diğer gazeteleri okuyanların sayısı 60 kişi olduğuna göre
yalnız A gazetesini okuyanların sayısı kaçtır?
15. Yandaki şemaya göre aşağıdaki kümeleri bulunuz.
.
.
.
.
.
aB C
bA C A B
cB A C
B C
dB A C
eE C
I
I
,+,
+
+
+ ,
-
] ]
]
^
g g
g
h
s s ]
A B A B B A ve A B + , g
= = 1 , , 11 1 1 ] g
B xx x E =# - 2 3 , !
E x x xZ = - # - 4 12 1 1 , ! A x x veya x x E = # - 1 2 0 6, !
ss s A B B A ve A B 4 , 7 15 I
^
+ , h
== = ] g ] g
B BA A
I I
- - + I
^ h ] g
ss s A B ve A B 22 , 17 11 I I ^ ^ h h == = ]
, g
A B a b A B c d ve A B a b c d e f g , , , , , , , ,, - = -= =
I
" " , , , " ,
s B s A B ve A B ] ] g g = -= 15 10 , +
AB A B BA -= = -= " "" 135 78 246 ,, , , , ,, ,, , +
s A s A B ve s B s B A =- =- 3 4 $ $ ]] ]] g gg g
A B A A
C
B
B
C
C
ç.
A
E
B
• k
• m
• a
• b
• n • c
• d
• h
• e
C64
İ
723
2
E
F
2. TEST
1. kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A. 3 ! A B. {1,2,3} 1 A C. {2,3} 1 A D. {1,3} 1 A E. {1,2} ! A
2. olmak üzere B kümesinin öz alt küme sayısı kaçtır?
A. 3 B. 7 C. 15 D. 31 E. 63
3. K ve L kümeleri için, K – L kümesinin öz alt küme sayısı 63, kümesinin en az kaç elemanı vardır?
A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 E. 9
4. n elemanlı bir kümenin n – 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı 6 ise bu kümenin eleman sayısı kaçtır?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7
5. A = {a,b,c,d,e} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde e eleman olarak vardır?
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 E. 32
6. A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
ise s(B) kaçtır?
A. 10 B. 16 C. 32 D. 36 E. 64
7. kümesi veriliyor.
Bu kümenin elemanlarından kaç tanesi 3 veya 5 ile bölünebilir?
A. 114 B. 115 C. 116 D. 117 E. 118
8. kümeleri veriliyor. Buna göre K ∩ L kümesi aşağıdakilerden hangisi
olamaz?
A. {1,2,3} B. {1,3} C. {2,5} D. { 2 } E. ∅
9. A – B ve A ∩ B kümelerinin öz alt küme sayıları sırasıyla 31 ve 15 tir. ise s(A
∪ B) kaçtır?
A. 6 B. 8 C. 10 D. 11 E. 15
10. 127 tane öz alt kümesi olan kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
A. 7 B. 14 C. 21 D. 35 E. 42
11. ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A. K B. L C. KI
D. ∅ E. LI
12. 90 kişinin katıldığı bir seminerde 6 kişi hem Almanca hem de İtalyanca konuşmaktadır. Almanca
konuşanlar İtalyanca konuşanların iki katı olduğuna göre kaç kişi yalnız İtalyanca konuşmaktadır?
A. 14 B. 19 C. 20 D. 23 E. 26
13.
Yandaki şemada rakamlar eleman sayılarını belirtmek üzere,
İ: İngilizce bilenler; F: Fransızca bilenler; E: Sınıftaki öğrencilerdir.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A. En az bir dil bilen 12 kişidir. B. En çok bir dil bilen 13 kişidir.
C. Yalnızca bir dil bilen 10 kişidir. D. En çok iki dil bilen 14 kişidir.
E. İki dil bilen 2 kişidir.
14. ise A kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 E. 13
15. Bir kümenin kuvvet kümesinin alt küme sayısı 256 ise bu küme kaç elemanlıdır?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
AB A B 14 10 ,
I I
ss s s ] ] g g += + = ^ ^ h h
KL KL +
I
]
- - g
^ h
3 2 $ $ sB sA ] ] g g =
K LK = -= " " 123 45 ,, , , , ,
A xN x = ! + ! G :0 250 1
s] g A B , = 44
s ss A B B A A B ve + = = 2 3 $ $ ] g ] ] g g
s] g K ve L K ise K L = 9 h ,
B ab cd ef = " ,, , , , " " , ,,
A 12 12 23 = " ,, , , , " " , ,,65
KARTEZYEN ÇARPIM
Bir şirket, çalışanlarının ve eşlerinin telefon numaralarını, (çalışanın telefonu, eşinin telefonu) şeklinde bilgisayara kaydediyor.
Emre Bey için tutulan kayıt,
(0 569 253 25 35 , 0 569 640 00 10) şeklindedir.
Emre Bey’in eşini aramak isteyen şirket sekreterinin hangi numarayı arayacağını düşünüyorsunuz?
Kayıt yapılırken telefon numaraları yanlışlıkla yer değiştirilerek yazılırsa bir problem çıkar mı? Neden?
Sıralı İkili
Bir futbol karşılaşması sonucunda 0 – 2 ile 2 – 0 skorları arasındaki fark nedir? Araştırınız.
A(2, 0), B(0,2) noktaları düzlemde aynı noktaya karşılık gelir mi? Açıklayınız.
Yerleri değiştiğinde anlamı değişen başka sayı çiftleri bulabilir misiniz? Araştırınız.
(3, a) ifadesi (b + 1, 
ifadesine eşit ise a ve b sayılarını nasıl bulursunuz? Cevabınızı açıklayınız.
ifadesine eşit ise a ve b sayılarını nasıl bulursunuz? Cevabınızı açıklayınız.Örnek : 1 ile 8 arasındaki doğal sayıları, (tek sayı, çift sayı) biçiminde sayı çiftleri olarak yazalım.
Çözüm : ( tek sayı, çift sayı) biçiminde yazacağımız sayı çiftleri; (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6), (7,2),
(7,4), (7,6) dır.
Örnek : ikililerini analitik düzlem üzerinde göstererek bu ikililerin birbirine eşit olup olmadığı-
nı inceleyelim.
Çözüm :
Örnek : olduğuna göre, (x , y) ikilisini bulalım.
Çözüm : eşitliğinin sağlanabilmesi için bu iki sıralı ikilinin birinci bileşenlerinin birbirine, ikinci bileşenlerinin de birbirine eşit olması gerekir. O hâlde,
dır.
dir.
Bu durumda, olarak bulunur. ^ h x,y =^ h 6,7
x $y = 42 & 6$ y = 42 & y =7
2x-1 =11& 2x =12& x =6
^ h 2x-1, x $ y = ^ h 11,42
^ h 2x-1, x $ y = ^ h 11,42
^ h 1,2 ile 2,1 ^ h
2
y
x
1
-1 2 1
(
2,1)
(
1,2)
x ve y gibi iki elemanın, sırası önemli olmak koşulu ile oluşturulan ( x , y ) elemanı sıralı ikili
olarak adlandırılır. Burada x elemanı, ikilinin birinci bileşeni; y elemanı ikilinin ikinci bileşenidir.
0
gibi iki sıralı ikilisinin birbirine eşit olması için birinci ve ikinci bileşenleri
karşılıklı olarak birbirine eşit olmalıdır. Kısaca,
^ h a,b =^ h c,d + a =c /b = d dir.
^ h a,b ve c,d ^ h
Yandaki grafikte de görüldüğü gibi, dir.
O hâlde ikililerin bileşenlerinin yerlerinin değiştirilmesi
hâlinde başka bir ikili elde edilir.
^ h 1,2 ! ^ h 2,1
3. BÖLÜM BAĞINTI, FONKSİYON VE İŞLEM66
Örnek : eşitliğine göre x ve y nin alacağı değerleri bulalım.
Çözüm :
olmalıdır. Bu eşitlikler taraf tarafa toplanırsa 3x = 9 ⇒ x = 3 bulunur.
Buradan, 4 – y = x ⇒ 4 – y = 3 ⇒ y = 1 bulunur.
Örnek : olduğuna göre (a,b) ikilisini bulalım.
Çözüm :
dır.
bulunur. a = 4 için b = –2 bulunur. O hâlde, dir.
İki Kümenin Kartezyen Çarpımı
A = {m, n}, B = {b, c, d} kümeleri veriliyor.
Birinci bileşeni A kümesinden ikinci bileşeni B kümesinden alarak ikililer oluşturunuz.
Bu şekilde en fazla kaç ikili oluşturabilirsiniz?
Bu ikililerin tümünü içeren bir küme yazınız. Bu kümeyi koordinat düzleminde gösteriniz.
Bu kümenin eleman sayısını A ve B nin eleman sayıları cinsinden ifade edebilir misiniz?
İkilileri oluştururken ilk elemanı B kümesinden alırsanız kümelerle ilgili olarak yukarıda elde ettiklerinizden hangileri değişir, hangileri değişmez? Açıklayınız.
Örnek : Ece ve Ali yapılacak çekilişle Mısır, Çin, İsveç ülkelerinden birine gitmeye hak kazanacaktır.
a. Çekilişe katılan kişileri ve gidilebilecek ülkeleri birer küme şeklinde yazalım.
b. Bu kümeleri kullanarak (kişi, gideceği ülke) biçiminde oluşturulabilecek tüm ikilileri belirleyelim.
Çözüm :
a. Çekilişe katılacak kişiler : {Ece, Ali},
Gidilebilecek ülkeler : {Mısır, Çin, İsveç} tir.
b. Oluşturulabilecek tüm ikililerin kümesi : K = {(Ece, Mısır), (Ece, Çin), (Ece, İsveç), (Ali, Mısır),
(Ali, Çin), (Ali, İsveç)} tir.
Bu küme A ile B kümesinin kartezyen çarpım kümesidir.
^ h a,b = ^ h 4,-2
a+b = 2
a-b = 6
3
& 2a =8 &a =4
a
2
-b
2
=12
a+b = 2
3
&
] g a -b ] g a+b = 12
a +b =2
3
& 2$
] g a-b = 12& a -b =6
a
2
-b
2
^ h , 2 = ^ h 12, a +b
x =4 -y
2x-y-3 =2
1
& x +y = 4
2x-y =5
^ h 2x-y-3, x =^ h 2, 4 -y
^ h 2x-y-3, x =^ h 2, 4 -y
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere; birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B
kümesinden alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesi A ile B kümelerinin kartezyen
çarpımıdır. AxB (A kartezyen çarpım B) biçiminde gösterilir. Kısaca,
AxB =# - ^ h x,y x! A/y !B dir.67
Örnek : kümeleri veriliyor. AxB ve BxA kümelerini bulup bu kümeleri grafik ve şema ile gösterelim.
Çözüm : ve
olur. AxB kümesinde A kümesinin elemanları x ekseninde, B kümesinin elemanları y ekseninde gösterilir. BxA kümesinde ise x ekseninde gösterilen elemanlar B kümesine aittir. Bu kümeleri grafik ve şema
ile gösterelim.
Örnek : kümesi veriliyor.
a. A ve B kümelerini bulalım.
b. A , B ve AxB kümelerinin eleman sayılarını bulup karşılaştıralım.
Çözüm : a. AxB kümesindeki ikililerin ilk bileşeni A kümesinin elemanlarından, ikinci bileşini B kümesinin elemanlarından oluşur. Bu yüzden, dir.
b. tür. AxB oluşturulurken A kümesinin her elemanı için B kümesinin eleman sayısı kadar AxB kümesine eleman oluşturulmuş olur. Bu durumda s(AxB), s(A) ile s(B) nın çarpımı ile bulunur.
s(AxB) = s(A) . s(B) = 2 . 3 = 6 olur. Bunu yukarıdaki örnekte şemaları inceleyerek de anlayabiliriz.
Örnek : A = {1, 2, 3} kümesi veriliyor. Buna göre AxA kümesini yazarak eleman sayısını bulalım.
Çözüm : olup s(AxA) = 9 bulunur.
s AxA dir. ] g = 9 =3 $
3 =s A] g $ s A] g = 6 @ s A] g 2
AxA =" , ^ h 1,1 , 1,2 ^ h, 1,3 ^ h, 2,1 ^ h, 2,2 ^ h, 2,3 ^ h, 3,1 ^ h, 3,2 ^ h, 3,3 ^ h
s A] g = 2 , sB] g =3
A =" , 2,4 ve B =" , 1,3,5
AxB =" , ^ h 2,1 , 2,3 ^ h, 2,5 ^ h, 4,1 ^ h, 4,3 ^ h, 4,5 ^ h
AxB =" , ^ h 1,a , 1,b ^ h, 2,a ^ h, 2,b ^ h, 3,a ^ h, 3,b ^ h BxA =" , ^ h a,1 , a,2 ^ h, a,3 ^ h, b,1 ^ h, b,2 ^ h, b,3 ^ h
A =" , 1,2,3 ve B = " , a,b
b
B
A
AxB nin grafiği
BxA nın grafiği
a
123
→AxB
→BxA
2
3
A
B
1
a b
1 •
A B B A
• a
• b
• 1
• 2
• 3
2 •
3 •
a •
b •
Kartezyen çarpımın değişme özelliği yoktur. Yani, AxB ≠ BxA dır.
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımına
eşittir. Yani, dır.
Ayrıca, dir. s AxA ] g =s A] g$ s A] g =6 @ s A] g 2
s AxB ] g =s A] g$ s B] g ; s BxA ] g =s B] g $ s A] g68
Örnek : olduğuna göre A∩B kümesinin kaç tane alt kümesi olduğunu bulalım.
Çözüm : olur. O hâlde, A∩B nin alt küme sayısı: 22
= 4 olarak bulunur.
Örnek : kümeleri veriliyor. Buna göre aşağıda istenenleri bulalım.
Çözüm :
Burada a ve b şıklarında elde ettiğimiz kümeler ile c ve ç şıklarında elde ettiğimiz kümeler birbirine
eşittir.
Örnek : olduğuna göre
(AxC)∪(BxC) kümesinin eleman sayısını bulalım.
Çözüm :
dır. Buna gö-
re, bulunur.
Örnek : kümeleri veriliyor. Buna göre, AxB ve BxA kümelerini bulalım.
Çözüm :
Bu iki kümenin kartezyen çarpımını yazarken kümelerden biri boş küme olduğu için ikililer oluşturamıyoruz. O hâlde, böyle durumlarda kartezyen çarpım kümesi boş küme olur.
AxB =! + x a,b " ,= ! +
BxA =" , a,b x ! += ! +
A=! + ve B=" , a,b
s A6 @ ] g ,B xC = s A6 @ ] g ,B $ s C] g =6 $
6 = 36
] g AxC ,] g BxC =] g A,B xC dir. Burada, A,B =" , a,b,c,d,e,f olup s] g A,B =6
A=" , a,b,c,d , B =" , b,c,d,e,f ve C = " , c,d,e,f,g,h
a. Ax B] g ,C =" , 1,2 x 3,4,5,6 " ,= " , ^ h 1,3 , 1,4 ^ h, 1,5 ^ h, 1,6 ^ h, 2,3 ^ h, 2,4 ^ h, 2,5 ^ h, 2,6 ^ h
b. AxB ] g,] g AxC =" , ^ h 1,3 , 1,4 ^ h, 2,3 ^ h, 2,4 ^ h ," , ^ h 1,4 , 1,5 ^ h, 1,6 ^ h, 2,4 ^ h, 2,5 ^ h, 2,6 ^ h
= " , ^ h 1,3 , 1,4 ^ h, 1,5 ^ h, 1,6 ^ h, 2,3 ^ h, 2,4 ^ h, 2,5 ^ h, 2,6 ^ h
c.Ax B] g +C =" , 1,2 x 4! +=" , ^ h 1,4 , 2,4 ^ h
] g AxB +] g AxC =" , ^ h 1,3 , 1,4 ^ h, 2,3 ^ h, 2,4 ^ h +" , ^ h 1,4 , 1,5 ^ h, 1,6 ^ h, 2,4 ^ h, 2,5 ^ h, 2,6 ^ h
= " , ^ h 1,4 , 2,4 ^ h
a. Ax B] g , C
b. AxB ] g,] g AxC
c. Ax B] g +C
] g AxB +] g AxC
A=" , 1,2 , B =" , 3,4 ve C =" , 4,5,6
A=" , 1,2,3 ,B=" , 2,3 ve A+B=" , 2,3
AxB =" , ^ h 1,2 , 1,3 ^ h, 2,2 ^ h, 2,3 ^ h, 3,2 ^ h, 3,3 ^ h
A, B ve C boş olmayan kümeler olmak üzere,
Yani, kartezyen çarpımın birleşim ve kesişim işlemleri üzerine dağılma özelliği vardır.
Ax B] g ,C = ] g AxB ,] g AxC ve Ax B] g +C =] g AxB +] g AxC dir.
AxQ =Q ve QxA =Q dir.
AxB =Q ise A =Q veya B= Q dir.
ç.
ç.Örnek : kümeleri veriliyor. AxB kümesini kartezyen koordinat sisteminde gösterelim.
Çözüm : olur.
Bu noktalar kartezyen koordinat sisteminde işaretlenirse yandaki grafik elde edilir. AxB nin grafiği,
noktadan oluşur.
Örnek : Bir semtteki belediye çalışanları birbirine paralel olan
2 ve 3. sokaklar ile bu sokakları dik kesen 4 ve 5. sokaklar
arasında kalan araziye çocuk parkı yapacaklardır. Bu araziyi
grafik üzerinde gösterelim.
Çözüm : Birbirine paralel olan 2 ve 3. sokaklar arasını A kü-
mesi ile, bu sokakları dik kesen 4 ve 5. sokaklar arasını da B
kümesi ile gösterelim. Buna göre;
Burada park yapılacak alana yollar dâhil olmayacağından
sokakları kümelere dâhil etmeyeceğiz.
Örnek :
Çözüm :
A =" , x 2 1x 13, x !R ,
B =" , x 4 1 x15, x !R dir.
s] g AxB =s] g A $ s] g B = 2$
3 =6
AxB =" , ^ h 1,3 , 1,4 ^ h, 1,5 ^ h, 2,3 ^ h, 2,4 ^ h, 2,5 ^ h
A =" , 1,2 ve B =" , 3,4,5
69
3
B
1
-1 2 0
3
4
5
B
AxB
A 0 1
0
2
4
5
B
AxB
A
2 3
A
D
C
CxD
1
1
0
2
-1
AxB
kümeleri için AxB nin grafiğini
çizelim.
A=# - x -1G x 12, x ! R
B=# - y 11 y 13, y ! R
kümeleri için CxD nin grafiğini
çizelim.
C= # - x -1 1 x 11, x ! R
D= " , 1,2
5. SOKAK
4. SOKAK
2. SOKAK
3. SOKAK
İzmir Basma
Fabrikası
Giriş
Giriş70
ALIŞTIRMALAR
1. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere (a + b, 2x) = ise a tam sayısını bulunuz.
2. olduğuna göre x ve y değerlerini bulunuz.
3. (5a – 3 , a + 9) ikilisinin bileşenleri birbirine eşitse a sayısını bulunuz.
4. 1 den 8 e kadar olan tam sayılardan (tek sayı, asal sayı) biçiminde ikililer oluşturunuz. Bu şekilde
kaç ikili oluşturulabilir?
5. AxB = {(1,k),(1,m),(1,n),(2,k),(2,m),(2,n)} ve AxC = {(1,m),(2,m)} kümeleri veriliyor.
Ax(B∩C) kümesini bulunuz.
6. kümeleri için kümesini bulunuz.
7. kümeleri veriliyor.
a. A ve B kümelerini liste yöntemi ile yazınız.
b. AxB ve BxA kümelerini liste biçiminde yazıp grafiğini çiziniz.
8. kaçtır?
9. kümeleri veriliyor. kümesinin eleman sayısını
bulunuz.
10. A ve B kümeleri için (A B) x (A ∪ B) = {(5,2), (5,3), (5,4), (5,5)} ve B A = {4} olduğuna göre
(B A) x (A ∩ B) kümesinin elemanlarını bulunuz.
11. A ve B kümeleri için nı bulunuz.
12. A ve B kümeleri için ise A kümesinin eleman sayısını bulunuz.
13. kümeleri veriliyor. AxB nin grafiğini çiziniz.
14. olduğuna göre AxB nin belirttiği
bölgenin alanını bulunuz.
15. A = {5, 7, 9} ve B = {k, m, n} kümeleri veriliyor. BxA kümesinin kaç tane öz alt kümesi olduğunu
bulunuz.
16. Analitik düzlemde K(3 + a , 2) ve M(–5, a – 7) noktaları aynı bölgededir. Buna göre A nın alabileceği
tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz.
17. Yandaki şekle göre A ve B kümelerinin elemanlarını belirleyiniz.
A=# - x -2G x G2, x ! R ve B =# - x -3G xG 3, x ! R
A= -" , 1,3 , B=# - x -21 x G5, x ! R
s A] g +B =2 , sB] g = 3 ve s A x A 6 @ ] g,] g AxB = 20
s A] g +B =3 , sB] g = 7 ve s A x B ] g = 42 ise s A] g ,B
A=" , 1,3,5,7 ve B =" , 1,5,9 ] g A+B x A] g ,B
s] g AxA =256 ise s] g A
A= x 2G x
2
# - G25, x !N ve B= x 3 Gx
3
# - G 28, x ! N
A=" , a,b,c , B= " , a,b,d ve C =" , d,e ] g A+B x BC ] g
2
x
^ h ,26 = 32,3y
^ h -1
a-b
x
c m ,14
l
k
abc
AxB
B
A
x
a – b71
BAĞINTI
Yukarıdaki resimde okçuların birer okları vardır. Atıcıların kendi hedef tahtası dışındaki hedef tahtalarına da ok atma hakkı bulunmaktadır.
Buna göre oklar atıldıktan sonra ortaya çıkabilecek bütün olası durumların oluşturduğu kümeyi bulabilir misiniz?
Her okçunun kendi hedef tahtasına okunu attığını düşünelim. Bu durum yukarıda belirlediğiniz kü-
menin bir alt kümesi midir? Tartışınız.
Bağıntı
A = {İstanbul, Bitlis, İzmir, Gümüşhane}
B = {
34, 13, 35, 29}
Yukarıdaki kümelerden yararlanarak AxB ve BxA kümelerini liste yöntemi ile yazınız. AxB ve BxA nın
eleman sayılarını bulunuz.
AxB ve BxA nın grafiğini koordinat düzleminde çiziniz.
Oluşturduğunuz kümedeki ikililerden hangileri sırasıyla şehirler ve plakaları biçiminde doğru eşlenmiştir ? Belirleyiniz.
(Şehir, plaka) biçiminde doğru eşlenen ikililerden oluşan bir β kümesini liste yöntemiyle yazıp grafi-
ğini çiziniz.
β kümesini şema ile gösteriniz.
β kümesi, etkinliğin 1. basamağında oluşturduğunuz kümelerden birinin alt kümesi olur mu? Açıklayınız.
AxB kümesinin başka bir alt kümesini yazınız.
Yazdığınız kümeyi şema ile gösteriniz ve grafiğini çiziniz.
AxB nin kaç tane alt kümesini oluşturabilirsiniz?
AxB nin bütün alt kümelerinin sayısı ile AxB kümesinin eleman sayısı arasında bir ilişki kurabilir misiniz? Tartışınız.
Örnek : kümeleri verilsin. AxB nin tüm alt kümelerini yazalım.
Çözüm : dir. s(AxB) = 3 olup bu kümenin tüm alt kümelerinin sayısı, 23
= 8
olur. Bu alt kümeler;
şeklindedir.
β
1
=" ,
β
5
=" , ^ h 1,2 , 3,2 ^ h
,
,
β
2
= " , ^ h 1,2
β
6
= " , ^ h 1,2 , 5,2 ^ h
,
,
β
3
=" , ^ h 3,2
β
7
=" , ^ h 3,2 , 5,2 ^ h
,
,
β
4
= " , ^ h 5,2
β
8
= " , ^ h 1,2 , 3,2 ^ h, 5,2 ^ h
AxB =" , ^ h 1,2 , 3,2 ^ h, 5,2 ^ h
A=" , 1,3,5 , B= ! + 2
72
Örnek : kümeleri veriliyor. Buna göre,
kümelerinden hangilerinin A dan B ye bir bağıntı olduğunu bulalım.
Çözüm : tür.
a. β
1
⊂ AxB olduğundan β
1
, A dan B ye bir bağıntıdır.
b. β
2
⊂ AxB olduğundan β
2
, A dan B ye bir bağıntıdır.
c. β
3
⊄ AxB olduğundan β
3
, A dan B ye bir bağıntı değildir.
Bağıntının Şeması ve Grafiği
Örnek : A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
bağıntısı veriliyor.
a. β bağıntısını liste biçiminde yazalım.
b. β bağıntısını şema ile gösterelim.
c. β bağıntısının grafiğini çizelim.
Çözüm :
a. tür.
b. c.
β =" , ^ h 1,1 , 2,2 ^ h , 3,3 ^ h, 4,4 ^ h , 3,1 ^ h , 1,3 ^ h, 4,2 ^ h, 2,4 ^ h
β =# - ^ h x,y y-x, 2 x,y !A
AxB = -" , ^ h 2,2 , ^ h -2,3 , ^ h -2,4 , 0,2 ^ h, 0,3 ^ h , 0,4 ^ h , 2,2 ^ h, 2,3 ^ h, 2,4 ^ h
c. β
3
=" , ^ h 2,0 , 2,2 ^ h
a. β
1
= -" , ^ h 2,2 , 2,2 ^ h ,
b. β
2
= -" , ^ h 2,2 , 0,4 ^ h , 0,2 ^ h ,^ h -2,3 , 2,3 ^ h, 2,4 ^ h ,
A= -" , 2,0,2 , B=" , 2,3,4
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, AxB kümesinin her alt kümesi A dan B ye
tanımlanan bir bağıntıdır. Bağıntılar genellikle β
1
,β
2
, ... biçiminde gösterilirler.
(x,y) ∈ β ise y elemanı, x elemanına β bağıntısı ile bağlıdır.
A dan B ye tanımlanabilecek tüm bağıntıların sayısı, dır. 2
s AxB ^ h
ile bölünür,
2
3
4
A
A
1
1234
β
•
1 •1
•2
•3
•4
•
2
•
3
•
4
1•
•
3
•
2
•
4
β
A A A73
Örnek : kümeleri ile A dan B ye tanımlı bağıntısının şemasını ve grafiğini çizelim.
Çözüm :
Şema ile gösterim Grafik ile gösterim
Bağıntının Tersi
A = {2,3,4} B = {4,5,6} kümeleri üzerinde tanımlı β bağıntısı, β
1
= {(x, y) | (x, y) ∈AxB, y = x + 2}
veriliyor.
β
1
bağıntısını liste yöntemi ile yazınız.
β
1
bağıntısının grafiğini çiziniz.
β
1
bağıntısındaki ikililerin bileşenlerini yer değiştirerek yeni bir β
2
bağıntısı oluşturunuz.
β
1
bağıntısının grafiği üzerinde β
2
bağıntısının grafiğini çiziniz.
β
1
ve β
2
bağıntılarının grafiklerinin y = x doğrusuna göre konumu hakkında ne söyleyebilirsiniz?
β
1
bağıntısının tersinin nasıl bulunabileceğini tartışınız.
Örnek : A = {
Bitlis, İzmir, Gümüşhane} ve B = {
13, 35, 29} kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlı bir
bağıntı, β = {(Bitlis, 13) , (İzmir, 35) , (Gümüşhane, 29)} olsun. β bağıntısındaki tüm ikililerin birinci ve
ikinci bileşenlerinin yerlerini değiştirerek oluşturulan yeni kümeyi inceleyelim.
Çözüm :β bağıntısında tüm ikililerin bileşenleri yer değiştirirse
α = {(13, Bitlis) , (35, İzmir) , (29, Gümüşhane)} kümesi elde edilir. Bu küme AxB kümesinin bir alt
kümesi değildir. Ancak,
BxA = {(13, Bitlis), (13, İzmir), (13, Gümüşhane), (
35, Bitlis), (35, İzmir), (35, Gümüşhane), (
29, Bitlis), (29, İzmir) , (29, Gümüşhane)} olup α kümesi BxA kümesinin bir alt kümesidir.
A =" , 1,2,3 ve B = " , 1,2 β =" , ^ h 1,1 , 1,2 ^ h, 2,1 ^ h
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere; β, A dan B ye tanımlanan bir bağıntı olsun. β bağıntısındaki bütün ikililerin birinci bileşenleri ile ikinci bileşenlerinin yer değiştirilmesiyle elde edilen ba-
ğıntı β bağıntısının tersidir. Bu da β
–1 ile gösterilir.
β 1 AxB ise β dır. -1
=$ . ^ h y,x ^ h x,y ! β 1BxA
2
B
A
1
1 2 3
→ β 1 •
A
β
B
2 •
• 1
• 2
3
•
Örnek : A = {1,2,3} kümesi üzerinde tanımlı,
bağıntısı veriliyor. β ve β
–1 bağıntılarını liste yöntemi ile
yazarak grafiklerini çizelim.
β =$ . ^ h x,y x2 y , x,y ^ h! AxA 1AxA74
Çözüm : tür.
Örnek : kümesi üzerinde olarak
tanımlanmıştır. β
–1 bağıntısını liste biçiminde yazalım.
Çözüm : dir.
olarak bulunur. O hâlde,
dır.
Örnek : kümesi üzerinde bağıntısı tanımlanıyor. β
–1 bağıntısını liste yöntemiyle ve ortak özellik yöntemiyle yazınız.
Çözüm :
Bağıntının Özellikleri
Aşağıdaki özelliklere sahip ikişer tane;
• Tanımlı olduğu kümedeki her x elemanı için (x,x) ikililerini içeren bağıntı,
• a ≠ b olmak üzere her (a,b) ikilisi için (b,a) ikilisini de içeren bağıntı,
• Her (a,b) ikilisi için (b,a) ikilisini de içermeyen bağıntı,
• Her (a,b) ve (b,c) ikili çifti için (a,c) ikilisini içeren bağıntı yazınız.
Siz de bu özelliklerin hepsini içeren bir bağıntı oluşturabilir misiniz? Açıklayınız.
K =" , 0,1, 2, 3, 4
β =" , ^ h 0,0 , 2,1 ^ h, 4,2 ^ h
β
-1
=" , ^ h 0,0 , 1,2 ^ h, 2,4 ^ h
β
-1
=# - ^ h x,y y= 2x, x,y ! N
K =" , x x G4, x ! N β =$ . ^ h x,y x =2y ,(x,y) ! KxK
β
-1
= " , ^ h 0,0 , 2,1 ^ h, 4,2 ^ h , 6,3 ^ h , 8,4 ^ h, 10,5 ^ h , 12,6 ^ h
β= " , ^ h 0,0 , 1,2 ^ h , 2,4 ^ h, 3,6 ^ h , 4,8 ^ h , 5,10 ^ h , 6,12 ^ h
A=" , 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
A=# - x 0G x 113 , x ! N β =$ . ^ h x,y y= 2x , x,y ^ h! AxA
β =" , ^ h 2,1 , 3,1 ^ h, 3,2 ^ h olup β
-1
=" , ^ h 1,2 , 1,3 ^ h, 2,3 ^ h
2
3
A
A
1
1 2 3
β
β
−1 y=x
β ve β
–1 bağıntılarının grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.75
1. Yansıma Özelliği
Örnek : A = {1,2,3} kümesi üzerinde tanımlanan aşağıdaki β
1
ve β
2
bağıntılarını liste yöntemiyle
yazalım.
a. b.
Çözüm :
a. b.
β1
ve β2 bağıntılarında bileşenleri birbirine eşit olan ikililer vardır. Bu ikililer A kümesinin bütün elemanları için β1
ve β2
de mevcuttur.
Örnek : A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangilerinin yansıyan olduğunu
bulup grafiklerini çizelim.
Çözüm :
a. β
1
bağıntısı yansıyandır. Çünkü A kümesinin her x elemanı için (x,x) ∈ β1
dır.
b. β
2
bağıntısı yansıyan değildir. Çünkü 2 ∈ A için (2,2) ∉ β2 dir.
c. β
3
bağıntısı yansıyan değildir. Çünkü A kümesinin 2 ve 4 elemanları için tür.
ç. β
4
bağıntısı yansıyandır. Çünkü A kümesinin her x elemanı için tür.
Şimdi de β
1 , β
2
, β
3
ve β
4 bağıntılarının grafiklerini çizelim.
^ h x,x ! β
4
^ h 2,2 g β
3 ve 4,4 ^ h g β
3
a.
c.
β
1
=" , ^ h 1,3 , 3,3 ^ h , 1,1 ^ h, 3,4 ^ h, 4,4 ^ h , 2,2 ^ h
β
3
=" , ^ h 1,1 , 3,3 ^ h , 3,4 ^ h
b. β
2
=" , ^ h 1,1 , 3,3 ^ h , 4,4 ^ h
β
4
=" , ^ h 1,1 , 3,3 ^ h , 2,2 ^ h, 4,4 ^ h
β
1
=# - ^ h 1,1 , 2,2 ^ h, 3,3 ^ h β
2
=# - ^ h 1,1 , 1,2 ^ h , 1,3 ^ h , 2,2 ^ h, 2,3 ^ h, 3,3 ^ h
β
1
=$ . ^ h x,y x =y , x,y ^ h! AxA β
2
=$ . ^ h x,y xG y , x,y ^ h! AxA
β, A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun. A kümesinin her a elemanı için (a,a) ∈ β oluyorsa β bağıntının yansıma özelliği vardır veya β yansıyandır, denir.
∀ x ∈ A için yansıyandır. ^ h x,x ! β ise, β
2
3
4
1
A A
1
2 3 4
2
3
4
1
1
2 3 4
2
3
4
1
1
2 3 4 A
A A A
A
A
2
3
4
1
1
2 3 4
β
1
β
2
β
3 β
4
Yansıma özelliği olan bağıntılarda köşegen üzerindeki elemanların hepsi bağıntıya dâhildir.
ç.76
2. Simetri Özelliği
Örnek : A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan aşağıdaki β
1
ve β
2
bağıntılarını liste yöntemiyle yazalım.
a. , 2 ile bölünür,
b. nin 2 ye bölümünden kalan 1 dir,
Çözüm :
Dikkat edilirse β
1
ve β
2
bağıntılarındaki sıralı ikililerin bileşenlerinin yer değiştirilmesiyle elde edilen
sıralı ikililer bu bağıntıların içinde yer alır.
Örnek : A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan,
β = {(x,y) : x + y = 5, x, y ∈ A} bağıntısını,
a) Liste yöntemi ile yazalım.
b) β bağıntısı simetrik midir? Bulalım.
c) β bağıntısının grafiğini çizelim.
Çözüm :
a) β = {(1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1)} dir.
b) ∀ (x,y) ∈ β için (y,x) ∈ β olduğundan β bağıntısı simetriktir.
c)
a. β
1
=" , ^ h 1,1 , 2,2 ^ h , 3,3 ^ h , 4,4 ^ h, 1,3 ^ h , 3,1 ^ h , 2,4 ^ h, 4,2 ^ h
b. β
2
=" , ^ h 1,2 , 2,1 ^ h , 1,4 ^ h , 4,1 ^ h, 2,3 ^ h , 3,2 ^ h , 3,4 ^ h, 4,3 ^ h
β
2
=#^ h x,y x+y ^ h x,y ! AxA ,
β
1
=#^ h x,y x-y ^ h x,y ! AxA ,
β, A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun. β bağıntısının her (x,y) elemanı için,
(y,x) ∈ β oluyorsa β bağıntısının simetri özelliği vardır veya β simetriktir. Yani,
∀ (x,y) ∈ β için simetriktir. ^ h y,x ! β ise β
A
A
y = x
tür.
→ β
1
1234
2
3
477
Örnek : A = {a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların simetrik olup olmadığını belirleyip
grafiklerini çizelim.
Çözüm :
a. β
1
bağıntısı simetriktir. Çünkü
b. β
2
bağıntısı simetriktir. Çünkü Ayrıca (
a,a)
ve (
c,c) ikililerinin tersleri kendilerine eşittir.
c. β
3
bağıntısı simetrik değildir. Çünkü tür.
Şimdi de β
1
, β
2
ve β
3
bağıntılarının grafiklerini çizelim.
3. Ters Simetri Özelliği
Örnek : A = {1,2,3} kümesi üzerinde tanımlanan aşağıdaki β
1
ve β
2
bağıntılarını liste yöntemiyle yazalım.
a.
b. böler x,
Çözüm :
β
1
ve β
2
bağıntılarındaki sıralı ikililerin bileşenlerinin yer değiştirilmesi ile elde edilen sıralı ikililer bu
bağıntıların içinde yer almaz.
a. β
1
=" , ^ h 1,1 , 2,2 ^ h, 3,3 ^ h , 3,1 ^ h , 2,1 ^ h, 3,2 ^ h
b. β
2
=" , ^ h 1,1 , 2,2 ^ h, 3,3 ^ h , 3,1 ^ h , 2,1 ^ h
β
2
=#^ h x,y y ^ h x,y ! AxA ,
β
1
=$ . ^ h x,y x Hy , x,y ^ h! AxA
^ h a,c ! β
3 iken c,a ^ h g β
3
^ h d,a ! β
2 iken a,d ^ h! β
2 dir.
^ h a,c !β
1 iken c,a ^ h ! β
1 ve b,d ^ h ! β
1 iken d,b ^ h !β
1 dir.
a. β
1
= " , ^ h a,c , b,d ^ h , c,a ^ h , d,b ^ h
b. β
2
= " , ^ h d,a , a,a ^ h , a,d ^ h , c,c ^ h
c. β
3
=" , ^ h b,d , d,c ^ h , d,b ^ h , c,d ^ h , a,c ^ h, b,b ^ h
Simetrik bağıntılarda her elemanın köşegene göre simetriği vardır veya elemanlar köşegen
üzerindedir.
b
c
d
→köşegen
β
1
β
3
β
2
a
abcd
b
c
d
a
abcd
b
c
d
a
abcd
A
A A
A A
A
dir.78
Örnek : A = {k,m,n,p} kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların ters simetrik olup olmadıklarını
belirleyip grafiklerini çizelim.
Çözüm :
a. β
1
bağıntısı ters simetriktir. Çünkü ve
dir.
b. β
2
bağıntısı ters simetrik değildir. Çünkü
Şimdi de β
1
ve β
2
bağıntılarının grafiklerini çizelim.
^ h m,k ! β
2 iken k,m ^ h ! β
2 ve k ! m dir.
^ h m,p ! β
1 iken p,m ^ hg β
1
^ h k,n ! β
1 iken n,k ^ hg β
1 , k,p ^ h! β
1 iken p,k ^ hg β
1
a. β
1
=# - ^ h k,n , k,p ^ h , p,p ^ h , m,p ^ h
b. β
2
=# - ^ h k,k , m,k ^ h, p,n ^ h , k,m ^ h
β, A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun. βbağıntısının her (x,y) elemanı için (y , x) ∉ β
veya her (x , y) ∈ β için bağıntısının ters simetri özelliği vardır ya da β ters simetriktir, denir.
^ h y,x ! β iken x =y oluyorsa β
1. Bir elemanlı bir bağıntı, karşılaştıracak başka eleman bulunmadığından daima ters simetriktir.
2. Bir bağıntı ters simetrik değil ise simetrik olduğu söylenemez. Aynı şekilde bir bağıntı simetrik değil ise ters simetrik olduğu söylenemez.
m
n
p
A
A A
k
kmn p
→β1
m
n
p
A
k
kmn p
→β279
A
0
B
AB
4. Geçişme Özelliği
Aynı büroda çalışan Berk, Mert’in amiri ve Elif de Berk’in amiri ise Elif’ in Mert’in amiri olduğu söylenebilir.
Örnek : A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan bağıntısını liste
yöntemi ile yazalım. Yukarıda anlatılan durumu göz önüne alarak β bağıntısının da benzer bir özellik
gösterip göstermediğini belirleyelim.
Çözüm : β bağıntısı, olarak bulunur.
Yukarıda anlatılan durum göz önüne alınırsa
olduğu söylenebilir. Bağıntının grafiği yanda verilmiştir.
Örnek : A = {a,e,k,p} kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların geçişken olup olmadıklarını belirleyelim.
Çözüm :
a. β
1
bağıntısı geçişkendir. Çünkü dir ve başka ge-
çişme özelliği arayabileceğimiz iki eleman mevcut değildir.
b. β
2
bağıntısı geçişken değildir. Çünkü fakat
ve dir.
Örnek : Yanda, kan grupları ile verici olabilecekleri gruplar
arasındaki bağıntının şeması verilmiştir.
Buna göre;
a. Bu bağıntıyı ortak özellik yöntemi ile yazalım.
b. Bu bağıntıyı liste yöntemi ile yazalım.
c. Bu bağıntının yansıma, simetri, ters simetri ve ge-
çişme özelliklerinden hangilerine sahip olduğunu inceleyelim.
e,a ^ h a,p ! β
2 iken e,p ^ hg β
2
^ h ! β
2
^ h k,e ! β
2 ve e,a ^ h! β
2 iken k,a ^ h! β
2
^ h k,a ! β
1 ve a,p ^ h! β
1 iken k,p ^ h! β
1
a. β
1
=# - ^ h k,a , e,e ^ h , a,p ^ h, k,p ^ h b. β
2
=# - ^ h k,e , k,a ^ h , e,a ^ h, a,p ^ h
^ h 1,2 ! β ve 2,3 ^ h ! β iken 1,3 ^ h! β,
^ h 1,2 ! β ve 2,4 ^ h ! β iken 1,4 ^ h! β ,
^ h 1,3 ! β ve 3,4 ^ h ! β iken 1,4 ^ h! β
β =" , ^ h 1,2 , 1,3 ^ h, 1,4 ^ h , 2,3 ^ h , 2,4 ^ h, 3,4 ^ h
β =# - ^ h x,y :x 1 y , x,y ^ h! AxA
β, A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun. β nın her (x,y) elemanı için
oluyorsa β bağıntısının geçişme özelliği vardır veya β geçişkendir,
denir.
6^ h x,y ! β ve y,z ^ h ! β iken x,z ^ h! β ise β geçişkendir.
^ h y,z ! β iken x,z ^ h !β
1. Bir elemanlı bir bağıntı, geçişme özelliği kuralını bozmayacağından daima geçişkendir.
2. Bir β bağıntısında (a,b) ∈ β iken b ile başlayan başka ikili yoksa (a,b) ikilisi geçişkenliği
bozmaz.
Yansıma, simetri ve geçişme özelliklerine sahip bağıntılara denklik bağıntısı denir.
2
3
4
0 1
A
1
234
A
β80
Çözüm : İnsanların kan gruplarının kümesi; İ = {0, A, B, AB} dir. İ kümesi üzerinde tanımlı β bağıntısı,
a. şeklindedir.
b
c. ikilileri β bağıntısının elemanları olduğundan, β bağıntısı yansı-
yandır.
olduğundan, β bağıntısı simetrik değildir.
Her (x,y) ∈ β için (y,x) ∉ β olduğundan, β bağıntısı ters simetriktir.
Her için, (x,z) ∈ β olduğundan, β bağıntısı geçişkendir. β yansıyan ve ge-
çişkendir fakat simetrik olmadığı için denklik bağıntısı değildir.
Örnek : Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan, β = { (x,y) : (x – y), 7 ile bölünür, (x,y) ∈ Z} bağıntısı-
nın yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerinden hangilerine sahip olduğunu inceleyelim.
Çözüm :
Yansıma özelliği : ∀ x ∈ Z için, ( 7 böler 0 ) olduğundan, (x,x) ∈ β dır. β bağıntısı
yansıyandır.
Simetri özelliği : ∀ x, y ∈ Z için, O hâlde dır.
β bağıntısı simetriktir.
Ters Simetri özelliği :^ h x,y ! β & ^ h x-y 7 &^ h y-x 7&^ h y,x ! β olduğundan β ters simetrik değildir.
7 x^ h -y & 7 y^ h -x tir. ^ h x,y ! βise y,x ^ h! β
7 x] g -x & 7 0
^ h x,y ! β ve y,z ^ h !β
^ h 0,A ! β iken A,0 ^ h gβ
^ h 0,0 , A,A ^ h, B,B ^ h ve AB,AB ^ h
β =" , ^ h 0,0 , 0,A ^ h , 0,B ^ h, 0,AB ^ h , A,A ^ h , A,AB ^ h, B,B ^ h, B,AB ^ h , AB,AB ^ h
β = # - ^ h x,y x ,y ye kan verebilir
Geçişme özelliği : ∀ x,y,z ∈ Z için, olsun. Buradan,
bulunur.
Öyleyse (x, z) ∈ β dır. β bağıntısı geçişkendir. β bağıntısı yansıyan, simetrik ve geçişken olduğu için
denklik bağıntısıdır.
Örnek : A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan ve aşağıdaki şartlara uyan en az elemanlı birer ba-
ğıntı yazalım.
a. β
1
yansıyan ve simetrik değil.
b. β
2
simetrik değil ve ters simetrik değil.
c. β
3
simetrik ve ters simetrik.
ç. β
4
simetrik değil ve geçişken değil.
d. β
5
yansıyan, simetrik, ters simetrik ve geçişken.
Çözüm :
a. ilk dört ikili yansıma özelliğini sağlıyor. (1, 3) ikilisi simetri özelliğini yok ediyor.
b. ⇒ (1, 3) ve (3, 1) ikilileri ters simetri özelliğini, (2, 4) ikilisi simetri özelliğini yok ediyor.
c. ⇒ simetrik ve ters simetrik.
ç. ⇒ simetriktir. (1, 2) ve (2, 1) ikilileri ile birlikte (1, 1) ikilisi olmadığından ge-
çişken değildir.
d. ⇒ yansıyan, ters simetrik, simetrik, geçişken. (x, x) ikilileri, ters
simetri özelliğine aykırı olmadığı gibi geçişkenliği de yok etmez.
β
5
=" , ^ h 1,1 , 2,2 ^ h , 3,3 ^ h, 4,4 ^ h
β
4
=" , ^ h 1,2 , 2,1 ^ h
β
3
=" , ^ h 1,1
β
2
=" , ^ h 1,3 , 3,1 ^ h, 2,4 ^ h
β
1
=" , ^ h 1,1 , 2,2 ^ h , 3,3 ^ h , 4,4 ^ h, 1,3 ^ h
x-y = 7k ,k !N
y-z = 7p ,p !N
4& x-y+y-z= 7k+7p& x-z = 7 k^ h
+p
!N
^ h x,y ! β ve y,z ^ h !β81
ALIŞTIRMALAR
1. kümeleri ile ba-
ğıntısı veriliyor. Buna göre;
a. β bağıntısını liste biçiminde yazınız.
b. Bağıntıyı şema ile gösteriniz.
c. Bağıntının grafiğini çiziniz.
2. A = {0, 1, 2, 3, 4}
kümesi üzerinde tanımlanan, , y sayısını böler; ba-
ğıntısının eleman sayısını bulunuz.
3. olmak üzere A dan B ye 256 tane bağıntı tanımlanabildiğine göre x kaç olmalıdır?
4. A = {1,2,3}
kümesi üzerinde,
bağıntısı veriliyor.
β
2 bağıntısının şeması ise yandadır. Buna göre,
β
1
∩ β2 bağıntısını elemanlarını yazarak belirtiniz.
5. kümeleri verilyor. A dan B ye β bağıntısı,
sayısını böler ve biçiminde tanımlanıyor. β bağıntısını ve β
–1 ters ba-
ğıntısını bulup bu bağıntıların grafiklerini aynı analitik düzlemde gösteriniz.
6. bağıntısı veriliyor. Buna göre, β∩ β–1 kümesini bulunuz.
7. A = {0, 1, 2, 3, 4}
kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılarda; yansıma, simetri, ters simetri ve
geçişme özelliklerinden hangilerinin olduğunu bulunuz.
8. A = {1, 2, 3, 4}
kümesi üzerinde tanımlı β bağıntısının grafiği yandadır.
Buna göre;
a. β bağıntısını liste yöntemiyle yazınız.
b. β bağıntısının yansıma özelliği var mıdır?
c. β bağıntısının simetrik olması için hangi eleman çıkarılmalıdır?
9. kümesi üzerinde tanımlanan,
bağıntısında yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerinden hangileri vardır?
β =# - ^ h x,y xG y , x,y ^ h! AxA
A =" , 0,2,4,6,8,10,12,14
a. β
1
= " , ^ h 1,1 , 2,2 ^ h , 3,3 ^ h , 4,4 ^ h, 1,2 ^ h
b. β
2
= " , ^ h 1,2 , 2,3 ^ h
c. β
3
=" , ^ h 1,3 , 3,3 ^ h , 3,1 ^ h
β
4
=" , ^ h 2,3
d. β
5
= " , ^ h 1,2 , 1,3 ^ h , 2,3 ^ h , 3,4 ^ h, 1,4 ^ h, 2,4 ^ h
e. β
6
= " , ^ h 4,4
β =$ . ^ h x,y 2x-y =3 , x,y ^ h !RxR
β =" ^ h x,y y,x ^ h x,y ! AxBA =" , 8,9,12,15 ve B = " , 2,3
β
1
=" , ^ h 1,1 , 2,2 ^ h, 3,2 ^ h, 3,1 ^ h
s A] g = 2 ve s B] g = x
β =#^ h x,y x ^ h x,y ! AxA ,
β = ^ h x,y x
y
A= -" , 9,-3, 0, 3, 9 ve B=" , 1,2,3 $ . = 9 , x! A ve y !B
1
2 3
2
3
4
1
A
1
234
A
β
ç.82
10. A = {a, b, c, d, e}
kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılarda, bağıntının özelliklerinden hangileri vardır?
11. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,
bağıntısı yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerinden hangilerine sahiptir?
12. “İnsanlar arasındaki kardeşlik bağıntısı” nın; yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerinin
olup olmadığını araştırınız.
13. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı, β = {(x, y) | 2x + ay = 0} bağıntısının yansıyan bir bağıntı olması için a kaç olmalıdır?
14. A = {2, a, 3, b, 4, c} kümesi üzerinde tanımlı β bağıntısının yansıma özelliği olduğuna göre β
bağıntısının en az kaç elemanı olmalıdır?
15. Doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlanan β = {(a, b) | b = 2a} bağıntısının geçişme özelliği var
mıdır?
β =$ . ^ h x,y xH y , x,y ^ h! ZxZ
a b
c
d
e
b
c
d
e
A
A
A
A
A
A
a
abcd e
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
abcde
abcde
β
1
→β2
→β3
→β4
a.
c. ç.
b.83
FONKSİYON
Fabrikalar mevcut ham maddeyi işleyerek yeni bir ürüne dönüştürür. Sandalye üreten bir fabrikada
ham maddeler çeşitli metaller ve döşemelik malzemelerdir.
Ham maddenin tamamı işlenmezse fabrika işlevini yerine getirmiş olur mu?
Tek bir malzemenin farklı iki ürünün yapımında kullanılması söz konusu olabilir mi?
Fonksiyon
İşsizliğin olmadığı ve tek bir maaşla yaşamanın mümkün olduğu bir ülkede;
1. koşul: Her kişinin bir işi olduğu,
2. koşul: Her kişinin birden fazla işte çalışmadığı biliniyor.
Bu ülkedeki fabrikalarda çalışan işçilerden, işçiler ve çalıştığı fabrikaları birbirine eşleyen ve yukarı-
daki koşulları sağlayan bir bağıntı 1. şekildeki gibi veriliyor.
1. şekle göre;
Bu bağıntıyı liste yöntemiyle yazınız.
Her işçi bir fabrikada çalışıyor mu? Birden fazla fabrikada çalı-
şan işçi var mıdır?
İşçilerin kümesini liste yöntemiyle yazınız.
İşçisi olmayan fabrika var mıdır?
Fabrikada çalışan işçilerin hangi fabrikada çalıştıklarını liste yöntemiyle yazınız.
1 ve 2. şekildeki bağıntıların 1 ve 2. koşulu sağlayıp sağlamadı-
ğını inceleyiniz.
1 ve 2. koşulu sağlayan bağıntıların özel bir adı vardır. Siz de buna benzer bir abğıntı oluşturunuz.
Bu bağıntıyı şema ile gösteriniz.
Yazdığınız bağıntının kuralını bulunuz.
İ
• i1 • f1
• f2
• f3
• f4
• f5
• i2
• i3
• i4
β
1
F
β
2
1. şekil
İ
• i1 • f1
• f2
• f3
• f4
• f5
• i2
• i3
• i4
F
2. şekil
84
Örnek : kümeleri veriliyor.
bağıntılarının
her biri için A kümesinin elemanlarından bir tanesiyle B kümesinin birden fazla elemanının eşlenip
eşlenmediğini ve A kümesinde eşlenmeyen eleman kalıp kalmadığını inceleyelim.
Çözüm : β
1
ve β
3
bağıntıları için A kümesinde eşlenmeyen eleman kalmadığı gibi bu elemanlardan hiç
biri B kümesinde birden fazla elemanla eşlenmemiştir. Dolayısıyla β1 ve β3
bağıntıları istenen koşulları
sağlar.
β
2
bağıntısında A kümesindeki 3 elemanı, B kümesinden hiçbir elemanla eşlenmemiştir. Ayrıca A kü-
mesindeki 1 elemanı B kümesinden iki elemanla eşlenmiştir. Bu yüzden β
2
koşulların ikisini de sağlamaz.
β
1
=" , ^ h 1,a , 2,b ^ h , 3,c ^ h , β
2
=" , ^ h 1,a , 1,b ^ h , 2,a ^ h ve β
3
= " , ^ h 1,a , 2,a ^ h, 3,a ^ h
A =" , 1,2,3 , B = " , a,b,c
A ve B boş olmayan herhangi iki küme olmak üzere, A dan B ye tanımlanan bir bağıntı ƒ olsun.
Eğer ƒ bağıntısı, aşağıdaki özelliklere sahip ise bu ƒ bağıntısına A dan B ye bir fonksiyondur, deriz.
1. ƒ bağıntısı, A kümesinin her bir elemanını B kümesinin yalnız bir elemanına eşliyor.
2. A kümesinde eşlenmeyen eleman kalmıyor.
Burada, A kümesine ƒ fonksiyonunun tanım kümesi,
B kümesine ƒ fonksiyonunun değer kümesi denir. A kü-
mesinin elemanlarının ƒ fonksiyonu yardımıyla B kümesinde eşleştiği değerlerin kümesine de ƒ foksiyonunun
görüntü kümesi denir. Görüntü kümesi ƒ(A) ile gösterilir.
Tanım kümesinin bir x elemanı, değer kümesinin bir y elemanına f ile bağlı ise bunu f : x → y veya biçiminde gösteririz. Bu bağıntı cebirsel veya aritmetik bir kural olmak
zorunda değildir.
Fonksiyon bir bağıntı olduğundan tanımlı olduğu kartezyen çarpım kümesinin bir alt kümesidir.
x y ya da ƒ] g x = y
A
• 1
• 2
• 3
• a
• b
• c
β
1
B A
• 1
• 2
• 3
• a
• b
• c
B A
• 1
• 2
• 3
• a
• b
• c
B
β
2
β
3
A
• x
ƒ(A) B
ƒ
•ƒ(x)=y
f
Örnek : kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntı-
lardan hangileri birer fonksiyondur? Fonksiyon olanların tanım, değer ve görüntü kümelerini bulalım.
A=" , a,b,c ve B =" , 1,3,5,7
A
• a
• b
• c
• 1
• 3
• 5
• 7
• a
• b
• c
• 1
• 3
• 5
• 7
• a
• b
• c
• 1
• 3
• 5
• 7
ƒ
1
BA B A B
ƒ
2
ƒ
385
Çözüm :
ƒ
1
bağıntısı, A dan B ye bir fonksiyon değildir. Çünkü A kümesindeki “ b” elemanı, B kümesindeki
hiçbir elemanla eşlenmemiştir.
ƒ
2
bağıntısı, A dan B ye bir fonksiyon değildir. Çünkü A kümesindeki “b” elemanı, B kümesindeki “3”
ve “5” elemanları ile eşlenmiştir.
ƒ
3
bağıntısı, A dan B ye bir fonksiyondur. Çünkü A kümesinde eşlenmeyen eleman kalmıyor ve A nın
her bir elemanı B nin yalnız bir elemanı ile eşleniyor. A dan B ye tanımlanan ƒ
3
fonksiyonunun tanım
kümesi A = {a, b, c}, değer kümesi B = {1, 3, 5, 7} ve görüntü kümesi : ƒ(A) = {1, 3, 7} dir.
Örnek : A = {–1,0,1,2} ve B = {–1,0,1,2,3,5} kümeleri için ƒ : A→ B , x → x
2
+ 1 bağıntısı veriliyor. Buna göre;
a. ƒ bağıntısının A dan B ye bir fonksiyon olduğunu gösterelim.
b. ƒ(A) görüntü kümesini liste biçiminde yazıp şema ile gösterelim.
Çözüm :
tir. Buna göre
a. A kümesinin her bir elemanı B kümesinin yalnız bir elemanı ile eşlendiği için f bağıntısı A dan B
ye bir fonksiyondur.
b. tir. ƒ] g A = " , 1,2,5
ƒ] g -1 = -] g 1
2
+1 =2 , ƒ] g 0 =0
2
+1 =1 , ƒ] g 1 =1
2
+1 =2 , ƒ] g 2 =2
2
+1 =5
• -1
• 0
• 1
• 2
•-1
• 1
• 0
• 2
• 3
• 5
A
B
ƒ
→ƒ(A)
Örnek : ƒ : A → B , ƒ(x) = 2x + 1 fonksiyonunun görüntü kümesi, B = {–1, 5, 7} olduğuna göre tanım
kümesini bulalım.
Çözüm :
ƒ(x) = 2x + 1 ile tanımlı fonksiyonun kuralını tek tek görüntü kümesindeki elemanlara eşitleyerek tanım kümesinin elemanlarını bulabiliriz.
O hâlde tanım kümesi A = {–1, 2, 3} olur.
2x+1 =-1
2x+1 =5
2x+1 =7
&
&
&
2x =-2
2x = 4
2x = 6
&
&
&
x =-1
x =2
x =3
• -1
• 2
• 3
• -1
• 5
• 7
A B
ƒ86
Örnek : A = {1,2,3,4,5}, ƒ : A→ B , ƒ(x) = 2x + 1 ve g = {(1,3), (2,5), (3,7), (4,9), (5,11)} olduğuna göre
ƒ ve g fonksiyonlarının tanım ve değer kümelerini inceleyelim.
Çözüm : ƒ fonksiyonunun tanım kümesi A = {1,2,3,4,5} dir. g fonksiyonun elemanlarının birinci bileşenlerini göz önünde bulundurursak g nin tanım kümesinin de A = {1,2,3,4,5} olduğu görülür. Benzer şekilde g nin değer kümesi D = {3,5,7,9,11} dir. ƒ fonksiyonun değer kümesinin elemanları,
ƒ(1) = 3, ƒ(2) = 5, ƒ(3) = 7, ƒ(4) = 9, ƒ(5) = 11 dir. ƒ fonksiyonu liste biçiminde yazarsak ƒ = {(1,3),
(2,5), (3,7), (4,11), (5,11)} olup g fonksiyonuna eşittir. ƒ ve g fonksiyonlarının tanım ve değer kümeleri
eşit ve bu kümedeki herhangi bir x elemanı için ƒ(x) = g(x) tir.
Örnek : ƒ : R → R , f(x) = 3x2
– 2x + 1 fonksiyonu için aşağıdaki ifadeleri hesaplayalım.
a. ƒ(5) b. ƒ(–2) c. ƒ(4x)
ç. ƒ(–x) d. ƒ(x + 2) e. ƒ(x2
)
Çözüm :
a.
b.
c.
ç.
d.
e. olur. ƒ x
2
^ h =3 $ x
2
^ h2
-2 x2
^ h+1 = 3x4
-2x2
+1
ƒ] g x+2 = 3$
] g x+2
2
-2$
] g x+2 +1 =
=
=
3$
x
2
^ h +4x+4 -2x-4+1
3x2
+12x+12 -2x-4+1
3x2
+10x+9
ƒ] g -x =3 $
] g -x
2
-2$
] g -x +1 = 3x2
+2x+1
ƒ] g 4x = 3$
] g 4x 2
-2 $
] g 4x +1 =3 $
16x2
-8x+1 =48x2
-8x+1
ƒ] g -2 = 3$
] g -2
2
-2 $
] g -2 +1 = 3$
4 +4+1 = 17
ƒ] g 5 = 3$
5
2
-2 $
5+1 = 75 -10+1 = 66
ƒ, g : A → B ve ∀ x ∈ A için ƒ(x) = g(x) ∈ B ise ƒ ile g fonksiyonları eşit fonksiyonlardır.
Örnek : olduğuna göre, a sayısını bulalım.
Çözüm :
ƒ] g x
g x] g
ƒ] g a
=
=
=
4x-1
3x+3
g 2a ] g
&
&
&
&
ƒ] g a
g 2a ] g
4a -1
-2a
=
=
=
=
4a -1
3$
2a+3 = 6a +3 olur.
6a +3
4& a =-2 bulunur.
ƒ,g:R "R,f x] g =4x-1,gx] g =3x+3 ve ƒ] g a = g 2a ] g87
Örnek : bir fonksiyon olsun.
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm :
Yandaki grafikte tanım kümesindeki elemanların her biri değer kü-
mesinin yalnız bir elemanı ile eş-
lenmiştir.
Örnek : kümeleri ile ƒ : A → B , ƒ(x) = x + 1 fonksiyonu veriliyor. ƒ fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm :A kümesindeki elemanların ƒ fonksiyonu altındaki
görütüsünü bulalım.
bulunur.
tir.
Bu noktaları analitik düzlemde gösterelim.
Yanda görüldüğü gibi ƒ fonksiyonunun grafiği,
ikililerinin belirttiği noktaların oluşturduğu kümedir.
^ h 1,2 , 2,3 ^ h , 3,4 ^ h , 4,5 ^ h
ƒ= " , ^ h 1,2 , 2,3 ^ h , 3,4 ^ h, 4,5 ^ h
ƒ] g x =x+1& ƒ] g 1 =2 ,ƒ] g 2 = 3 , ƒ] g 3 = 4 , ƒ] g 4 =5
A =" , 1,2,3,4 ,B =" , 2,3,4,5
ƒ= " , ^ h 1,1 , 2,3 ^ h , 3,1 ^ h, 4,3 ^ h
A =" , 1,2,3,4 , B = " , 1,2,3 ve ƒ:A" B
2
3
B
A
1
0 1 234
2
3
4
5
1
1 2 34 x
y
0
Bir Fonksiyonun Grafiği
A = {x l 0 ≤ x < 2, x∈R}, B = R+
, ƒ: A → B, ƒ(x) = x + 2 fonksiyonu için x e farklı değerler vererek
y nin değerlerini hesaplayınız.
Bulduğunuz noktaları koordinat düzleminde gösteriniz.
Sizce bir fonksiyonun ya da doğrunun grafiği nasıl çizilebilir? Açıklayınız.
A = {1, 2, 3} ve B = {1, 2} kümeleri veriliyor. Aşağıda grafiği verilen A dan B ye tanımlı β
1
, β
2
, β
3
ve
β
4
bağıntılarını liste yöntemi yazınız.
β
1
, β
2
, β
3
ve β
4
bağıntılarından hangileri fonksiyondur? Fonksiyon olanların tanım ve görüntü kümeleri söyleyiniz.
2
1 A
1
2 3
B
2
1 A
1
2 3
B
2
1 A
1
2 3
B
2
1 A
1
2 3
β
1 β
B 2
β
3 β
488
Örnek :
Yukarıda iki bağıntının grafiği verilmiştir. Buna göre;
a. Bağıntıları şema ile gösterelim.
b. Bu bağıntılardan hangisinin fonksiyon olduğunu bulalım.
c. Bu bağıntılardan fonksiyon olanların tanım ve değer kümelerini bulalım.
Çözüm : a.
b. β1
bağıntısı fonksiyon değildir. Çünkü, A kümesindeki a ve b elemanlarının iki görüntüsü vardır.
tür. β
2
bağıntısı fonksiyondur. Çünkü C kümesindeki her elemanın bir tek görüntüsü vardır ve C kümesinde görüntüsü olmayan eleman yoktur.
c. β2 fonksiyonunun tanım kümesi , değer kümesi D = C =" , 1,2,3,4 {1,2,3,4} tür.
β
2
=" , ^ h 1,1 , 2,2 ^ h, 3,3 ^ h, 4,4 ^ h
A
a •
b •
c •
• 1
• 2
• 3
• 4
β
1
B C
• 1
• 2
• 3
• 4
1 •
2 •
3 •
4 •
β
2
D
2
3
4
B
A
1
ab c
2
3
4
D
C
1
12 34
β
2
β
1
Örnek : ƒ : R → R bir fonksiyon olmak üzere
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm :
Tanım kümesinden seçilecek herhangi üç değer
için fonksiyonun alacağı değerler;
Buna göre fonksiyonun grafiği yandaki gibidir.
x=-1& ƒ] g -1 = 2$
] g -1 -1 =-3,
x= 0& ƒ] g 0 = 2$
0 -1 =-1,
x= 1& ƒ] g 1 = 2$
1 -1 =1 olur.
ƒ] g x =2x-1
2
3
4
1
1 2
-1
-1
-2
-3
-4
-4 -3 -2
3 4 x
y
ƒ
089
Örnek : Aşağıda grafikleri verilen bağıntıların fonksiyon olup olmadıklarını bulalım.
Çözüm :
a. b. c.
Düşey Doğru Testi
Bir bağıntının grafiğinde y eksenine çizilen her paralel doğru, grafiği en fazla bir noktada
kesiyor ise grafik fonksiyon grafiğidir. Eğer, y eksenine çizilen en az bir paralel doğru, grafiği
en az iki noktada kesiyor ise tanım kümesindeki bir eleman değer kümesinden birden fazla
elemanla eşleşmiş olacağından grafik fonksiyon grafiği değildir.
3
y y y
x x x
ƒ
1
ƒ
2
ƒ
3
-1
0 2 0 0
0 0
0
3
3
a. b. c.
3
4
y
x
ƒ
1
-1
2
y
x
ƒ
2
3
3
y
x
ƒ
3
y eksenine çizilen paralel
doğrular, grafiği birden fazla
noktada kestiğinden ƒ
1
fonksiyon grafiği değildir.
y eksenine çizilen paralel
doğrular, grafiği en fazla bir
noktada kestiğinden ƒ
2
fonksiyon grafiğidir.
y eksenine çizilen paralel
doğrular, grafiği en fazla bir
noktada kestiğinden ƒ
3
fonksiyon grafiğidir. 90
Fonksiyon Türleri
Aşağıdaki şemaları inceleyiniz.
Yukarıdaki şemalardan;
Fonksiyon olmayanları,
Değer kümesinde boşta eleman kalan fonksiyonları,
Değer kümesinde boşta eleman kalmayan fonksiyonları,
Her elemanın farklı yalnız bir elemanla eşlendiği fonksiyonları,
Görüntü kümesi tek elemanlı olan fonksiyonları belirleyiniz.
1. Bire Bir Fonksiyon
Yandaki liste bir sınıfta bulunan öğrencilerin
listesidir. x, sınıftaki her bir öğrencinin adını, y
ise sınıftaki her bir öğrencinin numarasını göstermek üzere, ( x,y ) sıralı ikililerinden oluşan ƒ
fonksiyonunu liste yöntemi ve şema ile gösterelim. Bu fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü farklı mıdır? İnceleyelim.
Çözüm :
Yandaki şemadan ƒ fonksiyonunun tanım kü-
mesindeki farklı elemanların görüntülerinin de
farklı olduğu görülür.
Örnek : Aşağıda verilen fonksiyonların bire bir fonksiyon olup olmadığını inceleyelim.
ƒ ="^ h Ali,1 , Ece,2 ^ h , ,3 ^ h , Seda,4 ^ h , Can,5 ^ h , Mert,6 ^ h , Nur,7 ^ h , Mete,8 ^ h,
ƒ : A→ B fonksiyonu için tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsü daima farklı ise ƒ fonksiyonuna bire bir fonksiyon denir.
∀ x
1
, x
2 ∈ A için
fonksiyonu bire bir fonksiyondur.
x
1
! x
2 iken ƒ] g x
1
! ƒ] g x
2 ya da ƒ] g x
1
=ƒ] g x
2 iken x1
= x
2 oluyorsa ƒ
A
a •
A B
b •
c •
• 1
• 2
• 3
• 4
ƒ
ƒ
B C
1 •
2 •
3 •
• 2
• 4
• 6
• 8
a. b. g c.
D E
2 •
4 •
6 •
• 4
• 8
• 12
h
F
Numara Ad Soyad
1 Ali Akman
2 Ece Yüce
3 Uğur Öz
4 Seda Kara
5 Can Akar
6 Mert Demir
7 Nur Yılmaz
8 Mete Ak
Ali • • 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
Ece •
Uğur •
Seda •
Can •
Mert •
Nur •
Mete •
A B
C Ç
•
•
•
•
•
•
•
•
ƒ
1
K L
•
•
•
•
•
ƒ
5
ƒ
2
D E
ƒ
3
F
G
ƒ
4
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Uğur
a 1
2
3
1
2
3
4
1
2 1
2
1
2 3
4
b
c
d
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
Örnek :91
Çözüm : ƒ ve h fonksiyonları bire bir fonksiyonlardır. Çünkü tanım kümesindeki her elemanın farklı
görüntüsü vardır. g fonksiyonu bire bir fonksiyon değildir. Çünkü
2, 3 ∈ C için tür.
Örnek : olmak üzere A dan B ye tanımlanabilecek bütün
bire bir ƒ fonksiyonlarını yazalım.
Çözüm :A dan B ye tanımlanabilecek bütün bire bir ƒ fonksiyonları,
şeklindedir. Permütasyondan yararlanarak tanımlanabilecek tüm bire bir ƒ fonksiyonları kısaca
şeklinde de bulunabilir.
Örnek : A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {a, b, c} olmak üzere;
a. A dan B ye tanımlı bağıntı sayısını,
b. A dan B ye tanımlı fonksiyon sayısını,
c. B den A ya tanımlı bire bir fonksiyon sayısını,
ç. B den B ye tanımlı bire bir olmayan fonksiyon sayısını bulalım.
Çözüm :
a. A dan B ye tanımlı bağıntı sayısı:
b. A dan B ye tanımlı fonksiyon sayısı: tir.
c. B den A ya tanımlı bire bir fonksiyon sayısı: tır.
ç. B den B ye tanımlı fonksiyon sayısı:
B den B ye tanımlı bire bir fonksiyon sayısı: dır.
B den B ye tanımlı bire bir olmayan fonksiyon sayısı 27 – 6 = 21 dir.
2. Örten Fonksiyon
Yandaki tabloda bir ailedeki bireylerin kan grupları verilmiştir. Bu
ailedeki bireylerin kümesini A ile, aile bireylerinin kan gruplarının kü-
mesini de B ile gösterelim.
A dan B ye tanımlanan ƒ fonksiyonu, A daki her bir bireyi B de
kendi grubuna eşlesin. ƒ fonksiyonunu liste yöntemi ve şema ile gösterelim. Bu fonksiyonun değer kümesinde eşlenmeyen eleman var
mıdır? ƒ(A) = B midir? İnceleyelim.
6 @ s] g B -s] g B !
6 @ s] g B !
=
] g 3- 3 !
3!
=6
s] g B
s] g B
=3
3
=27 dir.
6 @ s] g A -s] g B !
6 @ s] g A !
=
] g 5-3 !
5!
= 60
s] g B
s] g A
= 3
5
2
s AxB ] g
= 2
s A] g$
s B] g
= 2
5$
3
=2
15 tir.
P 3,2 ^ h=
] g 3-2 !
3!
= 3! =6
ƒ
1
= " , ^ h a,1 ,^ h b,2
ƒ
4
= " , ^ h a,3 ,^ h b,1
,
,
ƒ
2
=" , ^ h a,2 ,^ h b,1
ƒ
5
=" , ^ h a,2 ,^ h b,3
,
,
ƒ
3
=" , ^ h a,1 ,^ h b,3
ƒ
6
=" , ^ h a,3 ,^ h b,2
A=" , a,b , B=" , 1,2,3 ve ƒ :A" B
2!3 iken ƒ] g 2 = ƒ] g 3 =4
1. A dan B ye tanımlı fonksiyon sayısı = s(B)s(A) dır.
2. olmak üzere, A dan B ye tanımlı bire bir tüm fonksiyonların sayısı;
P^ h s] g B , s] g A = şeklinde bulunur.
s] g B 2 s] g A
Adı Kan Grubu
Murat A Rh+
Nevin B Rh+
Eda AB Rh+
Seçil 0 Rh+
Cem B Rh+
,
3!
[s(B)]!
[s(B) – s(A)]!
(3 – 2)!
[s(B)]!
[s(B) – s(A)]!
5!
(5 – 3)!
[s(B)]!
[s(B) – s(B)]!
3!
(3 – 3)! 92
ƒ =
Yandaki şemaya göre, ƒ fonksiyonunun değer
kümesinde eşlenmeyen eleman kalmamıştır.
O hâlde ƒ(A) = B dir.
Örnek : Aşağıda verilen fonksiyonların örten fonksiyon olup olmadığını inceleyelim.
Çözüm :
a. ƒ : A → B örten fonksiyon değildir. Çünkü B kümesinde eşlenmeyen eleman kalmıştır.
b. g : C → D örten fonksiyondur. Çünkü D kümesinde eşlenmeyen eleman kalmayıp ∀ y ∈ D için
g(x) = y olacak şekilde en az bir x ∈ C vardır.
3. İçine Fonksiyon
Yandaki tabloda bir sınıftaki öğrencilerin
hangi kulübe üye oldukları verilmiştir. Bu sınıftaki öğrencilerin kümesini A ile, üye olunabilecek kulüplerin kümesini B ile gösterelim. A dan
B ye tanımlanan ƒ fonksiyonu, A daki her öğ-
renciyi B de seçtiği kulübe eşlesin. ƒ fonksiyonunu liste yöntemi ve şema ile gösterelim. Bu fonksiyonun değer kümesinde eşlenmeyen eleman
var mıdır? ƒ (A) ≠ B midir? İnceleyelim.
Murat,A Rh+
_ i, Nevin,BRh+
_ i, Eda,AB Rh+
_ i, ,0 Rh+
_ i, Cem,BRh+
# _ ifonksiyonu için değer kümesinde eşlenmeyen eleman kalmıyorsa yani ƒ (A) = B
ise ƒ fonksiyonuna, örten fonksiyon deriz. Bu durumda ƒ örten fonksiyon ise
∀ y ∈ B için ƒ (x) = y olacak şekilde en az bir x ∈ A vardır.
ƒ:A" B
A dan B ye tanımlanan bir ƒ fonksiyonu, hem bire bir hem de örten fonksiyon ise
ƒ fonksiyonuna bire bir ve örten fonksiyon denir.
A B
ƒ
Adı Kulüp
Sinan Spor Cihan
Ece Tiyatro
– Resim
Mert Kütüphane
Burak Müzik Kemal
Murat • • A Rh+
• B Rh+
• AB Rh+
• 0 Rh+
Nevin •
Eda •
Seçil •
Seçil
Cem •
A
1 •
2 •
3 •
4 •
5 •
• a
• b
• c
• d
• e
ƒ
B
C
1 •
3 •
5 •
7 •
• 2
• 4
• 6
• 8
g
D
Örnek :93
ƒ = {(Sinan, spor) , (Cihan, spor) , (Ece, tiyatro) , (Mert, kütüphane) , (Burak, müzik) , (Kemal, müzik)}
Yandaki şemaya göre ƒ fonksiyonunun
değer kümesinde eşlenmeyen eleman
vardır.
O hâlde ƒ(A) ≠ B dir.
Örnek : Aşağıda verilen fonksiyonların içine fonksiyon olup olmadığını inceleyelim.
Çözüm :
a. ƒ : A→ B fonksiyonu içine fonksiyondur. Çünkü B kümesinde eşlenmeyen eleman kalmıştır.
b. g : C → D fonksiyonu içine fonksiyon değildir. Çünkü B kümesinde eşlenmeyen eleman kalmamıştır.
4. Özdeşlik ( Birim ) Fonksiyon
Örnek : Ticari amacı olan bir kuruluş, aldığı her malı 2 katına satarak kâr elde ediyor. Bu durum
şeklinde modellenebilir. Kâr amacı olmayan bir vakıf ise aldığı her malı kâr elde
etmeden satıyor. Bu durum ise x → g(x) = x şeklinde modellenebilir.
Buna göre 5 TL ye alınan bir malın, ticari kuruluşta ve vakıf kuruluşunda ne kadara satılacağını bulalım.
x" ƒ] g x =2x
ƒ : A→B fonksiyonu için, değer kümesinde eşlenmeyen en az bir eleman kalıyorsa yani ƒ(A)
≠ B ise ƒ fonksiyonuna, içine fonksiyon denir.
A dan B ye tanımlanan bir ƒ fonksiyonu, hem bire bir hem de içine fonksiyon ise ƒ fonksiyonuna bire bir ve içine fonksiyon denir.
C
2 •
3 •
5 •
7 •
11 •
• a
• b
• c
• d
• e
g
A
D
a •
b •
c •
d •
• 5
• 6
• 7
• 8
ƒ
B
A
Sinan •
Cihan •
Ece •
Mert •
Burak •
Kemal •
• Spor
• Tiyatro
• Resim
• Kütüphane
• Müzik
ƒ
B94
Çözüm :
olarak bulunur.
Buradan görülebilir ki ƒ fonksiyonundaki her eleman kendisinin iki katına eşlenir. g fonksiyonunda
ise her eleman tekrar kendisine eşlenir.
Örnek : fonksiyonunun grafiğini ve şemasını çizerek
fonksiyon türünü belirleyelim.
Çözüm :
ƒ birim fonksiyondur, aynı
zamanda bire bir ve örtendir.
Örnek : fonksiyonunun birim fonksiyon olabilmesi için a ve b ne
olmalıdır? Bulalım.
Çözüm :Birim fonksiyonun ƒ(x) = x şeklinde olduğunu biliyoruz . O hâlde fonksiyonunda x in kat sayısı 1, sabit terim ise 0 olmalıdır. Bu durumda,
olmalıdır.
5. Sabit Fonksiyon
Örnek : Aşağıda girdileri x ile, fonksiyonu ƒ ile ve çıktıları da y ile gösteren bir fonksiyon makinesi veriliyor.
ƒ fonksiyonunu liste yöntemi ile gösterelim. Tüm girdilerden elde edilen çıktılar aynı mıdır? İnceleyelim.
a-2 =1 &a =3 ve b+3 = 0&b =-3
ƒ] g x =] g a -2 x+b+3
ƒ:Z "Z , ƒ] g x =] g a -2 x+b+3
ƒ] g x =x & ƒ] g -1 =-1 , ƒ] g 0 =0 , ƒ] g 1 =1 ve ƒ] g 2 =2 dir.
A= -" , 1,0,1,2 ve ƒ:A" A , ƒ] g x = x
ƒ] g x =2x &ƒ] g 5 = 2$
5 = 10 ve g x] g = x &g 5] g =5
ƒ : A→A fonksiyonunda, ƒ fonksiyonu A kümesindeki her elemanı tekrar kendisine eşliyorsa ƒ fonksiyonuna özdeşlik fonksiyon ya da birim fonksiyon denir. Kısaca
fonksiyonu birim fonksiyondur. Birim fonksiyon bire bir ve örten bir fonksiyondur.
I:A" A , I] g x =x
ƒ
A
–1 •
0 •
1 •
2 •
• –1
• 0
• 1
• 2
A
2
1
0
–1
1
–1
2
A
A
Girdi
x=1
ƒ
y=3
Girdi
x=2
ƒ
y=3
Girdi
x=3
ƒ
y=3
Girdi
x=4
ƒ
y=3
Girdi
x=5
ƒ
y=3
ƒÇözüm :
olduğundan tüm girdilerin çıktıları
aynıdır.
Örnek : Aşağıda verilen fonksiyonların türlerini belirleyelim.
Çözüm :
a. ƒ : A→ B ye sabit fonksiyon ve içinedir.
b. g : C →D ye sabit fonksiyon ve örtendir.
Örnek : fonksiyonunun sabit fonksiyon olabilmesi için a
ve b ne olmalıdır? Bulalım.
Çözüm : fonksiyonunun sabit fonksiyon olabilmesi için x2
ve x in kat sayılarının 0 olması gerekir.
Bu durumda,
olmalıdır.
Örnek : fonksiyonunun birim fonksiyon olması için k ve m
değerlerini bulalım.
Çözüm : ƒ fonksiyonunun birim fonksiyon olması için
olmalıdır. 3
k-1
= 0& k-1 =0 &k = 1, 3m-1 = 1& 3m = 2& m = 3
2
ƒ:R " R , ƒ] g x =
3
k-1
c mx
2
+] g 3m-1 x
] g a-3 = 0& a =3 ve a+b = 0& 3+b =0 &b =-3
ƒ] g x =] g a-3 x
2
-] g a +b x+5
ƒ:R " R , ƒ] g x =] g a-3 x
2
-] g a +b x+5
ƒ] g 1 = 3 , ƒ] g 2 =3 , ƒ] g 3 =3 , ƒ] g 4 = 3 ve ,ƒ] g 5 =3
ƒ= " , ^ h 1,3 , 2,3 ^ h , 3,3 ^ h , 4,3 ^ h, 5,3 ^ h
95
ƒ : A→ B fonksiyonu için A kümesindeki bütün elemanlar, B kümesindeki yalnız bir eleman
ile eşleniyorsa ƒ fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.
∀ x ∈ A için, ise ƒ x ƒ fonksiyonu sabit fonksiyondur. ] g =c c] g ! B
A
1 •
2 •
3 •
4 •
D
• 1
• a
• b
• c
ƒ
B
a •
b •
c •
g
C
k – 1
3
k – 1
3 3
296
6. Doğrusal Fonksiyon
Örnek : fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm :
y = 2x – 4 doğrusundan geçen iki nokta belirleyelim.
ƒ fonksiyonu
noktalarından geçen bir doğruyu ifade
eder.
Örnek : ƒ doğrusal fonksiyon, ün değerini bulalım.
Çözüm :
ƒ, doğrusal fonksiyon ise ƒ(x) = ax + b şeklindedir.
bulunur.
O hâlde f doğrusal fonksiyonu,
şeklindedir. Buna göre
ƒ] g 100 =-4$
100 +7 =-393 tür.
ƒ] g x =ax+b &ƒ] g x =-4x+7
a =-4 &-4 +b =3 &b =7
ƒ] g 1
ƒ] g 3
=
=
3
-5
&
&
ƒ] g 1
ƒ] g 3
=
=
a+b
3a +b
=
=
3
-5
&
-a -b =-3
3a+b =-5
2a =-8
a =-4
ƒ] g 1 = 3 ve ƒ] g 3 =-5 ise ƒ] g 100
^ h 0, -4 ve 2,0 ^ h
x= 0& y =2 $
0-4& y =-4
y= 0& 0 = 2$
x-4& x =2
ƒ:R " R , ƒ] g x = y= 2x-4
ƒ: R → R bir fonksiyon olsun. a, b ∈ R olmak üzere ƒ(x) = ax + b biçimindeki
fonksiyonlar doğrusal fonksiyonlardır.
2
3
4
y
x
1
1 2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-4 -3 -2
3 4
tür.
ƒ
+97
Örnek :
Yanda grafiği verilen ve ƒ:R → R tanımlanan fonksiyon bire bir midir? Bulalım.
Çözüm :
x eksenine çizilen paralel doğrular,
fonksiyonun grafiğini birden fazla noktada
kesmektedir. Tanım kümesindeki a, b ve c
noktalarının görüntüleri d noktasıdır. Bu
durumda ƒ bire bir olmaz.
Örnek : Aşağıda grafiği verilen ve ƒ: R → R , g:R → R tanımlı fonksiyonların bire bir olup olmadığını
inceleyelim.
Çözüm :
Yatay Doğru Testi
1. Grafiği verilen bir fonksiyonun bire bir olup olmadığını x eksenine çizdiğimiz paralel doğ-
rular, yardımıyla anlayabiliriz. x eksenine çizdiğimiz paralel doğrular, grafiği bir tek noktada
kesiyorsa değer kümesindeki bir eleman tanım kümesinden sadece 1 elemanla eşleşiyor
demektir ve bu durumda fonksiyon bire birdir, birden fazla noktada kesiyorsa tanım kümesindeki birden fazla eleman değer kümesinden aynı elemanla eşleştiğinden fonksiyon bire
bir değildir. Buna yatay doğru testi denir.
2. Sabit fonksiyonun grafiği x eksenine paralel bir doğrudur.
y
0
x
y=ƒ(x)
ƒ(x)
y
a.
a. b.
b.
x
y
x
g(x)
y
x c
a b
d
y=ƒ(x)
y
x
y
x
g(x)
x eksenine çizilen paralel doğrular, eğriyi
en fazla bir noktada kestiğinden fonksiyon bire birdir.
x eksenine çizilen paralel doğrular, fonksiyonun grafiğini birden fazla noktada kesti-
ğinden fonksiyon bire bir değildir.
0
0 0
0
0
ƒ(x)98
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıda tanımlanan bağıntılardan hangilerinin fonksiyon olduğunu bulunuz.
ç. t: Z → Z
x → t(x) = – x
2. bağıntısının bir fonksiyon belirtmesi için tanım kümesinden hangi eleman
çıkarılmalıdır?
3. ƒ:R – {0} → R , ƒ(x) = ve g: R → R , g(x) = fonksiyonları tanımlanıyor.
değerini hesaplayınız.
4. ƒ: R → R , ƒ(x) = fonksiyonu için ƒ(2) = 6 ise a sayısını bulunuz.
5. ƒ,g: R → R , ƒ(x) = 5x – 7 ve g(x) = 3x + 2 fonksiyonları veriliyor. olduğuna göre
m sayısını bulunuz.
6. Aşağıda grafikleri verilen bağıntılardan hangileri fonksiyondur? Bulunuz.
a. b. c. ç. d.
7. Yanda grafiği verilen fonksiyonun
hangi x değerleri için ƒ(x) vardır.
8. Aşağıda grafikleri verilen bağıntılardan fonksiyon olanı belirleyip tanım ve görüntü kümelerini yazı-
nız.
ƒ] g 2m =g m] g
3
4x-a
ƒ] g 4 $
g 1] g
4$
ƒ] g 2 -9$
g 3] g
3
x
x
2
3x-4
ƒ:R " R , ƒ] g x = x-5
x
2
-3
a. ƒ:N " N b. g:Q " Z c. h:Z " Q
x " ƒ] g x = 3x-5 x " g x] g=7x +2 x" h x] g=] g x+2
2
–2
0 0 3 0 0 0
x
–5
B
A
a b
1
2
3
4
cde
–1 –4 x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
y
B
A
1 2
a
b
c
d
345
O
β1
β2
x – 3 2
x
3x – 4
4 . ƒ(2) –9 . g(3)
ƒ(4) . g(1)
2
x – 5
x
3
3
4x – a99
İŞLEM
Depremler insanların çok zarar gördüğü doğal afetlerdendir. Depremde en çok hasar gören binalar depreme dayanıklı yapılmamış binalardır. Bir binanın depreme dayanıklılığı daha çok, kullanılan betonun kalitesine bağlıdır. Beton elde etmek için %10 çimento, %30
kum, %40 çakıl ve %20 oranında su kullanılır.
Depremde binaların yıkılmasının sebebi aynı malzemelerin farklı
oranda kullanılması mıdır?
Olması gerekenin dışında farklı oranlarda çimento, kum, çakıl ve
su kullanılarak elde edilen betonun kalitesi hakkında ne söyleyebilirsiniz?
1 kg çimento ile kaç kg kum, çakıl ve su kullanılarak beton elde
edilebilir?
İşlem
Aşağıda sembolleri ile verilen eşitlikleri inceleyiniz.
Yukarıda ve sembollerinin ifade ettiği kuralları bulunuz.
işlemi için bulduğunuz kuralı a b şeklinde ifade ediniz.
işlemi için bulduğunuz kuralı a b şeklinde ifade ediniz.
a b şeklinde ifade edilen kurala göre gibi herhangi bir işlemin sonucu da bulunabilir mi? Arkadaşlarınızla tartışınız.
Örnek : Z tam sayılar kümesi olmak üzere fonksiyonunu göz önü-
ne alalım. Buna göre;
değerlerini hesaplayalım.
Çözüm :
fonksiyonu için her bir ( x,y ) sıralı ikilisine farklı bir x . y + x + 1 tam sayısı karşı-
lık gelir. Buna göre;
olarak bulunur.
a bc ., ., . , ƒ ƒƒ 12 1 2 1 1 4 03 0 3 0 1 1 22 2 2 2 1 5 = + + = = + + = - =- - + =- $$ $ ^ ^^ hh h
ƒ^ h xy x y x 1 , = ++ $
abc ., ., . , ƒƒƒ ^^^ 12 03 22 hh h -
ƒ:ZxZ Z x y x y x 1 " , , ƒ = ++ $
^ h
_ 5 2 _
9 9
_ _
_ 9
1 2
4 5
6 7
8 9
5 3
6 2
1 5
22
34
95
4
2
20
56
72
_
_
_
_
9
9
9
=
=
=
=
=
=
=
= -
10 5 9
_ ve 9
A boş olmayan bir küme olsun. A x A nın bir ƒ alt kümesinden A ya tanımlanan her fonksiyona A da bir ikili işlem (veya işlem) denir.
İşlem tanımlanırken gibi semboller kullanılır.
AxA dan A ya bir işlemi tanımlandığında her (x,y) ∈A x A sıralı ikilisi bir tek z ∈ A ile eşlenecektir. Bu biçiminde gösterilir “ x işlem y eşittir z ” biçiminde okunur.
^ ^ xy xy x y z , , h h " ƒ = = 9
9
945 ,,,_
100
Örnek : Tam sayılar kümesi üzerinde Δ işlemi şeklinde tanımlanıyor. Buna göre aşağı-
daki işlemlerin sonucunu bulalım.
Çözüm : işlemi, ikilinin birinci bileşeninin karesi ile ikinci bileşeninin karesinin toplamının 3 eksiği şeklinde tanımlanmıştır. Buna göre;
Örnek : A = {1, 2, 3} kümesi verilsin. “ ” işlemi A x A nın her bir ikilisini ikilinin ikinci terimiyle eşleştiren fonksiyon biçiminde tanımlanıyor. “ ” işlemini tablo ile gösterelim.
Çözüm : tür.
O hâlde tanımlanan işleme göre
Tablo yandaki gibi olur.
Örnek : ZxZ →Q ya tanımlı ve işlemleri şeklinde tanımlanıyor. Tanımlanan işlemlere göre;
işleminin sonucunu bulalım.
ise a sayısını bulalım.
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm :
a. ,
b.
c. dir. 1 3 2 2 3 1 2 2 20 2 20 1 1 t t 9 99 12 22 = - - = =+ -= $
] g ] g
^ h ^ h
,
a a
a a
1 2 1 21 1 1 2
13 4
2 2
&
& &
9 = - + - =- - t
+ =- =-
$
] ] g g
2 21 2 2 21 1 2 3 3 2 9 4 5 tt t 9
2 2 = + - = = - =-= $
] ] g g
c 3 22 . ]
1t t g
9] g
ba 1 2 1 . 9 = - t] g
a2 2 1 . t] g 9
x y y x ve x y x y2 1 t 9 t = - =+ - x 2 9
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
, ,
, . t r u
11 1
21 1
31 1
12 2
22 2
32 2
13 3
23 3
33 3
"
"
"
"
"
"
"
"
"
^
^
^
^
^
^
^
^
^
h
h
h
h
h
h
h
h
h
AxA 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 = " , ^^^^^^^^^ ,,,,,,,,,,,,,,,,, hhhhhhhhh
_
_
. ,. ,
. , .1 2
a b
c
01 0 1 3 2 22 2 2 3 5
1 5 1 5 3 23 1 2 3 2
22 22
2 2 2 2
9 9
9 9
= + - =- = + - =
= + - = - - =- +- - = ]]] ] ggg g
xy x x 3 9
2 2 =+-
ab c .0 1 .2 2 .1 5 . 999 9 c ] ] - - 1 2 g g
xy x y 3 9 2 2 =+-
_ 1 2 3
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
Sonlu kümede tanımlanan bir işlem, işlem tablosu ile gösterilir. Tabloya gö-
re bir ikili işlemin değeri, satır ve sütunun kesiştiği yerdeki elemandır.
Satır
Sütun
ü
ç
ç olarak bulunur.101
İşlemin Özellikleri
1. Kapalılık Özelliği
Örnek : tek doğal sayıları kümesinde tanımlı “ ” işlemi, ∀ (a,b) ∈ A için
biçiminde veriliyor. A x A dan alınan bütün ikililerin “ ” işlemine göre alacağı değerin yine A kümesinde olup olmayacağını inceleyelim.
Çözüm : işlemi ikilinin birinci ve ikinci bileşenlerinin çarpımının 2 fazlası olarak tanımlanmıştır. Bu bileşenler tek sayı olduğundan, bileşenlerin çarpımının iki fazlası yine bir tek sayı olup sonuç daima A kü-
mesine aittir.
Yukarıdaki işlemi B⊂A olan B = {1,3,5} kümesi üzerinde tanımlasak 3 5 = 3 . 5 + 2 = 17 ∉ B olur
ki bu durumda işlemi B kümesi üzerinde kapalı değildir.
Örnek : A = {–1, 0, 1} kümesi üzerinde işlemi tanımlanıyor. A kümesinin işlemine göre kapalı olup olmadığını bulalım.
Çözüm : A kümesi üzerinde tanımlanan “ ” işlemine göre
olduğundan A kümesi işlemine göre kapalı değildir.
2. Değişme Özelliği
Örnek : Tam sayılar kümesi üzerinde işlemi tanımlanıyor. işlemlerinden elde edilecek değerler aynı mıdır? İnceleyelim.
Çözüm :
Bunu sayısal değerler üzerinde gösterelim.
Örnek : ZxZ → Q ya tanımlı işlemi şeklinde tanımlanıyor. işleminin değişme özelliğinin olup olmadığını belirleyelim.
Çözüm : Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan “ ” işlemine göre
23 2 8 32 3 9 9 9 == ==
3 2 ve olduğundan “ ” işleminin değişme özelliği yoktur. 9
9
9 xy x 9 =
y
9
12 1 2 12 5 21 2 1 21 5 12 21 4 4 44 =++ = =++ = = $ $ , . olup dir
x y xyxy
yxyx y x
4
4
=
=
+ +
++ =
$
$
olur.
xy x y xy 4 =++ $ x y ve y x 4 4
1 1 11 2 t =+= g A t
t
x y xy t = + t
9
9
9
ab ab 2 9 = + $
9
A 13579 = " , , , , , ,... 9
A kümesi üzerinde tanımlanan bir işlem “ ” olmak üzere her x,y ∈ A için ise
A kümesinin “ ” işlemine göre kapalılık özelliği vardır. 9
9 xy A 9 !
A kümesi üzerinde tanımlanan bir işlem “ ” olmak üzere her x, y ∈ A için
ise “ ” işleminin değişme özelliği vardır. 9
9 xy yx 9 9 =102
Örnek : A = {a,b,c,d,e} kümesi üzerinde tanımlanan “ ” işlemi,
yandaki tablo ile veriliyor. “ ” işleminin değişme özelliğinin olup
olmadığını bulalım.
Çözüm : Tablodan,
olduğu görülür. Buna göre “ ” işleminin değişme özelliği vardır.
3. Birleşme Özelliği
Örnek : Tam sayılar kümesi üzerinde işlemi tanımlanıyor.
işlemlerinden elde edilecek değerler aynı mıdır? İnceleyelim.
Çözüm :
Örnek : Tam sayılar kümesi üzerinde işleminin birleşme özelliğinin olup olmadığını belirleyelim.
Çözüm : Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan “ ” işlemine göre
değerlerini karşılaştıralım.
olduğundan “ ” işleminin birleşme özelliği yoktur. _
13 2
1 32
13 3 2
1 32 2
6 2
1 8
62 2
18 8
14
16
_ _
_ _
_
_
_
_
=
=
+
+
=
=
=
=
+
+
=
=
$
$
$
$
]
]
]
]
g
g
g
g
_ ] ] 13 2 1 32 __ __ g g ve
xy xy y _ = + $
x y z x y z dir 99 99 ^ ^ h h = .
x yz
xy z
x yz
xy z
xyz
xy z
xyz
xyz
2
2
2 2
2 2
4
4
9 9
9 9
9
9
=
=
+ +
+ +
=
=
++++
++++
=
=
+++
+++
^
^
^
^
h
h
h
h
x y z ve x y z 99 99 ^ ^ h h
xy x y 2 9 =++
5
,
,
,
,
,
a b
a d
b c
b e
c e
b a
d a
c b
e b
e c
b
d
d
a
b
a c
a e
b d
c d
d e
c a
e a
d b
d c
e d
c
e
e
a
c
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5 5 a b c d e
a a b c d e
b b c d e a
c c d e a b
d d e a b c
e e a b c d
İşlem tablosu üzerinde, her elemanın köşegene göre simetriği varsa verilen işlemin de-
ğişme özelliği vardır.
A kümesi üzerinde tanımlanan bir işlem “ ” olmak üzere, her x, y, z ∈ A için
x yz xy z 99 99 ^ ^ h h = ise “ ” işleminin birleşme özelliği vardır. 9
9
5 a b c d e
a a b c d e
b b c d e a
c c d e a b
d d e a b c
e e a b c d
köşegen
olup103
4. Dağılma Özelliği
Örnek : Tam sayılar kümesi üzerinde işlemleri tanımlanıyor.
işlemlerinden elde edilecek değerler aynı mıdır? İnceleyelim.
Çözüm :
işlemlerinden elde edilen değerler aynı değildir.
Buna göre yukarıdaki “ ” işleminin “ ” işlemi üzerine dağılma özelliği yoktur.
Örnek : Z de “ ” ve “ ” işlemi biçiminde tanımlanıyor. “ ” işleminin
“ ” işlemi üzerine dağılma özelliği olup olmadığını bulalım.
Çözüm :
olup olduğundan “ ” işleminin “ ” işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
5. Etkisiz ( Birim ) Eleman
Örnek : kümesi üzerinde tanımlanan “ ” işlemi yandaki tablo
ile veriliyor. Buna göre işlemlerindeki ortak özelliği inceleyelim.
Çözüm :
Görüldüğü gibi c elemanı işleme girdiği elemana hiç etki etmemiştir, c elemanının a ile işlemi a, b ile
işlemi b, d ile işlemi d, e ile işlemi e sonucunu vermiştir.
Örnek : Gerçek sayılar kümesi üzerinde “ + ” ve “ .” işlemlerinin etkisiz elemanlarını bulalım.
Çözüm :
∀ x ∈ R için x + 0 = 0 + x = x olduğundan “ + ” işleminin etkisiz elemanı 0 dır.
∀ x ∈ R için x . 1 = 1 . x = 1 olduğundan “ . ” işleminin etkisiz elemanı 1 dir.
,
,
,
.
ac ca a
dc cd d
bc cb b
e c c e e olarak bulunur
_ _
_ _
_ _
_ _
= =
= =
= =
= =
a cc ab cc bd cc de cc e ________ ,,,,,,,
A abcde = " , ,,,, _
a bc ab ac 9 99 ]]] _ _ g gg = 9 _
a bc a b c a b c ab ac
ab ac ab ac ab ac
_
_ _
9 9
9 9
=+ + +
+
= =
= =
$ $$
$ $ $$
]]]
]] ]]
g gg
gg gg
_
_ 9 a b a b ve a b a b _ =+ = 9 $
9
9 4
x y z ve x y y z 94 949 ^ ^^ h hh
x y z x y z x y z xy xz
x y x z x y x z x y x z xy xz
xy xz
2 2 12 1
1 1 2 1 12 2 1
2 3
94 9
949 4
= + = + += + +
= + + = + + += ++ +
= ++
$
$ $ $$
^^ ^
^ ]
^ ]
^
h hh
h g
h g
h
x y z ve x y x z 94 949 ^ ^ h h ] g
^ h x y x y ve x y x y 9 4 = + =+ $
1 2
A kümesi üzerinde “ ” ve “ ” işlemleri tanımlanıyor. Her x,y,z ∈ A için
ise “ ” işleminin “ ” işlemi üzerine dağılma
özelliği vardır.
x yz xy xz 94 949 ^ ^ h h = ] g
9 4
9 4
_ a b c d e
a d e a b c
b e a b c d
c a b c d e
d b c d e a
e c d e a b
A kümesi üzerinde tanımlanan bir işlem “ ” olmak üzere, her x ∈ A için
koşulunu gerçekleyen bir e ∈ A varsa e “ ” işleminin birim
elemanıdır.
xe ex x 9 9 = = 9
9
olup104
Örnek : Tam sayılar kümesinde, şeklinde tanımlanan “ ” işleminin etkisiz elemanını
bulalım.
Çözüm : Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan “ ” işleminde;
olduğundan, bu işlemin değişme özelliği vardır.
bulunur.
Örnek : Tam sayılar kümesi üzerinde, de tanımlanan “ ” işleminin etkisiz elemanını
bulalım.
Çözüm : “ ” işleminin değişme özelliği vardır.
Örnek : Sayma sayılar kümesi üzerinde, şeklinde tanımlanan “ ” işleminin varsa etkisiz elemanını bulalım.
Çözüm :
bulunur. Sabit bir e sayısı bulamadığımızdan sayma sayılar kümesi üzerinde, “ ” işleminin birim elemanı yoktur.
Örnek : A = {1,2,3,4,5} kümesi üzerinde tanımlanan “ ” işlemi yandaki tablo ile
veriliyor. “ ” işleminin “birim” elemanını bulalım.
Çözüm :
1.yol:
olduğundan “ ” işleminin birim
elemanı 5 tir.
2.yol:
Tablodan yararlanarak birim elemanı bulmak için işlemin tanımlı olduğu kümenin elemanlarının sı-
ralandığı satır ve sütun bulunarak kesiştirilir. Kesişim elemanı birim elemandır. Bu durumda yandaki iş-
lem tablosundan birim elemanın 5 olduğu görülebilir.
6. Ters Eleman
Örnek : A = {a,b,c,d,e} kümesi üzerinde tanımlanan “ ” işlemi yandaki tablo ile
veriliyor. Buna göre işlemlerindeki ortak özelliği inceleyelim.
a bb ac ee c 9999 ,,,
9
15 125 2 35 3 45 4 4444 == = = ,,, 4
4
4
_
xe x x e x e x e x _ = + = =- =- & && 54 4 4
xy x y _ = + 5 4 _
x e x x e x e e bulunur 9 = +-= -= = & && 7 70 7 .
9
xy x y 7 9 =+- 9
xe x x e x e e _ = +-= -= = & && 5 50 5
xy x y y x yx _ _ =+-=+-= 5 5
_
xy x y 5 _ =+- _
4 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 1
2 3 4 5 1 2
3 4 5 1 2 3
4 5 1 2 3 4
5 1 2 3 4 5
9 a b c d e
a c d e a b
b d e a b c
c e a b c d
d a b c d e
e b c d e a
Bir işlemde birim eleman varsa tektir.105
Çözüm :
Bu işlemlerin hepsinin sonucu d dir. İşlem tablosu üzerinde de görüldüğü gibi “ ” işleminin etkisiz
elemanı d dir.
Örnek : Gerçek sayılar kümesi üzerinde, şeklinde tanımlanan “ ” işlemi için
2 nin tersini bulalım.
Çözüm :
“ ” işlemi değişmelidir. Önce “ ” işleminin birim elemanını bulalım.
Şimdi “ ” işlemine göre 2 nin tersini bulalım. 2–1 = y olsun.
Örnek : A = {a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlanan “ ” işlemi yandaki tablo ile veriliyor. “ ” işlemine göre A kümesindeki elemanların tersini bulalım.
Çözüm :
“ ” işleminin birim elemanı b dir. a, b, c ve d
elemanlarının tersi;
a c = b olduğundan a–1 = c,
b b = b olduğundan b–1 = b,
c a = b olduğundan c–1 = a,
d d = b olduğundan d–1 9 = d şeklinde bulunur.
9
9
9
9
9
9
.
e y
y
y y
y bulunur
22 2 1
13 1
42 52 5 5 1
13
1
6
6
1
&
&
&
&
_ _ = =-
=-
+ + + =-
=-
-
$ $
_
.
x e x xe x e x
xe e x
ex x
e dir
4 555
4 5 45
45 45
1
&
&
&
&
_ = + + +=
+ =- -
+ =- +
=-
] ] g g
_ _
x y xy x y _ = +++ 4 555 _
9
a b d b a d c e d e c d dir 9999 ==== ,,, .
A kümesi üzerinde tanımlanan “ ” işleminin birim elemanı e olmak üzere her x ∈ A için
koşulunu sağlayan bir y ∈ A varsa y elemanı, x in “ ” işlemine göre tersidir ve y = x –1 şeklinde gösterilir.
xy yx e 9 9 = = 9
9
9 a b c d
a d a b c
b a b c d
c b c d a
d c d a b
9 a b c d
a d a b c
b a b c d
c b c d a
d c d a b106
Örnek : Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlanan işleminde tersi olmayan elemanı bulalım.
Çözüm :
“ ” işlemi değişmelidir. Önce “ ” işleminin etkisiz elemanını bulalım.
dır.
Şimdi, işlemine göre tersini bulalım. a–1 = b olsun.
Paydayı sıfır yapan değeri bulalım.
için payda sıfır olacağından, b tanımsız olur. Bu yüzden ün işlemine göre tersi
yoktur.
Örnek : Yanda tanımlanan işlemi için nin değerini hesaplayalım.
Çözüm :
işleminin etkisiz elemanı 4 olup
olarak bulunur.
12 2 3 2 12 3 1 1 1 1 1 1
99 9 9 1 1
= = ==
- - - - - - -
6
] g @ 6 @ 5 ?
9
12 2 1 1 1
9 9- - -
9 6 @ ] g
" " 4 3
1
a -
1
3
=-
3 10 a a dir.
3
1
+ = =- &
& .
a b ab a b
ba a b
a
a
bulunur
0 0
1
1
3
3
3
&
4 = ++=
+ =- =-
+
&
] g
a R nin ! " " 4
x e x xe x e x xe e
ex e x
e
3 30
310 3 1
0
0
& &
& &
4 = ++= +=
+= = +
& ] g =
4 4
x y xy x y 4 = ++ 3
İşlem tablosundan, hangi elemanın tersi bulunacaksa önce o satırdaki etkisiz eleman
bulunur. Etkisiz elemanın bulunduğu sütunun başındaki eleman, istenilen elemanın tersidir.
Ayrıca bir x elemanının tersi y ise y elemanının tersi de x tir.
Bir işlemde, bir elemanın tersi varsa bu ters eleman bir tanedir.
9 1 2 3 4
1 2 3 4 1
2 3 4 1 2
3 4 1 2 3
4 1 2 3 4107
Örnek : R de tanımlanan işleminin birim elemanını bulup “ ” işlemine göre
2 ve – 6 sayılarının terslerini bulalım.
Çözüm :
işleminin değişme özelliği vardır. O hâlde ifadesinden,
2 nin tersi m olsun. Bu durumda, olmalıdır.
–6 nın tersi n olsun. Bu durumda olmalıdır.
Görüldüğü gibi –6 nın tersi yine –6 dır.
Örnek : R de işlemi veriliyor. ise a sayısını bulalım.
Çözüm : İşlemin kuralına göre
bulunur.
7. Yutan Eleman
Örnek : Gerçek sayılar kümesinde “.” işleminin yutan elemanını bulalım.
Çözüm : ∀ a ∈ R için a . 0 = 0 . a = 0 olduğundan gerçek sayılar kümesi üzerinde “.” işleminin yutan
elemanı sıfırdır.
Örnek : Gerçek sayılar kümesinde “ ” işlemi biçiminde tanımlanıyor. “ ” işleminin yutan elemanını bulalım.
Çözüm : x y = x + y + 7xy = y + x + 7yx = y x olduğundan “ ” işleminin değişme özelliği vardır. Bu
yüzden x y = y = y x eşitliğinin sadece bir tarafıyla işlem yapabiliriz.
Buna göre yutan elemandır.
17 0 y y 7
1
x y y x y xy y x y olur _ = ++ = + = & & 7 0.
$ ^ h 1 7 + = =- &
_ _
_ _ _
_ x y x y xy _ =++7 _
a a aa a
5
2
5
1 1
8
2
5
11 1
20
1
& && 20 9
=+ =+ = =
5 8 9a =
x y x y
2 11
9
= +
n n .
n
6 6 644 n olur 2
6
- =- - + + _ & & 24 6 6 - ] ] g g$
+ =- =-
] ] - = - = =- 6 66 g g _ _ nn e
m m .
m 2 6 42 4 m m olur 2
2
24 6 5 38 5
38 _ =- + + + =- =- =- & && $
2 26 _ _ mm e = = =-
.
xe x x e xe x e x
x
e
x
x
olur
4 4 2
24 2
8
3 24
8
2 3 24 6
& &
&
_ = ++ += + =- -
= +
- - $
=-
b
]
l
g
_ xe x _ =
xy x y
xy
yx y x
yx
4 4 2
24
4 4 2
24
_
_
=++ +
=++ +
xy x y _
xy 4 4 2
_ =++ +24
Etkisiz elemanın tersi kendisidir.
A kümesi üzerinde tanımlanan bir işlem “ ” olmak üzere her x ∈ A için
koşulunu gerçekleyen bir y ∈ A varsa y, “ ” işleminin yutan elamanıdır. 9
9 xy yx y 9 9 = =108
ALIŞTIRMALAR
1. Gerçek sayılar kümesi üzerinde, işlemi tanımlanıyor. işleminin
sonucunu bulunuz.
2. Gerçek sayılar kümesinde tanımlanan aşağıdaki işlemlerden hangilerinin değişme özellikleri vardır?
3. A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinde yanda tablosu verilen “ ” işlemi tanımlanıyor. Buna göre;
a. “ ” işleminin birim elemanı kaçtır?
b. c.
ç. d.
4. R de, işlemleri tanımlanıyor. Bu işlemlere göre
ise x kaçtır?
5. R de “ ” işlemi biçiminde tanımlanıyor. “ ” işleminin birim elemanı kaçtır?
6. R de tanımlanan, işleminin;
a. Birim elemanını, b. 2 nin tersini bulunuz.
7. R de tanımlanan, işlemine göre hangi sayının tersi yoktur?
8. Aşağıdaki kümelerin “ . ” (çarpma) işlemine göre kapalı olup olmadıklarını araştırınız.
9. R de işlemi veriliyor. ise x kaçtır?
10. R tanımlanan “ ” işlemi biçiminde tanımlanıyor. “ ” işleminin yutan elemanı kaçtır?
9 a b a b ab 9 =+-2 9
a b x5 7 4 = a b
1 1 4 = -
ab c . , , . , , , ,... . , , "" " 012 0246 123 , ,,
x y x y xy 4 =++ + 543 5
x y x y xy 4 =+++ 22 2
9 x y x y xy 9 =+-2 9
6 @ ]
1 2 2 3 300 _ _ g
4 4 ]
- =- g
x
,
,
a b b a ab
ab a b
ve a b a b 0
3 0
2
_
1
4
H =
-
= -
$
$
)
13 12 ? _ __ 1
=
-
0 41 ? ^ h ] g
1 1 _ _ =
- - ^ h
20 ? 1
1 1 _ _ =
- - 13 2 ? ^ h _ _1
=
-
] g
_
_
ax y x y bx y x y cx y x x .. . 2 225 4 9 _
y
=+ = + + =+
ab a b ]
21 1 3 99 9 g ]
- - g
9
b
= -
_ 0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 0
1 2 3 4 0 1
2 3 4 0 1 2
3 4 0 1 2 3
4 0 1 2 3 4109
FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
Dut pekmezi, doktorların başta kansızlık olmak üzere birçok hastalığın tedavisinde hastalarına tavsiye ettiği besinlerdendir. Daha çok doğuda üretilen ve
tüketilen bir besindir.
Dut pekmezi yapılırken belli bir miktar
dut önce “şıra”ya (dut suyu) daha sonra
belli bir işlemden geçirilerek pekmeze
dönüşür.
Yaklaşık 70 kg dut önce 50 kg şıraya
daha sonra 20 kg pekmeze dönüşür.
Dut-şıra ve şıra-pekmez bağıntılarını
kullanarak dut-pekmez arasındaki ilişkiyi
fonksiyon olarak ifade edebilir misiniz?
ƒ(dut) = şıra, g(şıra) = pekmez olarak tanımlanırsa girdisi dut, çıktısı pekmez olan fonksiyonu ƒ ve g
cinsinden yazabilir misiniz?
Fonksiyonların Bileşkesi
Aşağıda verilen fonksiyonları inceleyiniz.
m, n ve t fonksiyonlarının kuralları neler olabilir?
m ve n ile t fonksiyonu arasında nasıl bir bağıntı kurulabilir?
t fonksiyonu, m ve n nin yaptığı işi tek başına yapıyor olabilir mi? Açıklayınız.
m ve n fonksiyonlarının türlerini belirleyiniz. t fonksiyonunun varlığı, m ve n fonksiyonlarının hangi
özelliklerine bağlıdır?
A
• 1
• 2
• 3
• 10
• 30
• 20
m
B B
• 10
• 20
• 30
• 25
• 35
• 45
C A
• 1
• 2
• 3
• 25
• 45
• 35
C
n t
110
Örnek : fonksiyonları veriliyor. 1, 3, 5 sayılarının ƒ fonksiyonu altındaki görüntülerini ve bulduğumuz bu değerlerin g fonksiyonu altındaki görüntülerini bulalım.
Çözüm :
x = 1 için
x = 3 için
x = 5 için olur. Bulduğumuz bu sayıların g fonksiyonu altındaki görüntülerini
bulalım.
tır.
1, 3 ve 5 sayılarının görüntülerini sırasıyla 16, 28 ve 40 olarak veren ve tek başına ƒ ile g fonksiyonlarının yaptığı işi yapan bir fonksiyon bulalım. Bu fonksiyon k olsun.
olmalıdır.
iş-
lemine göre 1, 3, 5 sayılarını x değişkeni ile değiştirirsek;
kx g x ] ] g g = _ƒ i olur.
k gg k g g k g g ] ]] 1 16 7 1 3 28 11 3 5 40 15 5 g gg == = == = == = _ƒƒƒ i , , ] g ] g
_ ] g
i ] ]] g gg _ i
k k ve k ]
1 16 3 28 5 40 g
== = , ] ] g g
g g ve g ] ] 7 3 7 5 16 11 3 11 5 28 15 3 15 5 40 g g = -= = -= = -= $$ $ , ] g
ƒ 5 2 5 5 15 = += $
] g
ƒ 3 2 3 5 11 = += $
] g
ƒ 1 21 5 7 = += $
] g
ƒ] ] x x ve g x x g g =+ =- 25 35
A
• 7
• 11
• 15
1 •
2 •
3 •
ƒ
B
• 16
• 28
• 40
C
g
gx g x _ _ ƒ ƒ ] g
i i = & ] g
ƒ : A→ B ve g : B → C fonksiyonları verilsin. Buna göre A kümesindeki bir x
elemanını C kümesinde elemanına götüren A dan C ye tanımlı k(x)
fonksiyonuna ƒ ile g fonksiyonlarının bileşkesi denir.
kx g x A C ] g
= ^ & ƒh] g
: " şeklinde gösterilir.
g x ^ƒ] g
h
Örnek : fonksiyonları veriliyor. Buna göre;
a. ,
b. ,
c. ,
ç. ,
d. ifadelerinin eşitini bulalım. ^g x & &ƒ hh] g
^h x & ƒh] g
^h 3 & ƒh] g
^g h5 & h] g
^ƒ & g 1h] g
ƒ: ƒ : : R R x x gR R gx x hR R hx x "" " ; ,; ,; ]] ] gg g =+ = + =+ 6 31 1111
Çözüm :
a. ,
b. ,
c. ,
ç. ,
d.
Aşağıdaki şemalardan yararlanarak ƒ, g, h, hog, goƒ, (hog)oƒ ve ho(goƒ) fonksiyonlarının tanım ve
değer kümelerini inceleyiniz.
Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliği var mıdır? Açıklayınız.
Aşağıdaki tabloda boş bırakılan yerlere ƒ ve g fonksiyonlarının kurallarından yararlanarak ƒog ve
goƒ fonksiyonlarının kurallarını yazınız.
Tabloda yaptığınız işlemleri inceleyiniz. ƒ(x) = x fonksiyonu için ne söyleyebilirsiniz? Tartışınız.
.
g h x g hx g x g x g x gx ƒ ƒ ƒƒ
x x x olur
1 1 16 7
3 7 1 3 21 1 3 22
&& & & = = += + = ++= +
= + += + += +
^ ]
^ ] ]
^ ] ] ^ ]] ]
]
h g
h gg
h g gh g g g
g
^h x h x hx x x & ƒ ƒ h] ] g g = = + = + +=+ ^ h ] ] 6 61 7 g g
]
hf h h h & g] ] 3 3 3 6 9 9 1 10 g g = = + = =+= _ƒ i ] ] g g
^g h gh g g & 5 5 5 1 6 3 6 1 19 = = + = = += $ h] ] g g ] g ] ] g g
^ƒ ƒƒ & g g 1 1 3 1 1 4 4 6 10 = = + = =+= ƒ $ h] ] g g ^ h ] g ] g
Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.
A
ƒ
B
g
D h
C
^ h h g & & ƒ h g &
A
ƒ
B
g
D h
C
h g & & ^ h ƒ
g & ƒ
Örnek : ƒ, g, h fonksiyonları için bileşke işleminin birleşme özelliği var mıdır? Görelim.
Çözüm :
Birleşme özelliği olması için olmalıdır. Buna göre;
olduğundan bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
g hx
ghx
g hx
g hx
ghx
ghx
g hx
g hx
g h x ve
g hx
& &
& &
&
&
&
&
& &
& &
=
=
=
=
=
=
=
=
_^ ]
_ ^ ]
^ ] ]
_^ ]
_ ] ]
_ ] ]
_^ ]
^ ] ]
_ ^ ]
_^ ]
h
i g
h
i g
h gg
h g
i
gg
i
gg
i
h g
i
h gg
h
i g
h
i g
7 A ^ ^ ƒ ƒ && && g h gh h h =
ƒ(x) g(x) (ƒog) (x) (goƒ) (x)
x x + 1
x 2x + 3
x x – 1112
Örnek : ƒ: R → R ve g: R → R ve olmak üzere
fonksiyonları veriliyor. Buna göre
fonksiyonlarını bulalım.
Çözüm :
Örnek : fonksiyonları veriliyor. fonksiyonlarının kurallarını bulalım.
Çözüm :
Burada, tir. Çünkü, g(x) = x fonksiyonu birim fonksiyondur.
Örnek : ƒ, g, h : R → R olmak üzere
fonksiyonları veriliyor. Buna göre;
.
.
.
.
,
,
,
,
ƒ
ƒ
ƒ
a
b
c
d
h x
g hx
g x
h gx
hg x
&
&
&
&
& &
^ ]
^ ]
^ ]
^ ]
^ ]
h g
h g
h g
h g
h g
ƒ x x gx , ,
x
1 hx x 2
4
=+ = - ]] ] gg g =
^ƒ ƒƒ & & gx g x x h] g
= = ^ h] ] g g
ƒ ƒƒ
ƒ ƒ
g x gx x x
g x g x gx x
7 3
7373
&
&
= = =-
= = -= -
_ ] ] ^ ]
_ ] ] _ ]
i g gh g
i g gi g
R R x x ve g x x " ,ƒ] ] g g =- = 7 3 _ƒ ƒ & & g x ve g x i] g
_ i] g
; .
ƒ ƒƒ
ƒ ƒ
ƒ ƒ
g x gx x x
x x
g x g x gx
x x
x
g x g x tir
3
1
3
3
1
5 15 6
3 5 3
3 51
3
3 6 2
&
&
& & !
= =
- =
- -=--=-
= = -=
- - =
- = -
$
_ ] ] ^
c
e
_ ] ] _ ]
_ ]
_ ]
i g gh
m
o
i g gi g
i g
i g
_ƒ ƒ & & g x ve g x i] g
_ i] g
ƒ x x ve g x x
3 5 3
1
=- =
- ] ] g g
Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
fonksiyonu tanımlansın. Her ƒ fonksiyonu için
koşulunu sağlayan Ι fonksiyonuna, bileşke işlemine göre birim (etkisiz)
fonksiyon denir.
ƒ ƒƒ & & I I = =
ƒ: :, A B ve A A x x " " I I] g =
ç.
fonksiyonlarını bulalım.
,
dir.
,
tür.
O hâlde113
Çözüm :
Örnek : R de olduğuna göre g(x) fonksiyonunun kuralını bulalım.
Çözüm :
Örnek : R de ifadelerinin eşitlerini bulalım.
Çözüm :
Örnek : ƒ,g: R → R ve ƒ(x) = 3x – 8, g(x) = 2x + 3 fonksiyonları veriliyor. denklemini çö-
zelim.
Çözüm :
.
ƒ ƒ
ƒ
x gx
x x
x
x x olarak bulunur
g7 7
2 3 32 3 8 7
6 98 7
66 1
&
&
&
& &
& = =
+ = + -=
+-=
= =
^ ] ] ^
] ]
h g gh
g g
^ƒ & gx 7 h] g
=
.
.
ƒ ƒ
ƒ ƒƒ ƒ
g x g x g x x x x olur
g g olur
4 2 4 2 1 16 16 5
4 4 4 1 17 4 17 2 66
2
2
&
&
= = - = - += - +
= = + = = -= $
2
^ ] ] ^ ] ]
^ ] ] ^
^ ]
h g gh g g
h g gh
h g
ƒ ƒƒ x x ve g x x ise g x ve g 42 1 4 2
] ] g g = - =+ ^ & & h] g
^ h] g
.
ƒ ƒ g x x gx x gx x
gx x gx
x
olur
8 7 8 7 5 28 7
5 85 5
8 5
&
&
&
&
& = - = - -= -
=- =
-
$
$
^ ] ] ^ ]
] ]
h g gh g
g g
ƒ ƒ ]
x x ve g x x g
=- =- 52 87 ^ & h] g
. ,
.
. ,
.
. ,
.
.
. ,
.
ƒ
ƒ ƒƒ
ƒ
ƒ ƒƒ
ƒ
ƒ ƒ
ahx x x x
h x h x x x olur
bgx x
hx x
g h x ghx gx x
olur
c x x gx x
g x gx xx x olur
h x x ve g x x
h g x hgx h x x olur
dhx x gx x
ve x x
h g x h g x h g x hgx h x
h
x x olur
1
1
2
4
2
4
1
2
4
2
4
2
4
1
2
2
2
4
2
4
2
4
2
4
1
1 1 2
1 4
2
3
2
3
&
&
&
&
&& & &
= =+
= =+
=
- =
= ==
-
=+ = -
=
- =
- + = -
= =
-
= =
- =
-
= =
- = +
= = += + = + - =
- =
-
=
=
] ]
^ ] ] ] ]
] ]
^ ] ] ] ]
] ]
^ ] ] ^
b
] ]
^ ] ] ^
b
]] ]
^ ]
^ ^ ]
^ ] ] ^
b b
g g
h g gg g
g g
h g gg g
g g
h g gh
l
g g
h g gh
l
gg g
h g
h g
h h g gh
l l
olduğundan
olduğundan
olduğundan
ç. olduğundan
olduğundanÖrnek :
fonksiyonları veriliyor.
değerini bulalım.
Çözüm :
Bir Fonksiyonun Tersi
A = {1, 2, 3, 4} ve B = {2, 3, 4, 5} olmak üzere ƒ: A→ B, ƒ(x) = x + 1 olsun. Buna göre bu fonksiyonun tanım ve değer kümelerini yandaki şemada gösteriniz.
Yandaki şemada verilen g fonksiyonunu tanımlayınız.
ƒ ve g fonksiyonlarının tanım ve görüntü kümelerini yazarak karşılaştırınız.
ƒ ve g fonksiyonlarını liste yöntemi ile yazınız?
ƒ fonksiyonunun bire bir ve örten fonksiyon olup olmadığını tartışınız.
ƒ bağıntısının tersinin kuralını yazınız. Bu bağıntının da ƒ gibi fonksiyon
olup olmadığını belirleyiniz.
Sizce fonksiyon olan bir bağıntının tersinin de fonksiyon olabilmesi için
bağıntının (fonksiyonun) hangi özellikleri olmalıdır?
ƒ ve g fonksiyonlarının grafiklerini yandaki koordinat sistemine çizerek
karşılaştırınız.
Grafiği verilen bir fonksiyonun tersinin grafiği arasındaki ilişkiyi açıklayı-
nız.
Örnek : kümeleri veriliyor. fonksiyonunun
elemanlarını liste yöntemiyle yazalım. Fonksiyonlar özel bir bağıntı olduğuna göre verilen ƒ bağıntısı-
nın tersini yazalım. bağıntısı fonksiyon mudur? İnceleyelim.
Çözüm :
olduğundan ƒ fonksiyonu liste yöntemiyle biçiminde yazılır. Bu ƒ bağıntısının tersi şeklindedir.
bağıntısı B den A ya tanımlanan bir bağıntıdır. B kümesindeki her eleman A kümesinde yalnız
bir elemanla eşlendiğinden bağıntısı bir fonksiyondur. ƒ
-1
ƒ
-1
ƒ 31 52 73 94 ,,,,,,,
1
=
-
" , ^^^^ hhhh
ƒ = " , ^^^^ 13 25 37 49 ,,,,,,, hhhh
,
,
ƒ ƒ
ƒ ƒ
1 21 1 3 2 22 1 5
3 23 1 7 4 24 1 9
= += = +=
= += = +=
$ $
$ $
] ]
] ]
g g
g g
ƒ
-1
A ve B = = " " 1234 3579 ,,, ,,, , , ƒ ƒ :ABx x " , 21 ] g = +
g 5 2
5 1 3 3 1 28
5 g 5 g 5 1 g 124 3 .124 1 373
5 .
ƒ ƒƒ ƒ
ƒ ƒ
ƒ ƒ
g
g
g g olur
5
5 28 373 345
3
3
= =- - -
= = = =
&
&
& &
-= -
- - = =-
- +
- + =- + =
=
^ ] ] ^
b ] ]
^ ] ] ^
^ ]
^ ]
^ ]
h g gh
l g g
h g gh
h g
h g
h g
^ƒ & & g g h]
- + 5 5 g
^ ƒh] g
: ,
,
,
gR R gx
x
x
x x
0
2
1
2
1
2
31 2
"
1
H
-- =
-
+
! + ' 1 ] g *
: ,
,
,
ƒ ƒ RR x x x tek
x x ift
1
3 1
3
" = 2
-
+
] g *
B
B
A
A
2•
3 •
4 •
5 •
•1
•2
•3
•4
g
ƒ
114
ç
1
1
2
3
4
5
y
y = x
x
2 3 4 5Örnek : R de ƒ(x) = 3x + 1 fonksiyonunun tersini bulalım.
Çözüm :
Örnek : kümeleri üzerinde fonksiyonu veriliyor. fonksiyonlarını şema üzerinde göstererek değerleri inceleyelim.
Çözüm : olduğundan dır. Buna göre fonksiyonlarının şemaları aşağıdaki gibidir.
Yandaki şemadan;
olduğu görülmektedir.
Örnek : , olmak üzere ƒ:A→B, fonksiyonu tanımlanıyor.
fonksiyonlarının elemanlarını yazalım.
Çözüm : olduğundan
A kümesinin elemanları için de fonksiyonunun elemanları yine ƒ ƒ I(B) olacaktır. 1
&
-
,
,
,
.
ƒ ƒƒ
ƒ ƒƒ
ƒ ƒƒ
ƒ ƒƒ
ƒ ƒ
ƒ ƒ
ƒ ƒ
ƒ ƒ
I
I
I
I dur
2 2 42 2
4 4 84 4
6 6 12 6 6
8 8 16 8 8
1 1
1 1
1 1
1 1
&
&
&
&
= = ==
= = ==
= = ==
= = ==
- -
- -
- -
- -
^ ] ] ^ ] ]
^ ] ] ^ ] ]
^ ] ] ^ ] ]
^ ] ] ^ ] ]
h g gh g g
h g gh g g
h g gh g g
h g gh g g
ƒ ƒ
B AB AB A ƒ ƒ ƒƒ
1 1
1 1
& &
- -
- -
ƒƒ ƒ ƒ ve
1 1
& &
- -
ƒ x
x
2
A 4 8 12 = " , , , B 246 = " , , , ] g =
2 4,
4 8,
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
4 2
8 4
12 6
1
1
1
= =
= =
-
-
-
= = 6 12
] ]
] ]
] ]
g g
g g
g g
ƒ ƒ ve -1
ƒ x ƒƒ ƒ ]
4 2 8 4 12 6 g
== = , ] g
ve ] g
x
2
] g =
ƒ ƒ ve
-1
ƒ x
x
2
A ve B = = " " 4 8 12 2 4 6 ,, ,, , , ] g =
31 .
ƒ ƒ
ƒ ƒ
x xx I
xx x
x
olarak bulunur
x
3
1
1 1
1 1
= =
+= = -
& &
& &
- -
- -
$
_ ]] ] _
] ]
i gg gi
g g
ƒ: A → B fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyon olsun.
fonksiyonu için fonksiyonu ƒ
fonksiyonunun bileşke işlemine göre ters fonksiyonudur.
ƒ ƒ ƒƒ ƒ I ise 11 1 ƒ : -1
B A " & & -- - = =
A
• 2
• 4
• 6
4•
8 •
12 •
ƒ
ƒ
−1
B
ƒ, bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere; tir. ƒ xy yx ƒ + 1
= = - ] g
^ h
ƒ ve g fonksiyonları için dir. g g ƒ ƒ 1 1 1
& & =
- - - ^ h
olduğundan
olduğundan
olduğundan
115116
Örnek : fonksiyonunun tersini bulalım.
Çözüm : olduğundan
olur. O hâlde, y değişkenini x ile değiştirirsek
olur.
Örnek : fonksiyonlarının grafiklerini inceleyelim.
Çözüm :
x = 1 için
x = 0 için olur.
olur.
Grafikten de anlaşılacağı üzere fonksiyonlarının grafikleri üzerindeki noktalar
doğrusuna göre simetriktir. Fonksiyon grafiği üzerinde hangi nokta alınırsa alınsın y = x
doğrusuna göre simetriği fonksiyonun tersinin grafiği üzerindedir.
Örnek : R de fonksiyonlarının terslerini bulalım.
Çözüm :
. .
.
3 1 3
1
3
1
.
ƒ ƒ ƒ
ƒ
x x yx ƒ
x y
olur x y y x x x
olur
y gx x
gx x x
g x
x
y
g x x
olur
y hx x x h x x hx x
olur
y
3 2 3
2
3
2
3
2
3
5 4 3 54 5
3 4
5
3 4
5
3 4
3
1
1 1
1
2 1
& +
& & &&
& &&
= -= =
+
=
+
== =
+
= =
- =- =
+
=
+
=
+
= =+ = - = =
- -
- -
-
-
]
]
]
^ ]
] ]
]
]
]
]
]
g
g
g
h g
g g
g
g
g
g
g
ƒ x x gx ,
x
3 2 ve h x x 3
5 4 3 1 2
=- =
- ]] ] gg g = +
^ ^ 01 10 ,,, y x h h =
ƒ ƒ ve ^ ^ 31 13 , , h h , ile -1
ƒ 0 1 1 0 ƒ &
1
= =
-
] g ] g
ƒ 1 3 3 1, ƒ &
1
= =
-
] g ] g
ƒ 2 20 1 1 = += $
] g
ƒ] g 1 21 1 3 = += $ ,
2 1
.
ƒ
ƒ
ƒ xy x x
y
y
x
x
olur
2
1
2
1
1
1
&
&
== + =
-
=
=
-
-
-
]
^
]
g
h
g
ƒ x x fonksiyonunun ter 2 1 sini bulup ve ƒ ƒ
1
= + -
] g
ƒ x x 6
1
= - - ] g
ƒ x x y xy y 6 6 ƒ & 1
=+= =-= - ] g
^ h
ƒ xy yx ƒ + 1
= = - ] g
^ h
ƒ] g x x6 = +
Bir fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.
3
y = x
2
1
0
123
ƒ
ƒ
−1
olduğundan117
Örnek :
fonksiyonları veriliyor. Buna göre fonksiyonlarının kurallarını bulalım.
Örnek : olmak üzere fonksiyonu veriliyor. ƒ fonksiyonunun tersinin olabilmesi için a değerini bulalım.
Çözüm :
Fonksiyon 4x – a = 0 değerinde tanımlı olmayacağından değerini alamayacaktır. Buna göre olduğundan olur ve a = 1 bulunur.
Örnek : R de fonksiyonları veriliyor. g fonksiyonunun kuralını
bulalım.
Çözüm :
1. yol:
bileşke fonksiyonunda sağdan fonksiyonu işleme alınmalıdır. Buna göre
gx g x g x g ƒƒ ƒ ƒ ƒ x x
x x
3
2
15 3
2
7
5 2 75 3
1 1
I x
= == && & & $
- =
- +
= - += -
- - ]
^
]
^
_ ]
^
b
]
]
g
h
g
h g
i h
l
g
Hg
& .
ƒ ƒƒ
ƒ
ƒ ƒ x xx x x I
x
x
olarak bulunur
x 32
3
2
1 11
1
& = = += & &
=
-
- --
-
$
_ ]] ] _ ]
]
i gg gi g
g
ƒ
-1
g & ƒ
ƒ]
x x ve g x x g
=+ = + 3 2 15 7 ^ & ƒh] g
a
4 4
1
ƒ:R R =
4
1
4
3
- - ' 1 " ' 1
xa x
a
4 0 4
-= = &
ƒ x
x a
x
4
3 2
=
-
+ ƒ:R R ] g
4
1
4
3
- - ' 1 " ' 1
kx x ve ƒ
-1
] ] g g
k x ƒ ƒ : , x
x
ve R R x x
x
5 2
3 4
3
2
3
2
3 2
1 1 2 1
= " -
- -- - = +
- - + kR R : , ] ] g g & & 0 0 5
2
5
3
- - ' 1 " ' 1
Çözüm :
.
kx y
x
x
yx x
yx y x
yx x y
xy y
x
y
y
k x
x
x
olur
5 2
3 4
5234
5 2 34
5 3 24
5324
5 3
2 4
5 3
1 2 4
&
&
&
&
&
&
= =
-
-
-= -
-=-
-=-
-= -
=
-
-
=
-
- -
]
]
^
]
g
g
h
g
.
ƒ
ƒ
x y
x
x
yx x
yx y x
yx x y
xy y
x
y
y
x
x
x
olur
3 2
2 1
3221
3 2 21
3 2 21
32 21
3 2
2 1
3 2
2 1
1
&
&
&
&
&
&
= =
+
+
+= +
+=+
- =- +
- =- +
=
-
- +
=
-
- +
-
]
]
^
]
g
g
h
g
Tanımlı oldukları kümelerde dır. ƒ x ƒ
cx d
ax b fonksiyonunun tersi x cx a
1 dx b
= +
+ = -
- - + ] ] g g
ƒ in tersi ƒ
–1 ise ƒ
–1 in tersi de ƒ fonksiyonudur.
olarak bulunur.118
2. yol:
nin kuralını bulmak için x yerine, 3x + 2 = p
olmak üzere yazılırsa
Dikkat edilirse yukarıdaki işlemde sonuca gitmek için 3x + 2 ifadesinde x yerine 3x + 2 nin tersi yazıldı. Çünkü tir. Genel olarak ƒ(ax + b) ifadesi verildiğinde ƒ(x) i bulmak için x yerine
ax + b nin tersi yazılabilir.
Örnek : , fonksiyonları veriliyor. ƒ fonksiyonunun g fonksiyonu cinsinden değerini bulalım.
Çözüm :
olur. x değeri ƒ fonksiyonunda yerine yazılırsa
olarak bulunur.
Örnek : fonksiyonları için fonksiyonunun kuralını bulalım.
Çözüm : Öncelikle ƒ fonksiyonunun tersini bulalım.
,
ƒ ƒƒ g x gx x olur. x x 5 5 3
5 51
3
1 11 5 6
& = = -=
- - =
- -- - _ i] ] g g ^ h ] g
ƒ x x yx x 31 31 ƒ ƒ y
y x x
3
1
3
1 1 1
=+ =+ = && &
-
= =
- - - ] g
^ h ] g
ƒ g x 1
&
-
ƒ] ] x x ve g x x g g =+ =- 31 55 _ i] g
ƒ x
g x
g x
g x
g x
g x
gx gx
g x
3
1
4
3
1
3
3
11
3
10
3
10
11
3
11
10
= $
+
-
+
+
=
-
+
=
+
-
=
-
+
]
]
]
]
]
]
] ]
]
g
g
g
g
g
g
g g
g
gx x x
g x
3 1 3
1
=- = &
+
]
]
g
g
ƒ x
x
x
ve g x x 4
3
= 3 1
-
+ ƒ:R- - ! ! 4+ + " R R -] g 4 1 " ] ] g g = -
a
x b -
ƒ ƒ x x I
1
=
-
_ ] g
i ] g
.
g
p p
gp p gp p
g x x olur
3
3
2
2 15
3
2
7 5 10 7 5 3
5 3
& &
&
$ $
-
+ =
-
+ =-+ =-
= -
^
d ^ ^
]
h
n h h
g
p
3
-2
^g x g x g x x olur g p &ƒ ƒ h] ] g g = = += + ^ h ]
3 2 15 7 g
. ^ h119
Örnek : ise k değerini bulalım.
Çözüm : olmalıdır.
O hâlde, x = 2 için 4x + 1 in değeri 9 dur. Buna göre
x = 2 için
Örnek : olduğuna göre g(x) fonksiyonunun kuralını bulalım.
Çözüm : olduğundan g(x + 10) fonksiyonunda x yerine
x + 10 un tersi yazılırsa
Örnek : Yanda grafiği verilen fonksiyonun tersinin grafiğini çizelim.
Çözüm :
Grafiğe göre f fonksiyonu (–1,2), (0,0),
(1,–1), (2,0) ve (3,1) noktalarından geçmektedir. O hâlde f fonksiyonunun tersi (2,–1),
(0,0), (–1,1), (0,2) ve (1,3) noktalarından ge-
çecektir. Buna göre ƒ
–1 in grafiği yandaki gibi
olur.
Örnek : Yanda grafiği verilen fonksiyonun tersinin
grafiğini çizelim.
3 1
3 1
20 100 3 30 1
17 71 .
ƒ ƒ xx xx
gx x x
gx x x
gx x x x
g x x x olur
10 10
10
10 10 10 10
1
2
2
2
2
=+ =- &
+ =++
- + =- + - +
=- + +- +
=- +
-
] ]
]
]] ] ]
]
]
g g
g
g g g g
g
g
g x g x gx x x ƒ ƒ 10 3 1 2
^ & h] ] g g = = + =++ ^ h ] g
ƒ ƒ x x ve g x x x 10 3 1 2
] g
=+ = + + ^ & h] g
ƒ ƒ 42 1 9 k k k k olur 23 2 3 2 3 4 . 2
1 ]
$ $
+ = + = + += = g
& && ] g
4 19 4 8 2 x x x olur += = = & & .
ƒ 4 9 9 4 ƒ
-1
] g
= = & ] g
ƒ ƒ 41 4 x kx ve 3 9 1
+=+ =
-
] ] g g
1
2
1
0
0
–1 2
–1
3
1
2
3
1
2
ƒ
–1
–1
–1
ƒ
x
x
x
ƒ(x) = 2x + 8
–4
8
y
y
y
0120
Çözüm : ƒ(x) fonksiyonun grafiğini incelersek;
Buna göre ƒ
–1 (x) grafiği yandaki gibi olur.
Örnek : ƒ
–1(x) fonksiyonunun grafiği yandaki gibi olduğuna göre ƒ(x) in grafiğini çizelim.
Çözüm : Grafiğe göre;
olduğundan grafik yandaki gibi olur.
Yukarıdaki iki örnekte istenen grafikler, bir fonksiyon ile tersinin grafiklerinin y = x fonksiyonunun grafiğine göre birbirinin simetriği olduğu göz önünde bulundurularak da çizilebilirdi.
0 1,
1 0
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
1 0
0 1
1
1
&
&
- = =-
=- - =
-
-
] ]
] ]
g g
g g
0 4,
8 0
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
4 0
0 8
1
1
&
&
- = =-
= =
-
-
] ]
] ]
g g
g g
ƒ(x)
ƒ
–1 (x)
ƒ
–1
ƒ ve ƒ
–1
–4
–1
–1
8
–1
–1
x
y
y = x
y = x
x
y
x
y
x
y
–1
–1
0
ƒ nin y = x e göre simetriği kendisi olduğundan
ƒ ve ƒ
–1in grafiği birbirinin aynısıdır.
0
0
0
dır.
ƒ
–1 (x)
–4
–4
8
8
x
y
0
ƒ(x) 121
Örnek :
Yandaki şekilde grafiği verilen ƒ fonksiyonu için
,
değerlerini bulalım.
Çözüm : Grafikte; ikililerinin belirttiği noktalardan geçmektedir.
Buna göre ƒ(5) = 1, ƒ(2) = 5, ƒ(0) = 3, ƒ(–1) = 2, ƒ( –2) = 0 ve ƒ( –3) = –2 olarak bulunur. Ayrıca,
ƒ ƒ ƒƒ ƒ
ƒ ƒ ƒƒ ƒ
2 2 03 ve
3 3 20
&
&
-= - = =
-= - =-=
^ ] ] ^ ]
^ ] ] ^ ]
h g gh g
h g gh g
ƒ]
x fonksiyonunun 5 1 2 5 0 3 1 2 2 0 3 2 g
^^^^ ^ ^ ,,,,,, ,, ,, , hhh h h h - - --
^ƒƒ ƒƒ & & h]
- - 2 3 g
ve ^ h] g
ƒƒƒƒ ƒ ƒ ]
520 1 2 3 g
,,, , , ] g ] g ] ] --- g g ] g
3
5
2
1
-1 0
-2
-3 -2 2 5
y
x
ƒ(x)
Yukarıda ƒ : R → R, y = ƒ(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre grafik üzerinde işaretlenen
A, B ve C noktalarının koordinatlarını yazınız.
Yazdığınız (x, y) ikilileri için ƒ(x) = y eşitliğinden yararlanarak aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
ƒ(–2) = ..., ƒ(. . . ) = 3, ƒ(–3) = . . .
ƒ(x) = y ⇒ ƒ–1 (y) = x olduğunu göz önüne alarak aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
ƒ
–1(. . . ) = 0 , ƒ
–1(–3) = ..., ƒ
–1(0) = . . .
Grafiği verilen bir fonksiyonun bazı değerlerinin nasıl bulunduğunu tartışınız.
dır.
3
-3
0
x
y
-2
-3 B
C
A122
Örnek : Yanda grafiği verilen fonksiyonlardan hareketle aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
a.
b.
c.
ç.
d.
Çözüm : a. (–3, 0) noktası fonksiyonunun grafiği üzerinde olduğundan olur.
b. (0, 1) noktası fonksiyonunun üzerindedir. ve
olur.
c. (5, 0) noktası fonksiyonunun grafiği üzerindedir. (5) = 0 olur.
ç. (4, 2) noktası fonksiyonu üzerinde, (0,1) noktası üzerindedir.
ve olur. olur.
d. fonksiyonlarından yararlanarak değeri hesaplanabilir.
olsun. O hâlde,
dır.
Örnek : Yanda grafiği verilen fonksiyonunun
grafiği için
a. ƒ(3)
b.
c. – değerini bulalım.
Çözüm :
a. x + 2 = 3 ⇒ x = 1 için ƒ(3) değeri 2 bulunur.
b. olur.
c.
.
ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ ƒƒ
ƒƒ ƒƒ
ƒ ƒ
bulunur
2
3
4 42
22 42
3
2 5 25 7
=
=
=
=
& & -
-
- -
- -
- --
+ -+
=+=
^ ]
^ ] ] ^ ^ ]
^ ]
^ ]
] ]
]
h g
h g gh g
h
g
h g
h
g g
g
^ƒ ƒ ƒƒ ƒƒ ƒ & h] ] 2 2 02 1 0 g g = = == ^ h ^ ]
+ g
h ] g
^ƒ ƒ & h]
4g
^ƒ ƒ & h]
-2g
^ƒ ƒ & h]
2g
ƒ] g x+2
k a ƒ ƒ 3 6 26 a bulun g ur. ^ & & −1
h] g
== = & ^ h] g
ƒƒ ƒ ƒ g gg a 2k k k k2k 2 3 1 1 1 1 1 1
& & && & & & = = = =
- - - - - -
^ h] g
__ i ^ h
i] g
_ i _^ h] g
i _ i ] g
( )
.
k k kk
g g
ƒ ƒ
ƒ ƒ
gx gx
k k x x olur
1 1
1
1
I
& && & &&
& && &
=
= =
- - -
-
_ ^ ]
_ ^
c
]
^ ]
i h g
i h
m g
h g
k k ƒ ve g ^ƒ & g 2h] g
1
& &
-
k k g4 0 2 1 3 ƒ
1
& & + =+= -
k ƒ 0 1 ^ h] g
^ h] g
1
& =
−
^k g4 2 & h] g
= ^ h] g
k ƒ
1
&
−
k g &
k g & ^ h k g &
k ƒ ƒ 1 10 k
1 1 1
& & = = - - -
k ƒ 0 1 _ i ] g
_ i] g
1
& =
-
k ƒ _ i] g
1
&
-
k ƒ 3 0 1
& - = -
k ƒ _ i] g
1
&
-
^ƒ & g 2h] g
kg k 4 0 ƒ
1
& & +
-
^ h] g
_ i] g
^k g5 & h] g
ƒ ƒ 1
1
&
-
^ h] g
k 3 ƒ
1
& -
-
_ i] g
3
2
0
x
y
-3 -2 2
1
45 6
k ƒ
1
&
-
k g &
3
4
5
2
1
-1
-2
-3
-5
0 1 2 3 4 x
y
-5 -4 -2 -1
ƒ(x + 2)Örnek : Yandaki grafiğe göre;
değerlerini bulalım.
Çözüm : Grafiğe bakılarak ƒ(–1) = 0, ƒ(0) = –1 ve ƒ(1) = 0 olduğu görülür. Ayrıca g(–1) = 0 ve
= –1 olduğunu da görebiliriz. O hâlde;
. .
. .
. .
1 .
ƒ ƒ
ƒ ƒƒ
ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ
a g g g olur
b g g olur
c g g g g g olur
g g g g olur
1 1 01
1 1 01
0 0 10
0 0 1 10
&
&
&
&& & &
- = - = =-
- = - = =-
= =-=
= = - = - = =-
^ ] ] ^ ]
^ ] ] ^ ]
^ ] ] ^ ]
^ ]
^ ^ ]
^ ] ] ^ ]
h g gh g
h g gh g
h g gh g
h g
h g
h h g gh g
g 0] g
. 1
. 1
.
,
,
,
ƒ
ƒ
ƒ ƒ
a g
b g
cgg
g
0
0
-
-
&
&
&
& &
^ ]
^ ]
^ ]
^ ]
h g
h g
h g
h g
–1
–1 1
ƒ
0
y
x
g
ç.
ç.
Örnek :
Yandaki şekilde grafikleri verilen ƒ ve g fonksiyonları için ve
değerlerini hesaplayalım.
Çözüm :
Grafikten ƒ fonksiyonu için ƒ(–2) = 0, ƒ(0) = 1, ƒ(1) = 2 ve ƒ(2) = 3 ve g fonksiyonu için de g(0) = 3,
g(1) = 2, g(2) = 0 ve g(3) = –3 olduğu verilmiştir. Buna göre;
,
,
,
.
ƒ ƒƒ
ƒ ƒ
ƒ ƒ ƒƒ ƒ
ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ
g g
g gg
g g gg
g g g olur
2 20
2 20
1 1 2 33
2 0 23
1
3
2
1 11
&
&
& &
& &
= ==
-= - = =
= = = =-
-= - = = =
- --
^ ] ] ^ ]
^ ] ] ^ ]
^ ] ] _ ^ ^ ] ]
_ ] ] _ ^
_ ] ]
h g gh g
h g gh g
h g gh
i g
h g
i g gh
i g
i g
ƒ ƒ g 2 1
& & -
-
_ i] g
^ƒ ƒ ƒƒ & & && gg g h]
22 1 g
, , ^ h]
- g
^ h] g
3
2
1
-3
0 1
x
y
-3 2 -2 3
ƒ
g
123124
-2
3
0 4 5 x
y
-2
-4 -3
ƒ
Örnek : Yanda verilen f fonksiyonunun grafiği üzerinde aldığı değerleri inceleyelim.
Çözüm : Fonksiyonun aldığı değerleri incelediğimizde –∞ dan –3 e
kadar fonksiyon azalan değerler almıştır. –2 ile +3 arasında fonksiyon sabit y = –2 değerini almıştır. Fonksiyon x = +3 ten sonra +∞ a
kadar hep artan değerler almıştır.
3 < x < ∞ arasındaki fonksiyonunun değerlerindeki artmayı 3 < 4 < 5 < +∞ için ƒ(3) < ƒ(4) < ƒ(5) < ƒ(∞)
biçiminde ifade edebiliriz. Benzer şekilde [–2,∞) aralığının bir kısmında artmasa da [–2,+∞) aralığında
azalmadığını söyleyebiliriz. Bunu
–2 < 0 < 3 < 4 < 5 < +∞ için ƒ(–2) ≤ ƒ(0) ≤ ƒ(3) ≤ ƒ(4) ≤ ƒ(5) ≤ ƒ(∞) biçiminde ifade edebiliriz.
(x,y) aralığında seçilen her a < b için ƒ(a) ≤ ƒ(b) ise ƒ fonksiyonu bu aralıkta
artan fonksiyondur. (x, y) aralığında seçilen her a < b için ƒ(a) < ƒ(b) ise ƒ(x, y)
aralığında kesin artan fonksiyondur.
I aralığındaki her a < b için ƒ(a) ≥ ƒ(b) ise ƒ fonksiyonuna bu aralıkta azalan
fonksiyon denir. a < b için ƒ(a) > ƒ(b) ise bu sefer ƒ fonksiyonuna kesin azalan
fonksiyon denir.
Fonksiyonlar kesin artan ve kesin azalan oldukları aralıklarda birebir-örten,
artan ve azalan oldukları aralıklarda örten fonksiyondurlar.
(–∞, –2) aralığında –∞ < –4 < –3 < –2 için ƒ(–∞) > ƒ(–4) > ƒ(–3) > ƒ(–2) dir. Aralığı biraz geniştirsek
–∞ < –4 < –3 < –2 < 0 < 3 için ƒ(–∞) ≥ ƒ(–4) ≥ ƒ(–3) ≥ ƒ(–2) ≥ ƒ(0) ≥ ƒ(3) yazılabilir. (–∞, –2) aralığında
fonksiyonun aldığı değerler hep azalmış, (–∞, 3) aralığında artmamıştır.
ƒ fonksiyonu (–∞, –2) ve (3,∞) aralıklarında birebir-örten fonksiyondur. (–2,3) aralğında birebir değil
ama örten fonksiyondur.
Örnek : Yandaki grafiğe göre;
değerlerini bulalım.
. ,
. ,
. ,
ƒ
ƒ ƒ
ƒ
ƒ
a g
b g
c g
g
1
1
0
3
&
& &
&
&
-
-
^ ]
^ ]
^ ]
^ ]
h g
h g
h g
h g
y
g
ƒ
1
–1 1
–1
0
3
2
-
–2 2 3
ç. x
Çözüm : Grafiğe göre ƒ = 0, ƒ = 0, ƒ = ve ƒ = –1 dir. Ayrıca g = 0 , g = 0,
g = 0, g = –1 ve g = 1 dir. Buna göre; ] g 3 ] g 1 ] g -1
] g 1 ] g -2 ] g 0
2
3 ] g -2 ] g 2 ] g 0 -125
ç. olur.
Fonksiyonlarda Dört İşlem
R de tanımlı ƒ ve g fonksiyonları için yukarıdaki tablonun ilk satırını doldurunuz.
Siz de fonksiyonlar tanımlayarak 2 ve 3. satırları benzer şekilde doldurunuz.
2 ile 3 ve 4 ile 5. sütun arasındaki ilişki nedir? Tabloya göre vardığınız sonucu açıklayınız.
Tablo toplama işlemine göre yapılmıştır. Acaba benzer özellikler çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri
için geçerli midir? Aynı fonksiyonlarla deneyiniz.
Elde ettiğiniz sonucu arkadaşlarınızla paylaşınız.
Örnek : olduğuna göre;
a. (ƒ + g)(x) b. (ƒ – g)(x) c. (ƒ . g)(x) ç. (ƒ / g)(x) ifadelerinin kurallarını bulalım.
ƒ x x x gx x 4 22 42 ,
2
] ] g g = +- =-
^ƒ ƒƒ & g g h] ] 3 30 g g = ^ h = = ] g
0
. 1,
. 1,
. 0 ,
ƒ ƒƒ
ƒƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ
ƒ ƒƒ
ag g
bg g g g
cg g
1 11
1 1 1 11
0 0 2
3
=
=-
&
&& & &
&
- = - = =-
= = - = - =-
= =
^ ] ] ^ ]
^ ]
^ ^ ]
^ ] ] ^ ]
^ ] ] ^ ]
h g gh g
h g
h g
h h g gh g
h g gh g
Fonksiyon (ƒ + g)(x) ƒ (x) + g(x) (ƒ + g)(1) ƒ(1) + g(1)
ƒ x x4 2
] g = -
x x2 2
+ - 0
g(x) = x + 2
Çözüm :
a.
b.
c.
ç. ƒ .
ƒ
g x
g x
x
x
x x
x
x x x olur 4 2
4 22
4 2
42 1 1
2
= =
-
+ - =
-
- + _
]
= + ]
]
]
] ] i
g
g
g
g
g g
,
ƒ ƒ g x x gx x x x x x x x x
x x x xx x x
4 2 2 4 2 4 4 2 2 4 2 24 2
16 8 8 4 8 4 16 12 4
2 2
322 3
= = + - -= -+ -- -
= - + - - += - +
^
$ $ h] ]] g gg ^ h] ] ]] g g gg
ƒ ƒ g x x gx x x x x x x x x 4 2 2 4 2 4 2 24 2 4 2 ,
2 22 ^ - = - = + - - - = + -- += - h]]] ggg ^ h ] g
ƒ ƒ g x x gx x x x x x 4 22 424 64,
2 2 ^ + = + = + -+ -= + - h]]] ggg ^ h ] g126
Örnek : ƒ ve g bire bir ve örten fonksiyonlar, de-
ğerlerini bulalım.
Çözüm :
(ƒ . g) = ƒ(4) . g(4) = (3 . 4 + . g(4) = 20 . g(4) = 40 olduğundan g(4) = 2 olur. Ayrıca,
. g(4) = 20 . g(4) = 40 olduğundan g(4) = 2 olur. Ayrıca, bulunur.
Örnek : ƒ(x) = 3x – 5 , g(x) = 5x2
+ 2x + 1 olduğuna göre;
fonksiyonlarını bulalım.
Çözüm :
. .
.
.
.
.
.
ƒ
ƒ
ƒ ƒ
ƒ ƒ ƒƒ ƒ
a x g x x x x x x olur
b x gx x x x x x x
x x olur
c g x x gx x x x x x x
x x olur
x g x x x gx x gx x x x
x x x x x olur
35 5 215 54
2 3 2 3 5 3 5 2 1 6 10 15 6 3
15 12 7
3 5 5 2 1 3 55 2 1
5 6
3 3 4 43 5 5 2 1
12 20 5 2 1 5 14 19
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
+ -+ + += + -
+ = -+ + += - + + +
= +-
- = - = - - + + = -- - -
=- + -
++ = + + = + = -+ + +
= - + + += + -
] ] = ]
^
] ] ]
^
^ ]]] ]
^
]
^ ] ]]] ]] ]
^
g g g
h
g g g
h
h ggg g
h
g
h g ggg gg g
h
.
.
.
,
,
,
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ ƒ
a x gx
b x gx
c gx
x gx
2 3
3
+
+
-
+ +
] ]
] ]
^ ]
]
^ ]
g g
g g
h g
g
h g
g g 42 24 & 1
= =
-
] ] g g
ƒ ƒ x x ve g ise g ile g 3 8 4 40 4 2 1
=+ = -
$
] g
^ h] ]] g gg
ç.
ç.
Örnek : ƒ ve g pozitif değerler alan fonksiyonlar olsun. ƒ, g fonksiyonlarıyla elde edilen ƒ + g, ƒ – g,
ƒ . g, ƒ / g fonksiyonlarını inceleyelim.
Çözüm :Yukarıdaki örneklerin herbiri incelendiğinde (ƒ + g) (x) = ƒ(x) + g(x) olduğundan a değeri için
(ƒ + g) (a) = ƒ(a) + g(a) olup (ƒ + g) (a) değeri ƒ(a) + g(a) değerlerinden en az birinden büyüktür.
x
g
f
ƒ+g
y
0127
Örnek : ƒ(x) = 2x, g(x) = x2 + 1 için ƒ, g, ƒ + g ve g – ƒ fonksiyonların grafiklerini inceleyim.
Çözüm :
x > 0 için (ƒ + g) (x) > ƒ(x) ve (ƒ + g) (x) > g(x) tir.
2
ƒ
1
1
g
–1
1
ƒ + g
1
1
g – ƒ
ALIŞTIRMALAR
1. R de tanımlanan fonksiyonları için aşağıdaki bileş-
ke fonksiyonların kurallarını bulunuz.
a.
b.
c.
ç.
2. fonksiyonları tanımlanıyor. fonksiyonlarını bulunuz. midir?
3. R de fonksiyonları tanımlanıyor. Buna göre aşağıdaki bileşke fonksiyonları bulunuz.
a.
b.
c.
ç. ^ƒ ƒ & & g 5h] g
^g g0 & h] g
^g 3 & ƒh] g
^ƒ & g 3h] g
ƒ x
x
ve g x x 2
] ] g g = =+ 3 1
ƒ ƒ & & g g =
ƒ ƒ : , R R x x ve g x x2 1 ^ƒ ƒ & & g g h]
x ve x g
^ h] g
"
2
] ] g g = =-
]
h hx & g] g
^g hx & &ƒ h] g
^g x & ƒh] g
^ƒ & h x h] g
ƒ x x g x x ve h x ,
x
x
32 3 1
= - =- =
+
]] ] gg g
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0128
4. R de olduğuna göre a kaçtır?
5. Aşağıdaki fonksiyonların bire bir ve örten olduğu yerlerde terslerini bulunuz.
a.
b.
c.
ç.
d.
e.
6. değerini bulunuz.
7. olduğuna göre bileşke fonksiyonunun kuralını yazınız.
8. olduğuna göre a kaçtır?
9. olduğuna göre g(x) kaçtır?
10. A = {2,4,6,8} ve B = {1,3,5,7} kümeleri için ƒ : A → B, ƒ(x) = x – 1 fonksiyonu tanımlanıyor.
fonksiyonlarının grafiklerini aynı analitik düzlemde gösteriniz.
11.
Yandaki şekilde R den R ye bire bir ve örten ƒ fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
ƒƒ ƒ ƒ 5 30 toplamını bulunuz. 1 1
& -+ + - - _ i] ]] g gg
ƒ ƒ ve -1
ƒ ƒ x x ve g x x x 31 9 31 2
] g
=- = -+ ^ & h] g
ƒ ƒ 5 3 3 13 8 x ax ve 1
- = + =- -
] ] g g
ƒ g x 1
&
-
ƒ x _ i] g
x
ve g x x 3
2 1
= 1
+ ] ] g g = +
ƒ ƒ x x g x x ise g 2 1 7 14 ,
1
=- + = &
-
] g
^ h] ] g g
h x x x
2 3
] g = -
h x x
3
] g = -4
g x x
2
] g = +3
g x x 4
3
=
-
] g
ƒ x
x
2 1 x
=
+ ] g
ƒ] g x x = - 4 3
ƒ ƒ x x a g x x ve g 2 5 17 ,
2
] ] g g = + = - =- ^ & h] g
-5 -2 0
4
3
ƒ
x
y129
12.
Yanda ƒ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdakileri cevaplayınız.
a. ƒ(0) + ƒ(8) b. ƒ(3) c.
ç. ƒ
–1(5) d. e.
13. R de, ƒ (x) = 5x – 3 ve g(x) = 3 fonksiyonları tanımlanıyor. Buna göre (2g + ƒ . g)(x) fonksiyonunun grafiğini bulunuz.
14. fonksiyonları veriliyor.
Buna göre
a. ƒ + g
b. 3ƒ – g
c.
ç. ƒ . g
fonksiyonlarını bulunuz.
15. olduğuna göre g(2) pozitif bir tam sayı ise bu sayı
kaçtır?
16. ƒ, g: R→R olmak üzere ƒ ve g fonksiyonlarını seçerek olduğunu gösteriniz.
17. fonksiyonları veriliyor.
in değerini bulunuz.
18. ƒ ƒ 21 2 x x ve 4 2 değerini bulunuz. 1
+= - -
] ] g g
^ƒ & g 5 h]
- g
,: ,
,
,
, 0
,
f g R R ye x ƒ
x x tek
x x ift
ve g x
x x
x x
3 1
3 20
2
" 1
H =
-
+
=
- +
] ] g g ) )
ƒ ƒ gx g x 1 1 1
& & =
- - - ^ h ] g
_ i] g
5 6 , 3 22 ƒ
ƒ
g
x x x gx x x 2 2 =++ =-+ $
d n] g
^ h] g
ƒ
g
ƒ =- - =- - " " ^ ^^ ^ ^ ^^ ^ 24 23 3 2 43 28 04 3 6 51 ,,,,, ,, ,,,,, ,, hh hh hh hh , , ve g
ƒ ƒ 0 8 ^ƒ ƒ & h]
5g
1
+
-
] ] g g
^ƒ ƒ & h]
7g
3
4
5
6
2
1
0 1 2345678
x
y
çAxB
B
3
2
1
a b c
A
130
3. TEST
1. a ve b pozitif tam sayı olmak üzere (2a + b, 4) = (11, a – b) ise (a,b) ikilisi nedir?
A. (5,1) B. (1,5) C. (2,3) D. (1,–5) E. (2,6)
2. s(A) = 7 ve s(B) = 8 ise A x B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A. 7 B. 8 C. 15 D. 56 E. 78
3. A = {x : x | 10 , x ∈ N} ve s(A x B) = 4 ise s(B) kaçtır?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
4. A = {3, 5, 6, 7} ve B = {0, 2, 4, 6, 7} olmak üzere aşağıdakilerden hangisi B x A kümesinin elemanı olamaz?
A. (0,5) B. (2,6) C. (8,7) D. (4,3) E. (6,5)
5. A = {1, 2, 3, 4} ve B = {a, b, c, d} ise aşağıdaki bağıntılardan hangisi A dan B ye bir bağıntı değildir?
A. α = {(1,a) , (2,b) , (b,2)} B. β = {(3,c) , (3,d) , (2,a)}
C. = {(1,a) , (1,b) , (1,c)} D. θ = {(1,a) , (4,d)}
E. ψ = {(1,a) , (2,b) , (3,c) , (4,d)}
6. A = {a, b} olmak üzere A kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi yansıyan de-
ğildir?
A. α1
= {(a,a) , (b,b)} B. α2
= {(a,a) , (b,b) , (b,a)}
C. α3
= {(a,a) , (b,a) , (a,b)} D. α4
= {(a,a) , (a,b) , (b,b) , (b,a)}
E. α5
= {(b,a) , (b,b) , (a,a)}
7. A = {1, 2, 3} olmak üzere A kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi yansıyan, simetrik ve geçişkendir?
A. α1
= {(1,1) , (2,2) , (3,3)} B. α2
= {(1,1) , (1,2) , (1,3)}
C. α3
= {(1,2) , (2,1) , (1,3) , (3,1) } D. α4
= {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4)}
E. α5
= {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (3,1)}
8. Yandaki grafiğe göre A kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
A. 3 B. 8 C. 9
D. 16 E. 64
α131
A. B. C. D. E.
A B
ƒ
1
C D
ƒ
2
E F
ƒ
3
K L
ƒ
4
M N
ƒ
5
1
2
a
b
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
a
b
c
1
2
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
d
9. s(A) = 7 , s(B) = 5 ve s(A∩B) = 4 ise A – B den B – A ya kaç tane bağıntı tanımlanabilir?
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 E. 32
10. bağıntısı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A. Yasıyandır. B. Ters simetriktir.
C. Simetriktir. D. Yansıyan ve geçişkendir.
E. Geçişkendir.
11. Aşağıdakilerden hangisi bir fonksiyon değildir?
A x y x y ve x y R = $ . ^ h , , G !
12. R de tanımlı ƒ fonksiyonu ƒ(x) = 5x – 2 ise aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A. ƒ(1) = 3 B. ƒ(a) = 5a – 2 C.
D. ƒ(a + 1) = 5a + 3 E. ƒ(a) – ƒ(x) = 5(a – x) – 2
13. fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?
A. B. C.
D. E.
14. R de tanımlı ƒ ve g fonksiyonları için kaçtır?
A. –5 B. 10 C. 12 D. 18 E. 21
15. R de tanımlı ƒ ve g fonksiyonları için kaçtır?
A. 9 B. 10 C. 11 D. 13 E. 16
ƒ ƒ ] ] x x g x x ise g g g = + =+ 21 2 4 , ^ & h] g
ƒ ƒ x x ve g x x ise g 35 67 7 1
=- =- - &
-
] g
_ i] ] g g
g xx 1
=
-
g x ] g
x
x
2 1
1 1
= -
- + ] g
g x x
x
1
1 2 2
= -
- + g x ] g
x
x
2
1 2
= -
- + g x ] g
x
x
2
1 2
= +
- - ] g
g x x
x
ise g x 2
2 1
= -
+ -
gR R : , - - ! ! 2 1 + + " ] ] g g
ƒ x
x
5
1 2
=
- + ] g132
16. Aşağıdakilerden hangisi bire bir fonksiyon grafiğidir?
17. işleminin sonucu kaçtır?
A. 42 B. 50 C. 59 D. 65 E. 92
18. Aşağıda kuralları verilen işlemlerden hangisinin değişme özelliği vardır?
A. B. C.
D. E.
19. işleminin etkisiz elemanı kaçtır?
A. 0 B. 1 C. 2 D. –2 E. 4
20. işlemine göre 4 ün tersi kaçtır?
A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 E. 7
21. işlemleri tanımlanıyor. işleminin sonucu kaçtır?
A. 26 B. 28 C. 29 D. 30 E. 38
a b b a ve a b a b _ = + - =-+ 4 2 1 10 9 ] ] 52 10 _ _ g g 9
ab a b 5 9 =+-
xy x y 2 _ =++
ab b1 & = + ab b & =
ab a b _ = + 2 ab a b 9 = + ab a 1 4 = +
a b a b ise _ __ = ++ 3 4 42 1 ] g
x
y
2
0
0
0
0 0
1
–1
1
2
–1
–3 3 –2 2
ƒ
ƒ
x
y
g
h
x
y
k
x
y
x
y
A. B.
D. E.
C.133
DOĞAL SAYILAR
Hangi yılda doğduğunuzu, en son okuduğunuz kitabın sayfa sayısını ve okulunuzdaki öğrenci sayı-
sını karşınızdakine anlatmanız isteniyor. Fakat bunu anlatırken hiçbir sayı kullanmamanız da bekleniyor. Kendinizi doğru bir şekilde ifade edebilir misiniz?
Doğal sayıların hayatımızdaki yeri hakkında ne düşünüyorsunuz?
4. BÖLÜM SAYILAR
Doğal Sayıların Pozitif Sayı Kuvvetleri
Aşağıdaki çarpımları verilen örneklerden yararlanarak noktalı yerleri doldurunuz.
Yukarıdaki ifadeleri inceleyerek aşağıdaki boşlukları doldurunuz.
a, b, m, n ∈ N
+
için
a
m
. an
= ... , an
. bn
= .... , (am
)
n
= ...
2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 24
. 23 = 24 + 3 = 27
3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = ... 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = ...
4
2
. 42
. 42
. 42
= (42
)
... = 4... 4.4 . 4.4 . 4.4 . 4.4 = 4... = (42
)
...
6.6.6 . 6.6.6 . 6.6.6 = 6... = (63
)
... 6
3
. 63
. 63
= (63
)
... = 6...
4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = (4.3) . (4.3) . (4.3) . (4.3) . (4.3) = ...
5 tane
4 tane
3 tane
5 tane
6 tane
4 tane
3 tane134
Örnek : 2
3
,42
,54
sayılarının değerini bulalım.
Çözüm :
Bir doğal sayının kuvveti, o sayının kaç tanesinin yan yana yazılıp çarpılacağını gösterir. O hâlde,
olarak bulunur.
Örnek : a,b,m,n ∈ N
+
olmak üzere; ifadelerinin eşitlerini bulalım.
Çözüm :
Örnek : çarpımını en sade biçimde yazalım.
Çözüm :
Örnek : ise n sayısını bulalım.
Çözüm :
olduğundan n = 30 olur.
Örnek : ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm :
5 7 7 7 14 7 5 7 1 7 14 7 7 5 1 14 18 7 dır. 6 15 6 6 6 6 6 6
$ $ $ $$ $ $
- + = - + = -+ = ] g
5 7 7 7 14 7 65 6
$$ $
- +
3 33 27 81 3 3 3 3 3 2 2 4 8 3 4 8 6 16 30
$ $ $ $ $$
= ==
4 2 4 ^ ^^ h hh
3 27 81 3 2 24 n
$ $
=
4
^ h
5 4 16 64 11 2 3
$$ $
... ... ...
... ... ...
...
a a aaa a aaa a aaa a a
a b a a a a b b b b ab ab ab ab ab
a aaa a a a ...
tan
tan tan
tan tan tan
m n m n
m m
m m m m m mn mmm m
n e
me ne m n
me me me
n e tan
= ==
= ==
= ==
+
++++
+
$
$ $$ $ $$ $$
$ $$ $ $$ $ $
$ $
m
n
]] ]
]] ] ]
^
gg g
g g gg
h
678 4444 4444
123 444 444 1 2 3 444 444 1 2 3 444 444
123 444 444 1 2 3 444 444 1 2 3 44444 44444
123 4444 4444
a aa b a , ,
m nm m m
$ $
n
^ h
2 2 2 2 8 4 4 4 16 5 5 5 5 5 625 ; ; 3 24
= = == = = $$ $ $$$
0, 1, 2, 3, ... sayılarının her biri birer doğal sayıdır. Bu sayıların oluşturduğu küme de doğal
sayılar kümesidir. Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir.
N = {0,1,2,3,4, ... , n, n + 1, ...} dir. Bunu sayı doğrusuyla aşağıdaki gibi gösteririz.
İki basamaklı bir ab doğal sayısı ab = 10 . a + b ,
Üç basamaklı bir abc doğal sayısı abc = 100a + 10b + c,
Dört basamaklı bir abcd doğal sayısı abcd = 1000a + 100b + 10c + d biçiminde yazılabilir.
... ... 012345135
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm :
olur.
Örnek : ise m yi bulalım.
Çözüm :
63 3 m olduğundan m = 6 olur. 3 3
$ $
=
3 3 9 18 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 1 3 2 2 3 6 3 4 2 2 4 2 22 4 4 4 4 4 3 + - = + - = + - = +- = = $ $ $ $$ $ $ $ $
2
^ h ] g
3 3 9 18 3 3 m
42 2 3 +- = $ $$
A
2 2
333
2 2
3 3
2
3
2
3
4 4
444
4
4
5
5 5
=
+
+ + = ==
$
$ b l
A
2 2
333
4 4
444
=
+
+ +
a, b, m, n ∈ N
+
olmak üzere; dir. a a a a b ab a a ; .; m n mn m m m m n
== =
+ $
$ $
m n
] g
^ h
tür.
Taban Aritmetiği
Bir firmada fayans ihtiyacı olan bir fayans ustası araştırdığı firmalarda aşağıdaki seçenekleri görmüştür.
A firması 1, 5, 25, 125, 625 lik kutularda fayans satıyor.
B firması 1, 3, 9, 27, 81, 243 lük kutularda fayans satıyor.
C firması 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 lik kutularda fayans satıyor.
200 tane fayansa ihtiyacı olan bir ustanın, en çok fayans bulunduran kutulardan almak şartıyla A firmasından fayans aldığı düşünülürse her bir kutudan kaç tane alması gerektiğini bulunuz.
180 tane fayansa ihtiyacı olan bir ustanın, en çok fayans bulunduran kutulardan almak şartıyla B firmasından fayans aldığı düşünülürse her bir kutudan kaç tane alması gerektiğini bulunuz.
300 tane fayansa ihtiyacı olan bir ustanın, en çok fayans bulunduran kutulardan almak şartıyla C firmasından fayans aldığı düşünülürse her bir kutudan kaç tane alması gerektiğini bulunuz.
Yukarıdaki 3 soruda kutu sayılarını büyük kutu sayısından başlamak üzere ve sıfır tane alınan kutu
sayılarını da dâhil ederek sırayla yazınız.
Bulduğunuz sayılardan geri 200, 180 ve 300 sayılarına nasıl ulaşabileceğinizi açıklayınız.
Doğal sayıları çözümlerken yararlanılan yöntemi düşünürsek sayıları bu şekilde yazmanın çözümlemeden farklı ve çözümlemeye benzer yönlerini yazınız.
Örnek : Bir kırtasiye 1, 4, 16, 64, 256, 1024 lük kutularda kalem satıyor. 27 tane kaleme ihtiyacı olan bir
öğrencinin bu kırtasiyeden kaç kutu kalem alacağını bulalım ve sayıyı oluşturalım.136
Çözüm :
Kullanılacak kutular içinde en fazla kalem alabilecek kutunun alabileceği kalem sayısı 16’dır. 1 tane
16 lık kullanılınca geriye kalan 11 kalem, sırasıyla 2 tane 4 lük, 1 tane 2 lik ve 3 tane 1 lik kutu alınarak
tamamlanır.
Dolayısıyla sayı olur.
Örnek : sayılarının 10 luk tabana göre değerini bulalım.
Çözüm :
.
1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 1 0 4 0 16 21 .
olur
olur
124
10101
4 1 2 5 1 5 4 10 25 39
0 1
2
234
=
=
+ + =+ + =
+ + + + =++++ =
$$$
2 $$$$$
]
5
]
g
g
124 10101 5 ve 2
] g ] g
1
16
2
4
3
1
. ..
Örnek : sayısının 4 lük tabanda yazılışını bulalım.
Çözüm :
1. yol:
4 ün kuvvetleri 1, 4, 16, 64, 256, ... dır. 126 sayısının içinde 4’ün bu kuvvetlerinden, büyükten
başlamak suretiyle kaç tane olduğunu bulursak sayıyı yazabiliriz.
126 sayısı içinde 256 yoktur. 1 tane 64, geriye kalan sayıda (126 – 64 = 62) ; 3 tane 16; 3 tane 4 ;
ve 2 tane 1 vardır. O hâlde,
olur. Gerçekten de
dır.
2. yol : Bu dönüşümü kısa yoldan 126 sayısını sürekli 4 e bölerek de yapabiliriz.
" 126 1332 = ] g4 dir.
1332 2 1 3 4 3 16 1 64 2 12 48 64 126 4
= + + + =+ + + = $$$ $ ] g
4
126 1 3 3 2 = ( )
64 16 4 1
126 10 ] g
126 4
h 31 4
2
h 7 4
3
h 1
3
Çözüm 
123)x
123)x= 3 + 2 . x1
+ 1 . x2
= x2
+ 2x + 3 = 51 ⇒ x
2
+ 2x – 48 = 0 ⇒ (x + . (x – 6) = 0 ⇒ x =
. (x – 6) = 0 ⇒ x = 6 veya x = –8 bulunur. Fakat taban negatif olamayacağından x sayısı 6 olur.
x
x
-6
+8
Örnek : ] g 123 51 x
= ise x sayısını bulalım. 137
Örnek : toplamını 6 tabanında yazalım.
Çözüm :
Tabanlar aynı olmadığından toplama yapamayız. 7 lik tabandaki sayıyı önce 10 luk sonra 6 lık
tabana çevirip toplayabiliriz.
(334)
7 = 172 = (444)
6 tür.
334 4 3 7 3 49 4 21 147 172 7
=+ + =+ + = $ $ ] g
] ] 334 432 g g 7 6 +
(4 4 4)6
(4 3 2)6
(1 3 2 0)6
172 6
h 28 6
4
h 4
4
1
1 1
123
3 4
1102
424
0342
5
5
5
+
#
1
]
]
]
g
g
g
Örnek : Aşağıdaki işlemleri yapalım.
Çözüm :
a.
b.
Örnek : 6 ve 3 sayı tabanlarını göstermek üzere çarpımını 8 tabanında yazalım.
Çözüm :
28 . 8 = 224 elde edilir. Bu sayı 8 tabanında yazılırsa
Örnek : 7 tabanındaki 4 basamaklı, rakamları farklı en büyük sayı ile 7 tabanındaki 3 basamaklı en kü-
çük sayının toplamını yine aynı tabanda bulalım.
Çözüm :
] ]] 6543 100 6643 gg g 77 7 + =
22 2 1 2 3 2 6 8
44 4 1 4 6 4 24 28
= + =+=
= + =+ =
$ $
6 $ $
3
]
]
g
g
22 44 3 6 $
] ] g g
a b . . 231 342 34 123 5 5 55 + $
] ] ]] g g gg
224 8
h 28 8
0
h 3
4
" 224 340 = ] g8 olur.
5
5
231
342
1123
5
+
]
]
]
g
g
g
Alt alta gelen rakamları toplarken 5 ve 5 ten büyük sayı çıkınca bulunan
sayı 5 e bölünür. Kalan yazılır, bölüm de elde olarak alınır.
Çarpmaı onluk sistemdeki gibi yapılır. Fakat çarparken 5 ve 5 ten büyük sayı çıkarsa bulunan sayı 5 e bölüp kalan yazılır. Bölümü de elde olarak alınır.
Toplama yine 5 lik sisteme göre yapılır.138
Asal Sayılar
1 den 100 e kadar olan sayıları 10 x 10 luk bir kare oluşturacak şekilde yandaki tabloya yazınız.
2, 3, 5, 7, 11 ve 13 sayılarının katlarını işaretleyiniz.
İşaretlemediğiniz sayıların 1 ve kendisinden başka sayma
sayısı böleni var mıdır? Bu tür sayılara ne denildiğini hatırladınız mı?
Ortak doğal sayı böleni yalnız 1 olan doğal sayılara örnekler
veriniz. Bu tür sayılara ne denildiğini hatırladınız mı?
15 = 3.5, 18 = 32
. 2, 16 = 24
tür. Buna göre her doğal sayı
tabloda işaretlenmeyen sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir
mi? Tartışınız.
12 = 22
. 31
sayısı hangi sayılara bölünür? Bulunuz.
Bir doğal sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için pratik bir kural belirleyebilir misiniz? Tartışınız.
Örnek : 6, 7, 14, 5 ve 13 doğal sayılarını, çarpanlarının çarpımı şeklinde yazalım. Bu sayılardan hangilerinin sadece iki çarpanı olduğunu bulalım.
Çözüm :
6 = 1 . 2 . 3 , 7 = 1 . 7 , 14 = 1 . 2 . 7 , 5 = 1 . 5 ve 13 = 1 . 13 tür.
Buna göre 5, 7 ve 13 doğal sayılarının sadece iki çarpanı vardır.
a, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere; a sayısının 1 ve kendisinden baş-
ka doğal sayı böleni yoksa a sayısı asal sayıdır.
{2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, ...} asal sayılar kümesidir.
Örnek : a > 3 olmak üzere 3a4
+ a2
sayısının a tabanındaki yazılışını bulalım.
Çözüm :
Örnek : 8 tabanındaki (777) sayısının 1 fazlasının aynı tabandaki karşılığını bulalım.
Çözüm :
3aa a a a a a
30100
30100 42 4 3 2 1 0 + =
=
$$$$$
++++
a
] g dır.
Alt alta gelen rakamları toplarken 8 ve 8 den büyük sayı çıkınca bulunan
sayı 8’e bölünür. Kalan yazılır, bölüm de elde olarak alınır.
7
1
1 00
8
8
8
7 7
0
+
]
]
]
g
g
g139
Örnek : 75 sayısını asal sayıların çarpımı şeklinde yazalım. Bu sayıyı bölen kaç tane doğal sayı oldu-
ğunu bulalım.
Çözüm :
75 sayısını 1, 3, 5, 15, 25 ve 75 sayıları böldüğünden bu sayıyı bölen 6 tane doğal sayı vardır.
Örnek : olmak üzere 360 sayısını kaç tane doğal sayının böldüğünü bulmak için
ifadesinde x, y ve z sayıları yerine nelerin gelebileceğini inceleyelim.
Çözüm : olabilmesi için x = 0,1,2,3 , y = 0,1,2 ve z = 0, 1 değerlerini alabilir. Çarpma
yoluyla sayma kuralına göre 360 sayısını bölen 24 = (3 + 1) . (2 + 1) . (1 + 1) tane doğal sayı vardır.
N
235
235
xyz
3 2
!
$ $
$ $
235
235
xyz
3 2
$ $
$ $
360 2 3 5 3 2
= $ $
75
25
5
1
3
5
5
75 3 5 5 3 52
= = $$ $
A bir doğal sayı; a,b,c asal sayılar ve x,y,z doğal sayılar olmak üzere
olsun. A doğal sayısını bölen (x + 1) . (y + 1) . (z + 1) tane doğal sayı vardır.
A abc x yz
= $ $
Örnek : 144 sayısının doğal sayı bölenlerinin ve tam kare bölenlerinin sayısını bulalım.
Çözüm : olduğundan bu sayının tüm doğal sayı bölenlerinin sayısı: (4 + 1) . (2 + 1) = 5 . 3 = 15 tir.
144 sayısının olmak üzere 6 tane tam kare böleni
vardır.
Örnek : 45m
sayısının 28 tane doğal sayı böleni vardır. Buna göre m sayısını bulalım.
Çözüm : olmak üzere (m + 1) . (2m + 1) = 28 = 4 . 7 yazılabilir.
O hâlde 2m + 1 = 7 ⇒ 2m = 6 ⇒ m = 3 olarak bulunur.
Örnek : K = 1200 ... 0 sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 96 olduğuna göre K sayısı kaç basamaklıdır?
Çözüm :
O hâlde K = 12 . 105
olup bu sayı 7 basamaklıdır.
Örnek : 7! sayısının içinde kaç tane 2 çarpanı olduğunu bulalım.
Çözüm :
7! sayısının içinde 4 tane 2 çarpanı vardır. Bunu 7! = k . 24 , k ∈ N şeklinde yazabiliriz. 7 sayısını
sürekli 2 ye bölerek ve bütün bölümleri toplayarak da aynı sonucu bulabiliriz. Yani,
71 3 5 7 ! = 246
. . .
1 2 22 3 2
$ $$ $$ $
$ $ $
.
.
K dir
n n n n n n bulunur
12 10 2 3 2 5 3 2 5
1 1 2 1 1 96 3 1 48 3 8 5
n nn n n 2 2
8 6
& &&
== =
+ ++ + = + + = += =
54
+
$ $$ $ $ $
$$ $ ]] ] g gg ] g ] g
45 5 3 5 3 m mm 2 2
= = $ $
m
^ h
1 2 2 3 2 3 6 2 3 4 3 12 ,,,, ,
242 2 4 2 2 2 2
$ $$
= ==
2
] g
144 2 3 4 2
= $
7 2
6 3 2
1 2 1
1
⇒ 3 + 1 = 4 tane 2 çarpanı vardır.43 2
42 21 2
1 20 10 2
1 10 5 2
0 4 2 2
1 2 1
0
43 3
42 14 3
1 12 4 3
2 3 1
1
38 3
36 12 3
2 12 4 3
0 3 1
1
Örnek : k, n ∈ N ve 38! = k . 3n
olmak üzere n sayısının en büyük değerini hesaplayalım.
Çözüm :
n = 12 + 4 + 1 = 17 olarak bulunur.
Örnek : 43! = k . 2x
. 3
y olduğuna göre x + y toplamının en büyük değerini bulalım.
Çözüm :
140
43! sayısında 21 + 10 + 5 + 2 + 1 = 39 tane 2 çarpanı ve 14 + 4 + 1 = 19 tane 3 çarpanı vardır.
O hâlde x = 39 ve y = 19 olmak üzere x + y = 39 +19 = 58 olarak bulunur.
Örnekte görüldüğü gibi 43! sayısında 3 çarpanının sayısı, 2 çarpanının sayısından daha azdır.
Örnek : 8! sayısında kaç tane 6 çarpanının olduğunu bulalım.
Çözüm : 6 çarpanının kaç tane olduğunu bulabilmek için kaç tane 2 ve kaç tane 3 çarpanının olduğunu bulmamız gerekir. Fakat 6 çarpanının varlığı 3 çarpanına bağlıdır. Çünkü 3 çarpanı 8! sayısı içinde
2 çarpanından daha azdır.
Dolayısıyla 8! sayısı içinde 2 tane 6 çarpanı vardır (Görüldüğü gibi 8! sayısı içindeki 6 çarpanının
sayısı ile 3 çarpanının sayısı eşittir.).
Örnek : 6253
. 324
çarpımının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu ve sayının kaç basamaklı bir sayı olduğunu bulalım.
Çözüm : Verilen sayının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulabilmek için sayıda kaç tane 10 çarpanının bulunduğunu bulmamız gerekir. Buna göre,
bulunur.
O hâlde sayının sondan 12 basamağı sıfırdır. 28
= 256 olduğundan bu sayı 256 . 1012 olup 12 + 3 = 15 basamaklıdır.
625 32 5 2 5 2 2 2 2 10 5 2 52 3 4 4 3 5 4 12 20 12 12 8 8 8 12
$ $ $ $ $ $$ $
= == = =
12 ^ h ^ h ] g
!
olur.
8 12345678 123225237222
15722222323
4 6 8
6 6
= =
=
$$$$$$$ $$$$$$$$$$$
$$$$$$ $$$$
E E 678 44 44
Y Y141
Örnek : k,n ∈ N ve 40! + 41! = k . 7n
olmak üzere n sayısının alabilecegi en büyük değeri hesaplayalım.
Çözüm : 40! + 41! = 40! + 40! . 41 = 40! (1 + 41) = 40! . 42
40! sayısı içinde 5 tane 7 çarpanı vardır.
42 = 6 . 7 olduğundan 42 sayısı içinde 1 tane 7 çarpanı vardır.
40! + 41! = 40! . 6 . 7 = k . 7n
olduğundan n sayısının alabileceği en büyük değer 5 + 1 = 6 dır.
Örnek : 33! + 34! toplamının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulalım.
Çözüm :
33! sayısı içinde 6 + 1 = 7 tane 5 çarpanı vardır.
33! + 34! = 33! . 5 . 7 sayısında 7 + 1 = 8 tane 5 çarpanı vardır.
Dolayısıyla 8 tane 10 çarpanı vardır. O hâlde bu toplamın sondan
sekiz basamağı sıfırdır.
33 34 33 33 34 33 1 34 33 35 !!!! ! !
5 7
+=+ = +=
.
$
$$ $ ] g
40 7
35 5
5
33 5
30 6 5
3 5 1
1
⇒
22 5
20 4
2
Örnek : 22! – 1 sayısının sondan kaç basamağının 9 olacağını bulalım.
Çözüm :
22! sayısı içinde 4 tane 5 çarpanı olduğundan 4 tane 10 çarpanı vardır.
O hâlde 22! = k . 104
, k ∈ N yazabiliriz.
22! = k . 104
= k0000 olduğundan k0000 – 1 =m9999 (m ∈ N) olup sondan 4 basamak 9 dur.
Örnek : 0! + 1! + 2! + 3! + ... + 21! sayısının birler basamağındaki sayıyı bulalım.
Çözüm :
O hâlde 34 sayısının birler basamağı 4 olduğundan verilen toplamın birler basamağı 4 tür.
Örnek : a ve b pozitif doğal sayılar olmak üzere 72 . a = b3
koşulunu sağlayan en küçük a ve b değerlerini bulalım.
Çözüm : 72 . a = b3
⇒ 2
3
. 3
2
. a = b
3
olur. Eşitliğin sağ tarafı pozitif bir sayının küpüdür. O hâlde, eşitliğin
sol tarafının da bir sayının küpü olması için a çarpanının 3 olması gerekir. a = 3 olursa
2
3
. 3
2
.
3 = (2 . 3)3
= b3
ten b = 6 bulunur.
0 1 2 3 4 5 6 21 ! ! ! ! ! ! ! ... ! + + + + + + ++ 123 44444 44444 1 2 3 4444 4444
toplamdaki terimlerin her birinin birler basamağı sıfırdır. Çünkü her
bir terimde 10 = 2 . 5 çarpanı vardır.
1 1 2 6 24
34
++++ 123 44444 44444Aralarında Asal Sayılar
4 ile 9 sayıları asal olmamalarına rağmen, bu sayıları ortak bölen sayı 1 dir Buna rağmen 27 ile 15
sayıları asal olmamalarına rağmen bu sayıları ortak bölen sayılar 1 ve 3 sayılarıdır.
Örnek : Aşağıdaki sayı çiftlerinden aralarında asal olanları belirleyelim.
a. 5, 12 b. 3, 18 c. 25, 50 ç. 12, 25 d. 2, 33
Çözüm : 3 ile 18 sayıları 3’e ; 25 ile 50 sayıları 5’e bölündüklerinden aralarında asal değillerdir. a, ç, d
şıklarında belirtilen sayı çiftlerinin ortak böleni sadece 1 sayısı olduğundan bu sayı çiftleri aralarında
asal sayılardır.
Bölünebilme Kuralları
Tablodan 2 nin katı olan sayıları işaretleyiniz.
Bulduğunuz sayıların birler basamağı için ne söyleyebilirsiniz.
Bir sayının 2 ile bölünebilmesi için bir kural söyleyebilir misiniz?
Tablodan 3 ün katı olan sayıları işaretleyiniz.
Bulduğunuz sayıların rakamlarının toplamını karşılaştırı-
nız. Bu sayılar hangi sayının katıdır?
Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için bir kural söyleyebilir misiniz?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 18 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
142
1 den başka ortak böleni olmayan sayılara “aralarında asal sayılar” denir.
Tablodan 4 ün katı olan sayıları işaretleyiniz.
Bulduğunuz sayıların son iki basamaklarını karşılaştırınız. Bu sayılar hangi sayının katıdır?
Bir sayının 4 ile bölünebilmesi için bir kural söyleyebilir misiniz?
Tablodan 5 in katı olan sayıları işaretleyiniz.
Bulduğunuz sayıların birler basamağı için ne söyleyebilirsiniz?
Bir sayının 5 ile bölünebilmesi için bir kural söyleyebilir misiniz?
Tablodan 9 un katları olan sayıları işaretleyiniz.
Bulduğunuz sayıların her birinin rakamlarının toplamı hangi tam sayıya bölünür?
Bir sayının 9 ile bölünebilmesi için bir kural söyleyebilir misiniz?
Yandaki sayılar 8 ile bölünebilir mi?
Sayıların son üç basamağı 8 ile bölünebilir mi?
Bir sayının 8 ile bölünebilmesi için bir kural söyleyebilir misiniz?
1000 1184 1576 2112143
Aşağıdaki tablodaki noktalı yerleri örneğe uygun biçimde doldurunuz.
Tabloda yaptığınız işlemlerden yararlanarak bir sayının 11 ile bölünebilmesi için kural belirleyebilir
misiniz? Tartışınız.
Sayı Bölme İşlemi (Siyah renkli rakamların toplamı) – (Kırmızı renkli
rakamların toplamı)
187 187 = (1 + 7) – (8) = 8 – 8 = 0
319 319 = (...........) – (...........) = ......
92939 92939 = (...........) – (...........) = ......
617 617 = (...........) – (...........) = ......
2865 2865 = (...........) – (...........) = ......
319 11
...
....
92939 11
...
....
617 11
...
....
2865 11
...
....
187 11
11 17
77
77
0
6, 15 ve 18 ile bölünebilme için bir kural söyleyebilir misiniz?
2 ve 3 ile bölünebilen iki sayıyı yandaki kutuya yazınız.
Bulduğunuz bu iki
sayı aynı zamanda hangi sayıya bölünür? Yandaki kutuya yazınız.
3 ve 5 ile bölünebilen iki sayıyı yandaki kutuya yazınız.
Bulduğunuz bu iki
sayı aynı zamanda hangi sayıya bölünür? Yandaki kutuya yazınız.
2 ve 9 ile bölünebilen iki sayıyı yandaki kutuya yazınız.
Bulduğunuz bu iki
sayı aynı zamanda hangi sayıya bölünür? Yandaki kutuya yazınız.
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒144
2 ile Bölünebilme
Örnek : 146, 24, 18, 50, 62, 102, 34, 98, 100, 156 sayıları 2 ile tam bölünebilmektedir. Verilen sayılardan yararlanarak 2 ile bölünebilme kuralını bulalım.
Çözüm :
Bu sayıların birler basamağındaki rakam bir çift sayı ( 0,2,4,6,8 ) dır.
Örnek : 3 basamaklı 53k sayısının 2 ile tam bölünebilmesi için k nin alabileceği değerler toplamını
bulalım.
Çözüm : 53k sayısı 2 ile tam bölünebiliyorsa k çift sayı olmalıdır. O hâlde k nin alabileceği değerlerin
toplamı 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 20 dir.
3 ile Bölünebilme
Örnek : 12, 15, 18, 21, 24, 27 sayıları 3 ün katı olup 3 ile tam bölünebilmektedir. Verilen sayılardan
yararlanarak 3 ile bölünebilme kuralını bulalım.
Çözüm :
Bu sayıların rakamları toplamı 3 veya 3 ün katıdır.
, ,
, ,
12 1 2 3 15 1 5 6 18 1 8 9
21 2 1 3 24 2 4 6 27 2 7 9
+= += +=
+= += +=
,
,
,
,
,
,
,
,
5
1
6
10
2
3
14
15
1
9
0
00
2
2
4
4
6
6
8
8
Birler basamağı çift olan doğal sayılar 2 ile tam bölünebilir.
Bir doğal sayının 2 ile bölümünden kalan 0 ya da 1 dir.
Bir doğal sayıyı oluşturan rakamların toplamı 3 veya 3 ün katı ise bu doğal
sayı 3 ile tam bölünebilir.
,
Örnek : Üç basamaklı 2a8 sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için a nın alabileceği değerleri bulalım.
Çözüm : 2a8 sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamlarının toplamının 3 veya 3 ün katı olması gerekir. Buna göre,
2 + a + 8 = 10 + a dır. 10 + a nın 3 ün katı bir sayı olabilmesi için a nın alabileceği değerler; 2, 5 ve 8 dir.
Örnek : Aşağıdaki sayıların 3 ile tam bölünüp bölünemeyeceğini inceleyelim.
a. 110121 b. 9652 c. 170253 ç. 6410
Çözüm
a. olduğundan 3 e tam bölünür.
b. olduğundan 3 e tam bölünmez. Fakat 3 ile bölümünden kalan 1 dir.
c. olduğundan 3 e tam bölünür.
ç. olduğundan 3 e tam bölünmez. Fakat 3 ile bölümünden kalan 2 dir.
6410 6 4 1 0 11 3 3 +++= = + $
2
170253 1 7 0 2 5 3 18 3 6 +++++= = $
9652 9 6 5 2 22 3 7 +++= = + $
1
110121 1 1 0 1 2 1 6 3 2 +++++= = $Örnek : 23aa dört basamaklı sayısının üç ile bölümünden kalan 2 dir. Buna göre a nın alabileceği de-
ğerleri bulalım.
Çözüm :
23aa sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 ise 2 + 3 + a + a = 3k + 2, k∈N dir. O hâlde, 3 + 2a = 3k
olur. Buradan a nın alacağı değerler; 0, 3, 6 ve 9 olarak bulunur.
4 ile Bölünebilme
Örnek : 100, 104, 108, 312, 616, 420, 524, 728, 932, 836 sayıları 4 ün katı olup 4 ile tam bölünebilmektedir. Verilen sayılardan yararlanarak 4 ile bölünebilme kuralını bulalım.
Çözüm :
100 , 104 , 108 , 312 , 616 , 420 , 524 , 728 , 932 , 836
Bu sayıların, son iki basamağında ( birler ve onlar basamağında ) yer alan rakamların belirttiği sayı 4 ile tam bölünebilen doğal sayılardır.
Bir doğal sayının 3 ile bölümünden elde edilen kalan 0, 1 ya da 2 dir.
Bir doğal sayının 3 ile bölümünden kalan, o sayıyı oluşturan rakamların sayı değerlerinin toplamının 3 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir.
Bir doğal sayının son iki basamağını ( onlar ve birler basamağı ) oluşturan
sayı 4 ile tam bölünebiliyorsa bu sayı 4 ile tam bölünebilir.
145
Örnek : Üç basamaklı 7a2 sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için a nın alabileceği değerleri bulalım.
Çözüm : 7a2 sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için a2 iki basamaklı sayısının 4 ile tam bölünebilmesi
gerekir. Buna göre a nın alabileceği değerler; 1, 3, 5, 7 ve 9 dur.
Örnek : Aşağıdaki sayıların 4 ile tam bölünüp bölünemeyeceğini inceleyelim.
a. 1919 b. 1734 c. 10096 ç. 1881
Çözüm :
a. olduğundan 4 e tam bölünmez. Fakat 4 ile bölümünden kalan 3 tür.
b. olduğundan 4 e tam bölünmez. Fakat 4 ile bölümünden kalan 2 dir.
c. olduğundan 4 ile tam bölünebilir.
ç. olduğundan 4 e tam bölünmez. Fakat 4 ile bölümünden kalan 1 81 4 20 881 1 = + $
1 dir.
100 96 4 24 96 = $
1 34 4 8 734 2 = + $
19 19 4 4 19 3 = + $
Bir doğal sayının 4 ile bölümünden elde edilen kalan 0, 1, 2 ya da 3 tür.
Bir doğal sayının 4 ile bölümünden kalan, bu doğal sayının son iki basama-
ğının belirttiği sayının 4 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir.
Örnek : 532a dört basamaklı sayısının 4 ile bölümünden kalan 1 dir. Buna göre a nın alabileceği
değerlerin toplamını bulalım.
Çözüm : 532a sayısının 4 ile bölümünden kalan 1 ise a nın alabileceği değerler 1, 5 ve 9 dur. Buna göre
bu değerlerin toplamı 1 + 5 + 9 = 15 tir. 146
5 ile Bölünebilme
Örnek : 95, 100, 105, 110, 115, 120 sayıları 5 ile tam bölünebilmektedir. Verilen sayılardan yararlanarak
5 ile bölünebilme kuralını bulalım.
Çözüm :
95 , 100 , 105 , 110 , 115 , 120
Bu sayıların, son basamağındaki rakam 0 ya da 5 tir.
Örnek : Üç basamaklı 7ab sayısı 5 ve 3 ile tam bölünebiliyor. Buna göre a nın yerine gelebilecek rakamları bulalım.
Çözüm : 7ab sayısı 5 ile tam bölünebiliyor ise b rakamı 0 ya da 5 olmalıdır.
O hâlde, a nın yerine gelebilecek rakamlar 0, 2, 3, 5, 6, 8 ve 9 dur.
Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam 0 ya da 5 ise bu sayı 5 ile tam
bölünebilir.
b = 0 için, 7ab = 7a0 dır.
7a0 3 ile tam bölünebildiğinden,
a nın alabileceği değerler 2, 5 ve 8 dir.
70 7 0 7 3 a a a kk N ,
2
5
8
" ++=+= $
!
b = 5 için, 7ab = 7a5 tir.
7a5 sayısı 3 ile tam bölünebildiğinden,
a nın alabileceği değerler 0, 3, 6 ve 9 dur.
7 5 7 5 12 3 a a a kk N ,
0
3
6
9
" ++= += $
!
Örnek : Aşağıdaki sayıların 5 ile bölünüp bölünemeyeceğini inceleyelim.
a. 1526 b. 3295 c. 264258
Çözüm :
a. 1526 → Birler basamağı 6 olduğundan 5 ile tam bölünmez. Kalan 1 dir.
b. 3295 → Birler basamağı 5 olduğundan 5 ile tam bölünür.
a. 264258 → Birler basamağı 8 olduğundan 5 ile tam bölünmez. Kalan 3 tür.
8 ile Bölünebilme
Örnek : 1208, 1214 ve 1232 sayılarının 8 ile bölünüp bölünemediğini inceleyelim.
Çözüm :
Yukarıda 8 ile bölünebilen 1208 ve 1232 sayılarının son üç basamağının oluşturduğu sayı da 8 ile
tam bölünebilmektedir.
Bir doğal sayının 5 ile bölümünden elde edilen kalan 0, 1, 2, 3 veya 4 tür. Bir doğal sayının 5 ile bölünmesinden elde edilen kalan, bu doğal sayının birler basamağındaki rakamın
sayı değerinin 5 ile bölünmesinden elde edilen kalana eşittir.
1208 8
8 151
40
40
08
8
0
208 8
16 26
48
48
0
1214 8
8 151
41
40
14
8
6
214 8
16 26
54
48
6
1232 8
8 154
43
40
32
32
0
232 8
16 29
72
72
0147
Örnek : Dört basamaklı 210k sayısının 8 ile bölünebilmesi için k rakamının alabileceği değerleri bulalım.
Çözüm : 210k sayısının 8 ile bölünebilmesi için sayının son üç basamağının oluşturduğu sayı 8 ile tam
bölünebilmelidir. O hâlde 10k üç basamaklı sayısında k rakamı 4 olmalıdır.
Örnek : Aşağıdaki sayıların 8 ile tam bölünüp bölünemeyeceğini inceleyelim.
a. 4801 b. 4802 c. 4805 ç. 4816
Çözüm :
a. olduğundan 8 e tam bölünmez. Fakat sayının 8 ile bölümünden kalan 1 dir.
b. olduğundan 8 e tam bölünmez. Fakat sayının 8 ile bölümünden kalan 2 dir.
c. olduğundan 8 e tam bölünmez. Fakat sayının 8 ile bölümünden kalan 5 tir.
ç. olduğundan 8 e tam bölünür. 4 816 8 102 816 = $
4 805 8 100 805 5 = + $
4 802 8 100 802 2 = + $
4 801 8 100 801 1 = + $
Bir doğal sayının son üç basamağını oluşturan sayı 8 ile tam bölünebiliyorsa bu sayı 8 ile
tam bölünebilir.
Bir doğal sayının 8 ile bölümünden elde edilen kalan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ya da 7 dir.
Bir doğal sayının 8 ile bölümünden kalan, bu doğal sayının son üç basamağının belirttiği
sayının 8 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir.
9 ile Bölünebilme
Örnek : 18, 27, 36, 8127, 585 sayıları 9 un katı olup 9 ile tam bölünebilmektedir. Verilen sayılardan
yararlanarak 9 ile bölünebilme kuralını bulalım.
Çözüm :
Bu sayıların rakamları toplamı 9 veya 9 un katıdır.
Örnek : Üç basamaklı aa1 doğal sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için a rakamının alabileceği değerleri bulalım.
Çözüm : aa1 doğal sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için sayıyı oluşturan rakamların toplamının 9 veya
9 un katı olması gerekir.
a + a + 1 = 9 ⇒ 2a + 1 = 9 ⇒ a = 4 tür.
a + a + 1 = 18 ⇒ 2a + 1 = 18 ⇒ 2a = 17 olup bu eşitliği sağlayan bir rakam bulunamaz. O hâlde a
rakamının alabileceği tek değer 4 tür.
Örnek : Aşağıdaki sayıların 9 ile tam bölünüp bölünemeyeceğini bulalım.
a. 821 b. 588 c. 985
,
,
18 1 8 9 ,
8127 8 1 2 7 18
27 2 7 9
585 5 8 5 18
+ = 36 3 6 9
+++=
+ =
++=
+ =
Bir doğal sayıyı oluşturan rakamların toplamı 9 veya 9 un katı ise bu doğal sayı 9 ile tam
bölünebilir. 148
Çözüm :
a. olduğundan 9 a tam bölünmez. Fakat sayının 9 ile bölü-
münden kalan 2 dir.
b. olduğundan 9 a tam bölünmez. Fakat sayının 9 ile bölü-
münden kalan 3 tür.
c. olduğundan 9 a tam bölünmez. Fakat sayının 9 ile bölü-
münden kalan 4 tür.
Örnek : 75a4 sayısının 9 ile bölümünden kalan 5 ise a nın alabileceği değeri bulalım.
Çözüm : 75a4 sayısının 9 ile bölümünden kalan 5 ise 7 + 5 + a + 4 = 9k + 5 tir. O hâlde, 11 + a = 9k
dir. Buradan a nın alacağı değer 7 olarak bulunur.
11 ile Bölünebilme
985 9 8 5 22 9 2 ++= = + $
4
588 5 8 8 21 9 2 ++= = + $
3
821 8 2 1 11 9 1 ++= = + $
2
Bir doğal sayının 9 ile bölümünden elde edilen kalan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ya da 8 dir.
Bir doğal sayının 9 ile bölümünden kalan, bu doğal sayının rakamları toplamının 9 a bö-
lümünden elde edilen kalana eşittir.
Örnek : Üç basamaklı abc, cab ve bca doğal sayılarının toplamı 1443 tür. a < b = c koşulunu sağlayan abc doğal sayılarını bulalım.
Çözüm : Verilen üç basamaklı doğal sayılar çözümlenerek toplanırsa
O hâlde b = c = 6 için a = 1 ve b = c = 5 için a = 3 bulunur. Bu durumda istenilen sayılar 166 ve 355 tir.
Örnek : Üç basamaklı abc sayısı, iki basamaklı bc sayısının 46 katı olduğuna göre a + b + c toplamını hesaplayalım.
Çözüm :
, .
.
abc bc a bc bc
a bc a bc
a bc olarak bulunur
a b c dir
46 100 46
100 45 20 9
9 20
9 2 0 11
20 9
&
& &
&
= +=
= =
= =
++=++=
$$ $
$ $ $$
.
abc cab bca a b c c a b b c a
abc
a b c olarak bulunur
100 10 100 10 100 10 14 3
111 1443
13
4
&
&
+ + = + ++ + ++ + +=
++ =
++=
] g
Örnek : 28, 340, 1208 doğal sayılarını çözümleyelim.
Çözüm :
Örnek : İki basamaklı bir doğal sayı, basamaklarındaki rakamların toplamının iki katına eşittir. Bu sayıyı bulalım.
Çözüm : İki basamaklı doğal sayı ab olsun. Buna göre
ab = 2(a + b) ⇒ 10a + b = 2a + 2b ⇒ 8a = b dir. a ve b birer rakam olduğundan a = 1 ve dolayı-
sıyla b = 8 olmalıdır. O hâlde iki basamaklı bu doğal sayı 18 dir.
28
340
1208
2 10 8 1
3 100 4 10 0 1
1 1000 2 100 0 10 8 1
=
=
=
+
+ +
+ ++
$ $
$ $$
$ $ $$149
Örnek : 22, 132, 165 sayıları 11 in katı olup 11 ile bölünebilmektedir.
Örnek : Beş basamaklı 239a7 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için a rakamı ne olmalıdır?
Çözüm :
( k yerine başka bir doğal sayı seçildiğinde bulunacak a değeri rakam olmayacaktır.)
Aralarında Asal İki Sayının Çarpımı ile Bölünebilme
Örnek : 18, 24, 30, 36, 42 sayıları 6 nın katı olup 6 ile tam bölünebilmektedir. 6 = 2 . 3 olacak biçimde
aralarında asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Şimdi bu sayıların 2 ve 3 e tam bölünüp bölünmediğini inceleyelim.
18, 24, 30, 36 ve 42 sayılarının birler basamağındaki rakam çift olduğundan bu sayılar 2 ile tam bölünebilir.
18, 24, 30, 36 ve 42 sayılarının rakamlarının toplamı 3 ün katı olduğundan bu sayılar 3 ile tam bölünebilir.
Örnek : 15, 30, 45, 60, 75 sayıları 15 in katı olup 15 ile tam bölünebilmektedir. 15 = 3 . 5 olacak biçimde aralarında asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Şimdi bu sayıların 3 ve 5 e tam bölünüp bölünmediğini inceleyelim.
15, 30, 45, 60 ve 75 sayılarının rakamlarının toplamı 3 ün katı olduğundan bu sayılar 3 ile tam bö-
lünebilir.
15, 30, 45, 60 ve 75 sayılarının birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olduğundan bu sayılar 5 ile
tam bölünebilir.
Örnek : 18, 36, 54, 72, 90 sayıları 18 in katı olup 18 ile tam bölünebilmektedir. 18 = 2 . 9 olacak biçimde aralarında asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Şimdi bu sayıların 2 ve 9 a tam bölünüp bölünmediğini inceleyelim.
18, 36, 54, 72 ve 90 sayılarının birler basamağındaki rakam çift olduğundan bu sayılar 2 ile tam
bölünebilir.
18, 36, 54, 72 ve 90 sayılarının rakamlarının toplamı 9 un katı olduğundan bu sayılar 9 ile tam bö-
lünebilir.
- -
. .
a ak
a k a k olur k a a bulunur
2 3 9 7 2 9 7 3 11
18 3 11 15 11 1 15 11 4
&
&& &
++ - + =
--= - = = -= =
+ + +
$
$
] ] g g
a = x . y ve x ile y aralarında asal sayılar olmak üzere, bir doğal sayının a ile tam
bölünebilmesi için hem x e hem de y ye tam bölünebilmesi gerekir.
18 = 6 . 3 olmasına rağmen 6 ve 3 e bölünen her sayı 18 e bölünmez. Çünkü 6 ve 3 aralarında asal değildir. 24 sayısı buna bir örnektir; 6 ve 3 e bölünmesine rağmen 18 e bölünmez.
Benzer sebeple 15 ve 3 e bölünen her sayının 45 e, 12 ve 3 e bölünen her sayının 36 ya bö-
lünmeyeceğini söyleyebiliriz.
K bir doğal sayı ve bu doğal sayıyı oluşturan rakamlar sırasıyla k1
,k2
,k3
, ... ,kn
olsun.
( K = (k1
k
2
k
3
k
4
... kn
) ) Buna göre K sayısı 11 ile tam bölünebiliyorsa
(k1
+ k3
+ k5
+...+ kn
) – (k2
+ k4
+ ... + kn – 1) = 11k , n tek ve k ∈ N dir.
için150
Örnek : Beş basamaklı 23a4b sayısı 45 ile tam bölünebildiğine göre a + b toplamının alabileceği en kü-
çük ve en büyük değeri bulalım.
Çözüm : 23a4b sayısı 45 ile tam bölünebiliyorsa 45 = 5 . 9 olduğundan 5 ve 9 ile de tam bölünebilir.
23a4b sayısı 5 ile tam bölündüğünden b = 0 ya da b = 5 tir.
b = 0 ⇒ 23a4b = 23a40 tır.
23a40 9 ile tam bölünebildiğinden olup a = 0
ya da a = 9 bulunur. O hâlde a + b = 0 + 0 = 0 ya da a + b = 9 + 0 = 9 bulunur.
b = 5 ⇒ 23a4b = 23a45 tir.
23a45 9 ile tam bölünebildiğinden olup a = 4
bulunur. O hâlde a + b = 4 + 5 = 9 bulunur. Bu durumda a + b toplamının alabileceği en küçük değer 0,
en büyük değer ise 9 dur.
Örnek : Dört basamaklı 25ab sayısının 5 ile bölümünden kalan 2 dir. 25ab sayısı 12 ile tam bölünüyor
ise (a,b) ikilisinin kaç farklı değer alabileceğini bulalım.
Çözüm : 25ab sayısının 5 ile bölümünden kalan 2 ise, b = 2 veya b = 7 dir.
b = 7 için 25a7 sayısı 12 ye tam bölünüyorsa bu sayı hem 3 e hem de 4 e tam bölünür. 25a7 tek sayı olduğundan ve 4 e tam bölünmediğinden 12 ye de tam bölünmez. O hâlde b = 7 olamaz.
b = 2 için 25a2 sayısı 12 ye tam bölünüyorsa, bu sayı hem 3 e hem de 4 e tam bölünür.
25a2 4 e tam bölünüyorsa a sayısı 1, 3, 5, 7 ya da 9 olabilir.
25a2 3 e tam bölünüyorsa 2 + 5 + a + 2 = 9 + a, 3 ün katı olmalı. O hâlde a sayısı 0, 3, 6 ya da 9 olabilir.
Buna göre, olacak şekilde (a,b) ikilisi 2 farklı değer alabilir.
Örnek : Beş basamaklı 21a3b sayısının 45 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre (a,b) ikilisinin kaç
farklı değer alabileceğini bulalım.
Çözüm : Beş basamaklı 21a3b sayısının 45 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre bu sayının 9 ve 5
ile bölümünden kalan 4 tür.
21a3b sayısının 5 ile bölümünden kalan 4 ise b = 4 veya b = 9 dur.
b = 4 için 21a34 sayısının 9 ile bölümünden kalan 4 ise 2 + 1 + a + 3 + 4 = 10 + a = 9k + 4 olacak
biçimde k ∈ N
+
vardır. O hâlde a = 3 olmalıdır.
b = 9 için 21a39 sayısının 9 ile bölümünden kalan 4 ise 2 + 1 + a + 3 + 9 = 15 + a = 9k + 4 olacak
biçimde k ∈ N
+
vardır. O hâlde a= 7 olmalıdır.
Buna göre (a,b) = (3,4) ve (a,b) = (7,9) olacak şekilde (a,b) ikilisi 2 farklı değer alabilir.
Örnek : Beş basamaklı 5a34b sayısı 55 ile tam bölünüyorsa a nın yerine gelebilecek rakamların toplamını bulalım.
Çözüm : 5a34b sayısı 55 ile tam bölünüyorsa bu sayı 5 ve 11 ile tam bölünür.
5a34b sayısı 5 ile tam bölünüyorsa b = 0 ya da b = 5 tir.
b = 0 için 5a340 sayısı 11 ile tam bölünüyorsa;
(0 + 3 + 5) – (4 + a) = 4 – a = 11k olacak şekilde k ∈ N vardır. O hâlde a= 4 olmalıdır.
b = 5 için 5a345 sayısı 11 ile tam bölünüyorsa;
(5 + 3 + 5) – (4 + a) = 9 – a = 11k olacak şekilde k ∈ N vardır. O hâlde a = 9 olmalıdır.
Buna göre a nın yerine gelebilecek rakamların toplamı 9 + 4 = 13 tür.
" "" 13579 0369 39 32 92 ,,,, ,,, , , , , , , ,, + === olup a b veya a b ^^ ^^ hh hh
23 45 2 3 4 5 14 9 a a a kk N ,
4
++++= += ! .
23 40 2 3 4 0 9 9 a a a kk N ,
0 9
++++=+ = ! 547
3
30
15
5
5
1
126
63
21
7
7
1
2
3
5
151
OBEB ve OKEK
Aşağıdaki tabloda kenar uzunlukları (x,y) sayı ikilileri ile gösterilen dikdörtgenler verilmiştir.
Buna göre her bir dikdörtgenin içini boşluk kalmadan doldurabilecek eş karelerin kenar uzunlukları-
nı bularak tabloya yazınız.
Kenar uzunlukları tabloda verilen dikdörtgenlerle oluşturulabilecek en küçük üç karenin kenar uzunluklarını bularak tabloya yazınız.
Kenar uzunlukları 20 cm ve 12 cm olan dikdörtgen biçimindeki kâğıdı en büyük eş kareler şeklinde kesmeniz isteniyor. Bu sayılar için bulduğunuz OBEB ve OKEK değerlerinden hangisi bunun için size
yardımcı olur? Açıklayınız.
Kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan dikdörtgen biçimindeki kâğıtlardan kaç tanesini birleştirirseniz en
küçük kareyi bulursunuz? Bu sayılar için bulduğunuz OBEB ve OKEK değerlerinden hangisi bunun için
size yardımcı olur? Açıklayınız
Ortak Bölenlerin En Büyüğü
Örnek : 12 ve 18 sayılarının bölenlerini inceleyelim. Bu iki sayıyı da bölen en büyük sayıyı bulalım.
Çözüm :
12 sayısının bölenleri ; 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 dir.
18 sayısının bölenleri ; 1, 2, 3, 6, 9 ve 18 dir.
12 ve 18 sayılarının ortak bölenleri ; 1, 2, 3 ve 6 dır.
O hâlde 6 sayısı, 12 ve 18 sayılarının en büyük ortak bölenidir.
Örnek : 30 ve 126 sayılarını asal çarpanlarına ayırarak bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğünü kı-
sa yoldan bulalım.
Çözüm : 1.yol:
2.yol:
30
126
235
23 7 2
=
=
-
-
$
$
$ $
$ $
30
15
5
1
2
3
5
126
63
21
7
1
2
3
3
7
İki ya da ikiden fazla doğal sayının her birini tam bölen sayıların en büyüğüne,
bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğü denir. Kısaca OBEB biçiminde gösterilir.
( x , y )
Dikdörtgenin içine sığabilecek karelerin kenar
uzunlukları
OBEB (x,y) OKEK (x,y)
Dikdörtgenlerle oluşturulabilecek karelerin kenar
uzunlukları
( 20 , 12 )
( 18 , 12 )
( 6 , 8 )
( 9 , 15 )
2 ve 3 sayıları 30 ve 126 yı ortak bölen sayılardır. O hâlde,
bu sayıların çarpımı 30 ve 126 yı ortak bölen en büyük sayı olur.
OBEB (30, 126) = 2 . 3 = 6 dır.
30 ve 126 nın ortak asal çarpanlarının en küçük üslülerinin çarpımı bu sayıların
ortak bölenlerinin en büyüğüdür. O hâlde,
OBEB (30, 126) = 2 . 3 = 6 dır.152
Örnek : Bir izci kampına Antalya’dan 60, Bilecik’ten 48 ve Ankara’dan 84 öğrenci katılmıştır. Her ilin öğ-
rencileri bir arada olmak koşuluyla çadırlara eşit sayıda yerleşeceklerdir. Buna göre en az kaç çadır gerektiğini bulalım.
Çözüm :
Çadır sayısının en az olması için her çadırda eşit sayıda mümkün olduğu kadar çok öğrenci kalmalıdır. O hâlde 60,48 ve 84’ün en büyük ortak böleni, her bir çadırda kalabilecek en fazla öğrenci sayısı-
nı verir. Bu durumda,
Örnek : Birinde 48 litre, diğerinde 56 litre farklı yoğunlukta süt bulunan iki bidondaki sütler birbirine
karıştırılmadan şişelere doldurulmak isteniyor. Buna göre;
a. Kullanılacak şişelerin en fazla kaç litrelik olacağını,
b. Kaç şişe kullanılacağını bulalım.
Çözüm :
a. Kullanılacak şişelerin kapasitesi 48 ile 56 sayılarının OBEB dür.
OBEB(48,56) = 23
= 8 olur. Şişelerin kapasitesi 8 litredir.
b. şişe kullanılır.
Ortak Katların En Küçüğü
Örnek : 12 ve 18 sayılarının katlarını inceleyelim. Bu iki sayının ortak katlarını yazarak en küçüğünü bulalım.
Çözüm :
12 sayısının katları ; 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, ... dir.
18 sayısının katları ; 18, 36, 54, 72, 90, 108, ... dir.
12 ve 18 sayılarının ortak katları ; 36, 72, 108, ... dir.
O hâlde 36 sayısı, 12 ve 18 sayılarının en küçük ortak katıdır.
Örnek : 20 ve 135 sayılarını asal çarpanlarına ayırarak bu sayıların ortak katlarının en küçüğünü kısa
yoldan bulalım.
8
48
8
56 + =+= 6 7 13
2
2
7
48
24
12
6
3
1
56
28
14
7
7
7
1
2
2
3
2
60
30
15
15
15
5
1
48
24
12
6
3
1
84
42
21
21
21
7
7
1
2
2
2
5
7
3
OBEB (60, 48, 84) = 2 . 2 . 3 = 12 olup her çadırda en fazla 12 öğ-
renci kalabilir. Buna göre çadır sayısı;
bulunur. 12
60
12
48
12
84 + + =++= 5 4 7 16
İki ya da ikiden fazla doğal sayının her birinin katı olan doğal sayılardan en küçüğü-
ne, bu sayıların ortak katlarının en küçüğü denir. Kısaca OKEK biçiminde gösterilir. 153
Çözüm :
1.yol :
OKEK (20, 135) = 22
. 33
. 5 = 540 tır.
2.yol:
Örnek : Boyutları 18 x 12 cm olan farklı renklerdeki kâğıtlardan elde edilecek karenin;
a. Bir kenarının uzunluğunu,
b. Kaç tane kâğıt kullanılacağını bulalım.
Çözüm :
a. Karenin bir kenarı 12 ile 18 sayılarının OKEK i dir.
OKEK(12, 18) = 22
. 32
= 36 olur. En küçük karenin bir kenarı 36 cm olur.
b. Kullanılan karenin sayısı :
Örnek : 180 + x sayısı 6, 8, 18 sayılarıyla tam bölünüyorsa x sayısının alabileceği en küçük değeri bulalım.
Çözüm : 6, 8, 18 sayılarıyla tam bölünen bir sayı 6, 8 ve 18 in ortak katı olmalıdır.
Örnek : 460 sayısından en az kaç çıkarılmalıdır ki kalan sayı 12, 7 ve 15 ile tam bölünebilsin.
Çözüm : 12, 7 ve 15 ile tam bölünebilen sayı 12, 7 ve 15 in OKEK i ya da OKEK in tam katlarıdır.
12
6
3
1
7
7
7
7
7
1
15
15
15
5
1
2
2
3
5
7
6
3
3
3
1
8
4
2
1
18
9
9
9
3
1
2
2
2
3
3
olur.
12 18
36 36
32 6
1 1
3 2
= ==
$
$
$
12
6
3
1
18
9
9
3
1
2
2
3
3
20
135
2 5
3 5
2
3
=
=
$
$
20
10
5
1
2
2
5
135
45
15
5
1
3
3
3
5
20
10
5
5
5
5
1
135
135
135
45
15
5
1
2
2
3
3
3
5
OKEK(6,8,18) = 23
. 32
= 72 olur.
72 ve 72 sayısının katları 6, 8 ve 18 e tam bölünür. 180 + x sayısındaki x in en
küçük olması için 72 nin 3 katını alalım.
3 . 72 = 216 = 180 + x ise x = 36 olur.
Karenin alanı
Kâğıdın alanı
OKEK(12,7,15) = 22
. 3 . 5 . 7 = 420 olur.
O hâlde 460 sayısından 40 çıkarılırsa kalan sayı 12, 7 ve 15 ile tam bölünür.
20 ve 135 in ortak asal çarpanlarının en büyük üslüleri ile
ortak olmayan asal çarpanlarının çarpımı bu iki sayının ortak
katlarının en küçüğüdür. O hâlde
OKEK(20, 135) = 22
. 33
. 5 = 540 tır.154
ALIŞTIRMALAR
1. Yandaki toplama işleminde x < y < z olacak şekilde ardışık x, y ve z rakamları
için y rakamını bulunuz.
2. a2b üç basamaklı sayısında a ile 2 nin yerleri değiştirildiğinde sayı 450 azalıyor. Buna göre a sayısını bulunuz.
3. (1024)5
= (x)3
ise x kaçtır?
4. (32)4
. (13)4 = (x)2 ise x kaçtır?
5. a, b, c, d birbirinden farklı rakamlar olmak üzere (abcd)6 sayısının alabileceği en büyük ve en kü-
çük değerlerin toplamını bulunuz.
6. K = (444)2
+ (222)2
– (111)2
sayısının asal çarpanlarını bulunuz.
7. 53! + 54! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?
8. a ∈ Z
+
olmak üzere ifadesini bir tam sayı yapan en büyük a değeri kaçtır?
9. Beş basamaklı 4257a sayısının 4 ile bölümünden kalan 1 ise a nın alabileceği değerleri bulunuz.
10. Dört basamaklı 2xxy sayısı, 3 ve 5 ile bölünebilen bir tek sayı olduğuna göre x in alabileceği değerleri bulunuz.
11. 30 basamaklı, 777...7 sayısının, 9 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz.
12. 3, 4 ve 7 sayılarına ayrı ayrı bölündüğünde 2 kalanını veren en küçük doğal sayıyı bulunuz.
13. 36 ile x sayıları için OKEK (36 , x) = 99 , OBEB (36 , x) = 28 ise x kaçtır?
14. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, x = 5a + 3 = 7b + 5 = 9c + 7 eşitliğini sağlayan en küçük x sayı-
sı kaçtır?
15. 2! + 4! + 6! + ... +2050! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
16. 1! + 2! + 3! + ... + 77! toplamının 15 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
!
9
62
a
xzy
zyx
+
yxz
1998155
TAM SAYILAR
Everest Tepesi, 8884 metreye ulaşan
yüksekliği ile Dünya’nın en yüksek noktasıdır. Nepal ve Çin arasında bulunan bu
tepe, Himalaya Dağları üzerinde ve Nepal
ülke sınırları içinde yer alır. Buna karşın;
okyanusların en derin noktası, Pasifik Okyanusu’nda, Guam Adası’nın güneybatı
tarafındaki Mariana Çukuru’dur (Filipin
Çukuru). Derinliği tam 11 033 metre olup
suya atılan bir kilogram kütlesindeki bir
cismin Mariana Çukuru’na ulaşması tam
bir saat sürer.
Everest Tepesi’nin yüksekliğini + 8884 m olarak gösterirsek, Filipin Çukuru’nun derinliğini nasıl ifade edersiniz?
Sadece doğal sayıların elemanları 8 + x = 3 denkleminin çözümü için yeterli midir? Nedenini açıklayınız.
Aşağıdaki işlemleri yapınız. Sırasıyla sonuçları yandaki kutudan karşılaştırarak anahtar kelimeyi bulunuz.
a. b.
c. ç.
d. e.
f.
Örnek : –3 + (10 : 2) – 7 . 4 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm : –3 + (10 : 2) – 7 .4 = –3 + 5 – 28
= –31 + 5 = – 26 bulunur.
- + 3 1 3
] g
]
+ ++ 3 17 g
$ ] ] -2g g ] ] - +- 5 23 g g
- -- + 15 5 8 3 : ] g +-- - 3 25 5 6 @ ] ] g g :
-+ - 6 55 3 : - -- + 14 2 4 2 : 6 @ ] ] g g $
Tam sayılar kümesi negatif tam sayılar kümesinin (Z–
) , sıfırın ve pozitif tam sayılar
kümesinin (Z+
) birleşiminden oluşan bir kümedir. O hâlde,
Z
–
= {... ,–4, –3,–2,–1} , {0} ve Z+
= {1, 2, 3, 4, ...} kümelerinin birleşimi
Z = Z–
, {0} , Z
+ (tam sayılar kümesi) ni oluşturur.
Doğal sayılar kümesi tam sayılar kümesinin alt kümesidir. Yani NfZ dir.
E
–2
Ü
+1
N
11
L
–28
G
–8
V
2
İ
–26
156
Tam Sayılar Kümesinde Toplama İşlemi
Yandaki tablolarda verilen işlemleri yapınız.
Bulduğunuz sayılar hangi sayı kümesine aittir?
İki tam sayının toplamı yine bir tam sayı mıdır? Açıklayınız.
Bulduğunuz sonuçları karşılaştırınız.
Tam sayılar toplanırken toplanan sayıların sırası önemli midir? Açıklayınız.
İşlemlerin sonucunu etkilemeyen sayı kaçtır?
Tam sayılar kümesinde toplamı etkilemeyen sayı kaçtır? Açıklayınız.
İşlemlerin sonucunda bulduğunuz sayılar için ne söyleyebilirsiniz?
Toplama işleminde bir elemanın tersini nasıl bulursunuz?
Örnek : Yandaki tablo bir işletmenin kasasındaki günlük para giriş çıkışını göstermektedir. Pazartesi 2500 TL ile haftaya başlayan işletmenin
kasadaki günlük para miktarlarını ve hafta bitiminde kasasında kaç TL olacağını bulalım.
Çözüm : (+2500) + (–2000) = +500
(+500) + (+6700) = +7200
(+7200) + (–3000) = +4200
(+4200) + (–1000) = +3200
(+3200) + (+1500) = +4700
(+4700) + (+2000) = +6700
(+6700) + (–4000) = +2700 Hafta bitiminde işletmenin kasasında 2700 TL olur.
Tam sayılar toplanırken toplanan sayıların işaretleri aynı ise sayıların toplamına ortak işaret verilir. Toplanan tam sayılar farklı işaretli ise mutlak değerce büyük olan
sayıdan küçük olan sayı çıkarılır ve mutlak değerce büyük olan sayının işareti verilir.
(+5) + (+7)
(–7) + (+3)
(+9) + (–4)
(+3) + (–8)
(–8) + (+3)
(+3) + (–8)
[(– 2) + (+5)] + (–7)
(– 2) + [(+5) + (–7)]
(–5) + 0
0 + (+7)
(+7) + (–7)
(–4) + (+4)
Kasadaki Para Giriş Çıkış
Pazartesi 2500 – –2000
Salı 6700 –
Çarşamba – –3000
Perşembe – –1000
Cuma 1500 –
Cumartesi 2000 –
Pazar – –4000157
Her a,b ∈ Z olmak üzere a + b = b + a olduğundan tam sayılar kümesinde
toplama işleminin değişme özelliği vardır.
Her a, b ∈ Z olmak üzere a + b ∈ Z olduğundan tam sayılar kümesi toplama
işlemine göre kapalıdır.
Tam Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri
1. Kapalılık Özelliği
Örnek : 7 ve –10 tam sayılarının toplamı olan (+7) + (–10) = –3 sayısı bir tam sayıdır. Benzer şekilde
her a ve b tam sayısı için a + b toplamı yine bir tam sayıdır.
2. Değişme Özelliği
Örnek : (–5) + (–2) ve (–2) + (–5) toplamlarını karşılaştıralım.
Çözüm :
3. Birleşme Özelliği
Örnek : toplamlarını karşılaştıralım.
Çözüm :
tür.
4. Etkisiz Eleman
Örnek : (–7) + 0 ve 0 + (–7) işlemlerinin sonuçlarını karşılaştıralım.
Çözüm :
dir.
5. Toplama İşlemine Göre Bir Elemanın Tersi
Örnek : (–5) + (+5) ve (+5) + (–5) işlemlerinin sonuçlarını karşılaştıralım.
Çözüm:
dır.
5 50
5 50
& 5 5 5 50
- ++ =
+ +- =
- ++ =+ +- =
] ]
] ]
]] ]]
g g
g g 3 gg gg
70 7
077
& 7 00 7
- + =-
+ - =-
- + = +-
]
]
] ]
g
g
3 g g
3 2 3 3 12
3 2 3532
& 3 23 32 3 - + - + + = - + + =-
- + - + + =- + + =-
- + - ++ = - +- ++
] ] ] ] ]
] ] ] ]
] ] ] ] ] ]
g g g g g
g g g g
g g g g g g
6
6
6 6 @
@
4 @ @
]
- + - ++ - +- ++ 3 23 32 3 g 6 6 ] g ] ] g g @ @ ve ] g ] g
tir.
5 27
2 57
& 52 25
- + - =-
- + - =-
- +- =- +-
] ]
] ]
] ] ] ]
g g
g g
3 g g g g
Her a,b,c ∈ Z için (a + b) + c = a + (b + c) olduğundan tam sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
Her a ∈ Z olmak üzere a + 0 = 0 + a = a olduğundan tam sayılar kümesinde toplama işleminin birim elemanı vardır ve sıfırdır.
Her a ∈ Z ve –a ∈ Z için (+a) + (–a) = (–a) + (+a) = 0 olduğundan tam sayılar kümesinde her elemanın tersi vardır ve sayının ters işaretlisidir. 158
Tam Sayılar Kümesinde Çarpma İşlemi
Örnek : Aşağıdaki çarpma işlemleri yapılırken nelere dikkat edildiğini inceleyelim.
Yukarıdaki çarpma işlemlerinde aynı işaretli iki tam sayının çarpımı, pozitif bir tam sayı; ters işaretli
iki tam sayının çarpımı, negatif bir tam sayıdır.
Tam Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Özellikleri
Yandaki tablolarda verilen işlemleri yapınız.
Bulduğunuz sayılar hangi sayı kümesine aittir?
İki tam sayının çarpımı yine bir tam sayı mıdır? Açıklayınız.
Bulduğunuz sonuçları karşılaştırınız.
Tam sayılar çarpılırken çarpılan sayıların sırasının önemi var mıdır?
Açıklayınız.
İşlemlerin sonucunu etkilemeyen sayı kaçtır?
Tam sayılar kümesinde çarpma işleminde sonucu etkilemeyen sayı
kaçtır? Açıklayınız
(–5) ile çarpıldığında 1 sayısına eşit olan bir tam sayı var mıdır?
Bir tam sayının çarpma işlemine göre tersi var mıdır? Açıklayınız.
Yandaki işlemleri inceleyerek 0 ın işlevini açıklayınız.
1. Kapalılık Özelliği
Örnek : (–2) . (–3) , (+8) . (+2) , (–1) . (+1) , (+3) . (–3) , (–1) . 0 çarpımlarından elde edilecek sayılar yine bir tam sayıdır. Benzer şekilde her a ve b tam sayısı için a . b yine bir tam sayıdır.
2. Değişme Özelliği
Örnek : (–6) . (+3) ve (+3) . (–6) işlemlerini yaparak sonuçlarını karşılaştıralım.
Çözüm :
dır.
6 3 18
3 6 18
& 63 36
- + =-
+ - =-
- + =+ - $
$
$ $
] ]
] ]
]] ]]
g g
g g 3 gg gg
]] ] - - =+ + + =+ - + =- + - =- 8 5 40 3 4 12 2 7 14 6 5 30 gg g $$$$ ;;; ] ]] g gg ] ] g g
İki tam sayı çarpılırken aynı işaretli iki tam sayının çarpımı pozitif, ters işaretli iki tam sayının çarpımı negatif alınarak çarpma işlemi yapılır.
Her a,b ∈ Z olmak üzere a . b ∈ Z olduğundan tam sayılar kümesi çarpma
işlemine göre kapalıdır.
(+4) . (–3)
(+5) . (+6)
(–2) . (–7)
(+2) . (–3)
(–2) . (+3)
(+3) . (– 2)
[(– 2) . (+5)] . (–1)
( – 2) . [(+5) . (–1)]
(–9) . (+1)
(+1) . (–4)
(–5) . x 1
0 . (–7)
(–4) . 0159
Her a,b,c ∈ Z için a . (b .c) = (a . b) . c olduğundan tam sayılar kümesinde
çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
Her a ∈ Z için a . 1 = 1 . a = a olduğundan tam sayılar kümesinde çarpma
işleminin etkisiz (birim) elemanı vardır ve 1 dir.
Her a ≠ 1, a ∈ Z olmak üzere a . x = 1 olacak şekilde bir x tam sayısı bulunamayacağından tam sayılar kümesinde 1 den başka hiçbir elemanın tersi yoktur.
İki tam sayı birbirinden çıkarılırken çıkan sayının işareti değiştirilerek işlem
toplama işlemine dönüştürülür ve toplama işlemi yapılır.
3. Birleşme Özelliği
Örnek : işlemlerini yaparak sonuçlarını karşılaştıralım.
Çözüm :
tür.
4. Etkisiz Eleman
Örnek : (–7) . (+1) ve (+1) . (–7) işlemlerini yaparak sonuçlarını karşılaştıralım.
Çözüm :
dir.
5. Çarpma İşlemine Göre Bir Elemanın Tersi
Örnek : –7 tam sayısının bir x tam sayısı ile çarpımı, çarpma işleminin etkisiz elemanına eşit midir?
İnceleyelim.
Çözüm : Çarpma işleminin etkisiz elemanı 1 olmak üzere,
olur. O hâlde (–7) tam sayısının çarpma işlemine göre tersi yoktur.
Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi
Örnek : Aşağıdaki çıkarma işlemleri yapılırken nelere dikkat edildiğini inceleyelim.
Çözüm :Yukarıdaki çıkarma işlemlerinde çıkan sayının işareti değiştirilerek toplama işlemi yapılmıştır.
;
;
8 5 8 5 13
8 8 8 80
3 7 3 7 10
3 10 3 10 7
- - + = - + - =-
- - =- + =
+ - - = + + + =+
- + + - + = + + - =-
]] ]]
]] ]]
] ] ] ]
]] ]]
gg gg
gg gg
g g g g
g gg g
7 1 xx Z 7
1 ] g - = =- $
& g
7
717
177
& 71 17
- + =-
+ - =-
- + = + - =- $
$
$ $
] ]
] ]
]] ]]
g g
g g 3 gg gg
12 3 236
1 23 166
& 12 3 1 23 + + - = + - =-
+ + - = + - =-
+ + - =+ + - $$ $
$$ $
$$ $$
] ] ] ] ]
] ] ] ] ]
] ] ] ] ] ]
g g g g g
g g g g g
g g g g g g
6
6
6 6
@
@
4 @ @
6] ] ++ - + +- 12 3 1 23 g g $$ $$ @ ] g
ve ] ] g g 6 ] g@
Her a,b ∈ Z olmak üzere a . b = b . a olduğundan tam sayılar kümesinde
çarpma işleminin değişme özelliği vardır. 160
Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi
Örnek : Aşağıdaki bölme işlemleri yapılırken nelere dikkat edildiğini inceleyelim.
Yukarıdaki bölme işlemlerinde aynı işaretli iki tam sayının bölümü, pozitif bir tam sayı; ters işaretli iki
tam sayının bölümü negatif bir tam sayıdır.
Örnek : Aşağıdaki işlemleri yapalım.
a. b.
c. ç.
d. e.
Çözüm :
Örnek : 26 tam sayısının 3 tam sayısına bölümü bir tam sayı mıdır? İnceleyelim.
Çözüm :
yani, 26 = 3 . 8 + 2 dir.
Örnek : –55 tam sayısının 7 ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı bulalım.
Çözüm :
yani –55 = 7 . (–8) + 1 dir.
Örnek :
Yandaki bölme işlemine göre a sayısının alabileceği en küçük doğal sayı değerini
bulalım.
Çözüm :
a = 5b + 3 ve b > 3 olduğundan b = 4 alınırsa a sayısının alabileceği en küçük değer,
a = 5 . 4 + 3 = 23 olarak bulunur.
. .
. .
.: .
: :: .
.: : .
.: .
a tir
b dir
c olur
tir
d olur
e olur
4 1 5 4 4 5 45
3 5 7 3 5 71
4 1 3 5 15 4 3
3
1
3
20 2 4 3 5 3 20 2 8 3 20 10 3 2 3 5
3 5 8 7 9 2 8 3 3 7 7 8 9 7 9 7 16
5 2 1 6 2 10 1 3 14
$
- +- - + =- ++ + =
- + - - - = - + - + + =-
- + - - = - + =-
- - - - = - + - = - - =- - =-
- - - - - =- - - - = -- = ++ =
- - -- + = ++ + =
$
$ $
$
$ $
$
] ] ] ] ]
] ] ] ] ] ]
] ] ] ]
] ]] ]
]] ] ]] ] ]
] ] ] ] ]
g g g g g
g g g g g g
g g g g
g gg g
g g g gg g g
g g g g g
6
6 5
6 5
@
@ ?
@ ?
- -- -- 3 : 5 8 79 2 8 ]
- - -- + 5 2 1 62 g
$
] ] g g ]
: g
$
]] ] gg g 6 @
- - -- 20 : 2 4 3 5 3 $
4 1 3 5 15 -+ - -: ] ] g g 6 @ $ $ ] g 6 @ ] ] g g
- +- - + 4 1 54 ] ] - +- -- 357 g g ] g
$
] ] g g ] g
]] ]] ]] ]] - - =+ + + =+ - + =- + - =- 63 2 6 3 2 6 3 2 6 3 2 gg g g g g g g : ;: ;: ;:
Her x,y,z ∈ Z ve y ≠ 0 olmak üzere x = y . z ise z sayısı x in y sayısına
bölümüdür. şeklinde gösterilir. x = y . z ise z
y
x
=
26 3
24 8
2
a b
5
3
dir.
ç.
–55 7
–56 –8
+1
x y
z
0161
Örnek : a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. Buna göre 5b + 6a + c = 35 denklemini sağlayan
en büyük ve en küçük c değerlerini bulalım.
Çözüm :
c sayısının en büyük olabilmesi için a ve b değerleri en küçük seçilmelidir. Buna göre a = 1 ve b = 2
seçilirse 5 . 2 + 6 . 1 + c = 35 ⇒ c = 19 bulunur.
c sayısının en küçük olabilmesi için a ve b değerleri en büyük seçilmelidir. Buna göre a = 2 ve
b = 4 seçilirse 5 . 4 + 6 . 2 + c = 35 ⇒ c = 3 bulunur.
Örnek : a, b ve c sıfırdan farklı pozitif tam sayılar ve
olduğuna göre a sayısının alabileceği en küçük tam sayı değerini bulalım.
Çözüm :
a = 5b + 3 ve b = 7c + 2 ⇒ a = 5 (7c + 2) + 3 ⇒ a = 35c + 13 tür.
c > 2 olduğundan c = 3 seçilirse a = 35 . 3 + 13 = 118 olarak bulunur.
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a. b.
c. ç.
2. kesrini tam sayı yapan a tam sayılarını bulunuz.
3. olmak üzere x . y = 35 , y + z = –13 ise z . x + z . y ifadesinin alabileceği en büyük
değer kaçtır?
Yandaki bölme işleminde, c + k kaçtır?
5. a bir çift tam sayı ise ifadesi çift midir?
6. Ardışık 10 tane tek sayının toplamı 240 ise bu sayıların en küçüğü kaçtır?
20 5 - +a
2
] g
xyz Z , , !
-
a
3
3 15 +
-- + -+ - + 8 5 1 3 7 2 3 15 : :
$
-- + -- - 15 3 2 7 3 2 : 5 ? 6 ] g @
$
6 @ ] g
- - - - -- -- - 7 3 4 1 3 8 12 4 : :
$
4 5 1 3 75 5 - + - -- + -: 6 6 ] g ] g@ @ ] g ] g
$
] ]] g gg 6 @
A, B, C, K!N, B ! 0 ve 0 ≤ K < B olmak üzere
ise A = B . C + K dir.
Bir bölme işleminde elde edilen kalan ya sıfırdır ya da bölen sayıdan daha
küçük pozitif bir tam sayıdır.
a 5
b
3
b c
7
2
abababab ab
c
k
4.
A
K
B
C125 3
41
2
91 3
30
1
36 3
12
0
x y
k
162
MODÜLER ARİTMETİK
Kriptoloji şifre bilimidir. Kriptografi Yunanca gizli anlamına
gelen “graf” dan türetilmiştir. Kriptografi bilgi güvenliği ile uğ-
raşır. “Kripto analiz” güvenli bilginin kırılması anlamına gelir.
Kriptoanalistler genelde şifre çözmeye dayalı çalışırlar. Kriptoloji bir matematik bilimidir ve genelde sayılar teorisi üzerine
kuruludur.
Şifreleme yöntemleri Sezar’ın generallerine gönderdiği mesajlardan başlamaktadır. Sezar generallerine öyle metinler yollamıştır ki metinlerdeki A harfi yerine D, B harfi yerine E, ... kullanmıştır. Böylece
şifre biliminin temeli o günlerde atılmıştır. Sezar şifresinden de anlayacağımız gibi şifre bilimi belli bir
sistematiklik içermektedir.
Yukarıda yapılan şifreleme gibi bütün tam sayıları şifreleyebilir misiniz? Açıklayınız.
Modül Kavramı ve Kalan Sınıfları
Alfabemizdeki ilk 29 harfi 0 dan 28 e kadar olan sayılarla eşleyiniz.
Tüm tam sayıları bu türden bir sistemle nasıl şifreleyebilirsiniz?
1 - 29 - 22 - 57 - 49 - 68 şifresini bu kurala göre çözünüz.
Saat 15:00 in öğleden sonra 3 olarak söylenmesinin bu sistemle nasıl bir benzerliği vardır?
Tüm tam sayıları 8 tane sayıyla ifade etmek istersek nasıl bir sistem kullanmalıyız? Nedenini açıklayınız.
Tam sayıların 6 ile bölümünden elde edilen kalanların denklik sınıflarının kümesi tir. Bu
küme matematikte Z / 6 olarak adlandırılır. Buna göre aşağıdaki tabloda verilen boşlukları doldurunuz.
Yukarıdaki tabloda yaptığınız işlemlerden yararlanarak n ≥ 1 olmak üzere Z / n kümesi için bir genelleme yapılabilir mi? Tartışınız.
Örnek : Aşağıdaki bölme işlemlerini inceleyelim. Bir sayının 3 ile bölümünden kalanları söyleyelim.
3⏐(125 – 2) 3⏐(91 – 1) 3⏐(36 – 0) y⏐(x – k)
Çözüm : Yukarıdaki bölme işlemlerinde bölen 3 olduğunda kalanlar sırasıyla 2, 1, 0 sayıları olmuştur.
Görüldüğü gibi herhangi bir sayının 3 ile bölümünden kalan 0, 1 ve 2 sayılarından biridir. Kalan olarak
bu üç sayıdan başka sayı elde edilmez. 3 sayısına bu bölme işleminin modülü denir.
" , 01 345 , ,2,,,
Bölen Kalanlar Denklik Sınıflarının Kümesi
Tam
Sayılar
2
3
4
5
6 0, 1, 2, 3, 4, 5 Z / 6 = " , 012345 ,,,,,163
Kalan 0 ( sıfır ) olduğunda buna tam bölünme ( kalansız bölünme ) adını vermiştik. O hâlde tüm sayıların 3 e bölümünden kalanlar üç tanedir. Kalanı bu sayılar olan tüm sayıların kümesi aslında tam sayı-
lar kümesinin tamamıdır. Tüm tam sayıları 3 küme olarak aşağıdaki gibi yazıp birinci kümeyi , ikinci kü-
meyi ve üçüncü kümeyi ile gösterirsek,
3’ e bölündüğünde 0 kalanını verenler ,
3’ e bölündüğünde 1 kalanını verenler ,
3’ e bölündüğünde 2 kalanını verenler olur.
Sayfa 162 de bulunan örnekteki bölme işlemlerinde 3 e bölümün tam olması için bölünenden kalan
çıkarılmıştır. Bu durumda bulunan sayının 3 e tam bölündüğü belirtilmiştir. O hâlde kümesinden seçilen bir x elemanı için x – 0 sayısı daima 3 e tam bölünür.
Aynı şekilde;
kümesinden seçilen bir y sayısı için y – 1,
kümesinden seçilen bir z sayısı için z – 2 daima 3 e tam bölünür.
Yukarıda kümelerindeki sayılar (mod 3) e göre sırasıyla 0, 1 ve 2 ye denk olan sayılardır.
Örnek : Z / 2, Z / 3, Z / 8 kalan sınıflarını yazalım.
Çözüm : Z / 2, tam sayıların 2 ye bölümünden elde edilen kalanların kümesidir.
Aynı şekilde; olur.
Örnek : a, b, c ∈ Z , m ∈ Z
+
ve m > 1 için a ≡ b (mod m) denkliğinin yansıma, simetri ve geçişme özelliklerinin olduğunu gösterelim.
Çözüm :
a – a = 0 , 0 | m olduğundan a ≡ a (mod m) ( yansıma özelliği),
(simetri özelliği),
(geçişme özelli-
ği)dir.
Görüldüğü gibi (mod m) ye göre denkliğin yansıma, simetri ve geçişme özellikleri vardır ve denklik ba-
ğıntısıdır.
Örnek : m ∈ Z
+
olmak üzere 50 ≡ 5 (mod m) denkliğini sağlayan m değerlerini bulalım.
Çözüm :
yazılabilir. O hâlde m 45 in pozitif bölenleridir. Bunlar;
m ∈ {3,5,9,15,45} olur.
50 5 mod m ise m m / ] ] g g 50 5 45 - &
( )
( )
mod
mod
mod
a b m a bm
b c m b cm
a b b c m a cm a m c
&
&
& &&
/
/
/
-
-
-+- -
]
]
]] ] ]
g
g
6 @ gg g g 4
a b m a bm b am b m / / ]] ] ] mod mod gg g g &&& - - a
Z Z /3 , , , /8 , , , , , , , = = " " 012 01234567 , ,
Z 01 /2 , = " ,
01 2 , ve
2
1
0
= --- = " , ..., , , , , , , ,... 7 4 1 2 5 8 11 2
= --- = " , ..., , , , , , , ,... 8 5 2 1 4 7 10 1
= --- = " , ..., , , , , , , , ,... 9 6 3 0 3 6 9 12 0
1 2
0
x herhangi bir tam sayı, m ve k 1 den büyük iki tam sayı olmak üzere;
x – k farkı m ye tam bölünüyorsa x sayısı (mod m) ye göre k sayısına denktir denir ve x ≡ k (mod m) ⇔ m⏐(x−k) şeklinde yazılır.
m > 1 olmak üzere tam sayıların m ye bölümünden kalanların oluşturduğu
kümeye kalan sınıfları denir ve Z / m şeklinde gösterilir. 75 7 5 bk k mod olur. O hâlde; 125 125 = + & / ] g
.
mod
mod
mod
mod
mod mod
mod
ile
bulunur
72 5
74 5
71 5
71 5
7 1 5 72 5
72 5
1
2
4
4 31
124 1
125
/
/
/
/
/ /
/
31
]
]
]
^ ]
] ]
]
g
g
g
h g
g g
g
taraf tarafa çarpılırsa
164
Modüler Aritmetik ile İlgili Özellikler
Yukarıdaki bölme işlemlerinden elde edilen kalanları bulunuz.
Bölünen sayıların toplamının 5 ile bölümünden kalanı bulunuz.
Bölünen sayıların çarpımının 5 ile bölümünden kalanı bulunuz.
Yukarıda yaptığınız her işlemi a ≡ b (mod m) biçiminde ifade ediniz.
Bu işlemlerden elde ettiğiniz kalanlar için ne söyleyebilirsiniz?
Bu ifadelerden yararlanarak nasıl bir genelleme yapabilirsiniz? Açıklayınız.
Örnek : 7
125 sayısının 5 e bölümünden kalanı bulalım.
Çözüm :
Buradan 7125 sayısının 5 e bölümünden kalanın 2 olduğunu söyleyebiliriz.
Örnek : ∀ a,b,c,d ∈ Z ve m ∈ Z
+
için a ≡ b (mod m) ve c ≡ d (mod m) ise
1. a + c ≡ b + d (mod m) 2. a . c ≡ b . d (mod m) olduğunu gösterelim.
Çözüm :
1. a ≡ b (mod m) ve a – b = mk, k ∈ Z
+
, c ≡ d (mod m) ve c – d = mt, t ∈ Z
+
olduğundan
2.
a ≡ b (mod m) ⇒ a
k
≡ b
k
(mod m) olur.
mod .
a c mk b mt d m kt mkd mtb bd m mkt kd tb bd
a c ms bd a c b d m dir
s Z
2
& /
= + += + + + = ++ +
= +
! +
$ $
$ $$
]] ]
]
gg g
g
123 4444 444
c d m m c d ve c mt d t Z / ! mod & - =+ , ,
+
] g
a b m m a b ve a mk b k Z / ! mod & - =+ , ,
+
] g
mod
, ,
, .
a b c d mk t k t Z
a c b d m k t k t Z a c b d m dir &
!
! /
-+-= + +
+- + = + + + +
+
+
] ]
] ] ] ]
g g
g g g g
28 5 34 5
Ayrıca,Örnek : 1245 + 3255 sayısının 7 ye bölümünden kalanı bulalım.
Çözüm :
Öyleyse olur ve kalan 3 tür.
Örnek : 14531881 sayısının birler basamağındaki rakamı bulalım.
Çözüm : 14531881 sayısının birler basamağındaki rakamı bulabilmek için bu sayının 10 ile bölümünden
kalanı bulmamız gerekir.
O hâlde sayısının birler basamağındaki rakam 3 tür.
Örnek : 3
125 + 5152 sayısının 6 ile bölümünden elde edilen kalanı bulalım.
Çözüm :
3
125 / 3 (mod 6) ile 5152 / 1 (mod 6) taraf tarafa toplanırsa 3125 + 5152 / 4 (mod 6) elde edilir.
O hâlde 3125 + 5152 sayısının 6 ile bölümünden kalan 4 tür.
,
,
,
,
,
,
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
3
3
3
3
3 6
3 6
3 6
3 6
5
5
5
5
5 6
1 6
1 6
1 6
2
3
125
2
2
h 152
/
/
/
/
/
/
/
/
76
]
]
]
]
]
]
]
]
]
g
g
g
g
g
g
g
g
g
Z
14531881 1453 3 10 mod elde edilir.
1881 / ] g
,
,
,
,
.
mod
mod
mod
mod
mod
mod mod
olur
ile
1453
1453
1453
1453
1453
1453
3 10
9 10
7 10
1 10
1 10
1 10 1453 3 10
1
2
3
4
4 470
1880 1
/
/
/
/
/
/ /
]
]
]
]
]
]
] ]
g
g
g
g
g
g
g g
12 32 6 4 10 3 7 mod 45 55 + + / // ] g
dır.
dır.
taraf tarafa çarpılırsa
1245 ile 3255 sayılarının kalanlarını ayrı ayrı bulup toplayabiliriz.
,
,
,
,
,
.
,
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod mod
mod
ile
olur
12 5 7
12 4 7
12 6 7
12 2 7
12 1 7
12 1 7
12 1 7 12 6 7
12 6 7
1
2
3
4
6
6
42 3
45
/
/
/
/
/
/
/ /
/
7
]
]
]
]
]
^ ]
] ]
]
g
g
g
g
g
h g
g g
g
,
,
32 1 ,
32 ,
,
32 32
32
1
.
mod
mod
mod
mod
mod
mod mod
mod
ile
olur
32 4 7
32 2 7
7
7
32 1 7
7 7
7
4
4
4
1
2
3
4
3
51 4
55
/
/
/
/
/
/ /
/
17
]
]
]
]
^ ]
] ]
]
g
g
g
g
h g
g g
g
taraf tarafa çarpılırsa
taraf tarafa çarpılırsa
165
∀ a,b,c,d ∈ Z ve m ∈ Z
+
için
a ≡ b (mod m) ve
c ≡ d (mod m) ise
a + c ≡ b + d (mod m)
a . c ≡ b . d (mod m) dir.166
Örnek : a ∈ Z
+ olmak üzere denkliğini sağlayan a değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm : dır. Yani a tam sayısı 50’yi tam
bölmelidir.
a ∈ Z
+ olduğundan 50 nin doğal sayı bölenleri 1, 2, 5, 10, 25 ve 50 dir. a nın alabileceği değerlerin
toplamı, 2 + 5 + 10 + 25 + 50 = 92 olarak bulunur.
Örnek : 666777 + 999888 sayısının birler basamağındaki rakamı bulalım.
Çözüm : 666777 + 999888 sayılarının birler basamağındaki rakamı bulalım.
666777 + 999888 sayısının birler basamağındaki rakam 6 + 1 = 7 olur.
Örnek : olduğuna göre x in yerine gelebilecek en küçük doğal sayıyı bulalım.
Çözüm :
dir. O hâlde x in alabileceği en küçük doğal sayı 2 dir.
Örnek : olduğuna göre x in alabileceği en küçük doğal sayı değerini bulalım.
Çözüm :
Örnek : olduğuna göre y nin en küçük değerini bulalım.
Çözüm :
o hâlde y = 3 olur.
25 1 mod 9 y
/ ] g
14 6 x mod 2006
/ ] g
mod
mod
mod
mod
mod
x
x
x
x
x
2 4
2 42
2
2
2 6
22 6
4 6
22 6
2 6
/
/
/
/
/
+
++ +
$
]
]
]
]
]
g
g
g
g
g
_
`
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
2 42 6 x+ / ] g mod
,
,
,
.
,
,
,
.
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
dur
dur
666
666
666
666
6 10
6 10
6 10
6 10
999
999
999
999
9 10
1 10
1 10
1 10
1
2
3
777
1
2
2
888
444
h
/
/
/
/
/
/
/
/
444
]
]
]
]
^
]
]
]
]
g
g
g
g
h
g
g
g
g
123 44 44
54 4 54 4 50 / // ] ]] mod mod mod a aa g gg & & - 0 0
54 4 / ] g mod a
14 ün tek kuvvetleri 2 ye, çift kuvvetleri 4 e denk olduğundan
14 4 6 mod yazabiliriz. 2006
/ ] g
mod
mod
mod
mod
14
14
14
14
2 6
4 6
2 6
4 6
1
2
3
4
/
/
/
/
]
]
]
]
g
g
g
g
_
`
a
b
b
b
b
b
b
mod
mod
mod
25
25
25
7 9
4 9
1 9
1
2
3
/
/
/
]
]
]
g
g
g
_
`
a
b
b
b
b
∀ a,b,c,d ∈ Z ve m ∈ Z
+
için
a ≡ b (mod m) ⇔ a – b ≡ 0 (mod m) 167
Örnek : olduğuna göre x in en küçük doğal sayı değerini bulalım.
Çözüm :
23463
/ 0 (mod ile 23462342
ile 23462342 / a (mod taraf tarafa çarpılırsa, 23463
taraf tarafa çarpılırsa, 23463. 23462342
/ 0 (mod dir.
dir. O hâlde 23462345 sayısı 8 e tam bölünür.
Örnek : a sayısının 7 ye bölümünden kalan 4 ve b sayısının 7 ye bölümünden kalan 3 ise a2 b
3
+ 41 sayısının 7 ye bölümünden kalanı bulalım.
Çözüm :
a
2 b
3
+ 41 sayısının 7 ye bölümünden kalan 4 tür.
Örnek : toplamının 6 ile bölümünden kalanı bulalım.
Çözüm :
O hâlde dır ve kalan 5 tir.
Örnek : toplamının birler basamağında hangi rakam vardır?
Çözüm :
O hâlde,
Örnek : 11 ile bölünebilme kuralını modüler aritmetik yardımıyla gösterelim.
Çözüm :
x doğal sayısı şeklinde n + 1 basamaklı sayı olsun. x sayısı,
xa a a a a n 10 10 10 10 ... yazılabilir. n
n
n
n
n
1
1
2
2
= + + ++ + - 1 0
-
-
-
$$ $ $
aa a a aa nn n n --- 1 2 3 10 ...
73 6 . 7 9 10 10 mod mod bulunur 4 1 42 k k + + / / + + ]] ] gg g
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
.
mod
mod
mod
mod
mod mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod mod
dur dur mod
7
7
7
7
7
7
7 10
9 10
3 10
1 10
1 10 1 10
7 10
3
3
3
3
3
3
3 10
9 10
7 10
1 10
1 10 1 10
9 10
k
k
k k
k
k
2
3
4
4
4 1
2
3
4
4
4 2
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
+ +
]
]
]
]
] ]
]
]
]
]
]
] ]
]
g
g
g
g
g g
g
g
g
g
g
g g
g
7 3 41 42 k k + + +
35 45 55 60 1 3 1 0 5 6 mod 36 45 75 60 + + + +++= / ] g
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
35
35
35
35
5 6
1 6
1 6
1 7
45
45
45
45
3 6
3 6
3 6
3 6
55
55
60
60
1 6
1 6
0 6
0 6
1
2
2 18
36
18
1
2
3
45
1
75
1
60
h
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
^
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
h
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
35 45 55 60 36 45 75 60 +++
mod
mod
mod
mod
mod
mod
mod
a
a
b
b
b
a b
a b
4 7
2 7
3 7
2 7
6 7
41
26 5 7
56 4 7 2
2
3
2 3
2 3
&
/
/
/
/
/
/
/
/
+ + /
$
]
]
]
]
]
]
]
g
g
g
g
g
g
g
_
`
a
b
b
b
b
,
,
.
mod
mod
mod dir
2346 2 8
2346 4 8
2346 0 8
1
2
3
/
/
/
]
]
]
g
g
g
2346 8 x mod 2345
/ ] g168
olur. Bu durumda toplamı 0 ya da 11 in katı olduğundan bu sayı 11 ile tam bölünür. Çünkü
bu sayı x in 11 ile bölümünden kalana eşittir.
Örnek : 5 756 542 sayısının 11 e bölümünden kalanı bulalım.
Çözüm :
olduğundan bu sayı 11 e tam bölünür, kalan 0 (sıfır) dır.
Z / m Kümesinde İşlemler
Z / 5 te toplama ve çarpma işlemlerinin tablolarında bırakılan boşlukları doldurunuz.
Tablolara göre, toplama ve çarpma işlemlerinin sonuçları yine Z / 5 in elemanı mıdır?
Z / 5 te toplama ve çarpma işlemlerinin kapalılık özelliği var mıdır? Açıklayınız.
Z / 5 toplama ve çarpma işlemlerinin değişme özelliği var mıdır? Açıklayınız.
ve işlemlerinin sonuçlarını karşılaştırınız.
Z / 5 te toplama ve çarpma işlemlerinin birleşme özelliği var mıdır? Açıklayınız.
Tablolarda boş bırakılan kısımlara işlemlerin sonuçlarını yazınız.
İşlemlerin sonucunu etkilemeyen sayı hangisidir?
Z / m de toplamanın sonucunu etkilemeyen eleman hangisidir? Açıklayınız.
İşlemlerin sonucunu etkilemeyen sayı hangisidir?
Z / m de çarpmanın sonucunu etkilemeyen eleman hangisidir? Açıklayınız?
ile toplandığında sayısına eşit olan bir sayı var mıdır?
ile toplandığında sayısına eşit olan bir sayı var mıdır? ın işlevini açıklayınız.
Z / 5 te toplama işlemine göre bir elemanın tersi bulunabilir mi? Araştırınız.
4 0 0
2 0
2 34 5 5] g ] g 23 4 + 5
5 756 542
+++ - - -
+
-
& 2456575 0 -+-+-+=
aaaa 0123 -+-+...
xa a a a a a a a a a 10 10 10 10 11 .... .... mod n
n
n
n
01 2 n
2
1
1
=+ + + + -+-+ -
/ 0123
-
$ $ ] g
10 1
10 1
mod
mod
mod
mod
mod
11
10 10 1 11
11
10 10 1 11
10 1 11
0
1
2
3
4
/
/ /
/
/ /
/
-
-
]
]
]
]
]
g
g
g
g
g
_
`
a
b
b
b
b
b
b
b
b
mod 11 e göre bir sayıya 11 in katlarını ekleyerek ya da çıkararak bu
sayıya denk sayılar elde edilir.
10 / 10 – 11 / – 1 (mod 11) dir.
Görüldüğü gibi 10 un tek kuvvetleri –1 e, çift kuvvetleri +1 e denktir.
O hâlde,
5 0 1 2 3 4
0 2 4
1
2 0
3 4
4 1
3 5 0
0 5 2
4 7 1
2 7 1
2 5 x 0
4 5 x 0
7 0 1 2 3 4
0 0 0
1
2 4
3 3
4 2169
Örnek : kümesinde aşağıdaki işlemlerini yapalım.
a. b. c. ç.
Çözüm : Z / 5 kümesinde tanımlanan işlemler için (mod 5) ifadesini kullanalım.
işlemlerinin tabloları da yapılabilir.
Örnek : Yukarıdaki tablolara göre;
işlemlerindeki ve yi bulalım.
Çözüm :
Toplama ve Çarpma İşleminin Özellikleri
1. kümesi işlemlerine göre kapalıdır.
için dir.
2. Z / m kümesinde değişme ve birleşme özellikleri vardır.
için
dir.
3. işleminde; işleminde etkisiz elemandır.
için dır.
4. işlemine göre Z / m kümesinde her elemanın tersi vardır.
Örneğin, tersi tür. Çünkü dır. ün tersi ise
olduğundan
5. işlemine göre Z / m kümesinde her elemanın tersi yoktur.
Örneğin Z / 5 te
tür.
ün tersi tür.
Z / 4 te ün tersi tür.
Fakat denklemini sağlayan olmadığından yoktur. 2 1 7 a = a 2 nin tersi
3 3 33 1 7 / dir.
4 4 44 1 7 / dir.
2 3 in tersi 23 1 7 / dir.
1 1 11 1 in tersi dir dir . . 7 /
7
2 dir.
Z5 1 / te 4 1 0 5 4 / Z5 3 / te 32 0 5 /
5
6ab m , / ! Z 0 01 1 55 77 a a a ve a a a // //
0 ,5 1,7
a b b a ve a b c a b c
a b b a ve a b c a b c
5 5 55 55
7 7 77 77
/ /
/ /
^ ^
^ ^
h h
h h 6abc m ,, / !Z
6ab m , / !Z a b Z m ve a b Z m 5 7 ! ! / /
Z m/ 5 7 ve
. .
. .
a a a a olur
b b b b olur
24 3 2 4
2 31 2 2 1
3 & &
& &
55 5
77 7
/ //
/ //
^ ^
^ ^
h h
h h
aa bb . . ]
3 24 2 31 55 77 g
/ / ] g
a b
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
5 7
5 7 ve
.
.
.
mod
mod
mod
mod
a
b
c
34 7 2 5
123 6 1 5
23 6 1 5
4 2 2 8 2 10 0 5
5
5 5
7
75 5
/ /
/ /
/ /
/ //
]
]
]
^ ]
g
g
g
h g
35 4 123 5 5 2 3 7 ^ h 42 2 7 5
Z 5 0 12 3 4 / ,, , , = # - 5 7 ve
ç.170
Örnek : Z / 5 te denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
Ç dir.
Örnek : Z / 5 te sayıların karelerini ve kareköklerini bulalım.
Çözüm :
Z / 5 te ün karekökü yoktur.
Örnek : Z / 5 te denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
Ç = olur.
Örnek : Z / 5 te denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
Ç olur.
Örnek : Z / 5 te i bulalım.
Çözüm :
.
ƒ
ƒ ƒƒ
y
y
y
x
x
x
x
x
y
y y
x x olur x y x y
3
3
3 2
3 23
3
23 2 3
2 1
2 1
1
1 1
& +
+
+
=
=
=
+
+ +
=
=
+
+ =
=+ = =
-
- -
$
_
^
] ] ^
i
h
g g 6 hB
ƒ ƒ x x ise x 3 2 1
= + -
] ] g g
= ! + 2
. . . ,.
x
x
x
x
x
2 1
2 14
2
3 2
0
0 4
4
3 4 3 2 6 1 4 3 12 2
2
// /
+
+ +
=
=
=
=
=
+
^ h =
_
`
a
b
b
bb
b
b
bb
2x10 + =
" , 3
x
x
x
ise
3
3 2
1
1 2
3
+
+ +
=
=
=
+
_
`
a
b
b
b
b
x3 1 + =
2 3 ve
,
,
.
O h lde
ve
ve
olur
0
1
2
3
4
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
0
1
4
4
1
1
4
0
1 4
2 3
0
2
2
2
2
2
/
/
/
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
$
$
$
$
$
_
`
a
b
b
b
b
b
b
b
b
=" , 2
,
,
x
x
x
x
x
2 4
2 41
2
3 2
3
3 1
4
4 3
2
415 0
23 6 1
/
/
+
+ +
=
=
=
=
=
+ +=
$$ $
=
]
]
g
g
2 43 x+ =
â171
ALIŞTIRMALAR
1. Z / 2 , Z / 5 ve Z / 12 kümelerini yazınız.
2. 40 / 4 (mod x) denkliğini sağlayan kaç tane x > 1 doğal sayısı vardır?
3. olduğuna göre x in alabileceği en küçük doğal sayı değerini bulunuz.
4. toplamının 6 ya bölümünden kalanı bulunuz.
5. 114228 sayısı (mod 7) ye göre kaça denktir?
6. 172006 / x (mod 11) olduğuna göre x in alabileceği en küçük doğal sayı değeri kaçtır?
7. Saat 5:00 dan 20062006 saat sonra saatinin kaç olacağını bulunuz?
8. Z / 7 de karekökü olan sayıları bulunuz.
9. denkliğinin çözüm kümesini bulunuz.
10. fonksiyonunun kuralını bulunuz.
11. 777889 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
12. x üç basamaklı bir sayı olmak üzere, ise x in alabileceği en
küçük değer kaçtır?
13. sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
14. k∈N olmak üzere sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
15. a sayısının 6 ile bölümünden kalan 2 ve b sayısının 6 ile bölümünden kalan 5 ise a4
. b3
sayısının
6 ile bölümünden kalan kaçtır?
16. Z / 6 kümesinde işleminin sonucu kaçtır?
17. 8
43 . 736 sayısının 9 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz.
18. Z / 5 kümesinde denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
19. 2
71 in 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
20. 1 10 1 x G olmak üzere, denkliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır? 18 0 -x x / ] g mod
3 14 x+ =
5 4 5 3 43 $ $ ] g + ++
3 5 42 65 k k +
+ +
5
1976
x ve x / / 38 79 ] ] mod mod g g
Z de x x ise x /12 2 10 ƒ ƒ 1
= + -
] ] g g
2x5 3 9 + / ] g mod
7 8 9 10 26 27 28 29 +++
6 53 7 x+ / ] g mod172
RASYONEL SAYILAR
Kadınbudu köfte:
kg yağsız koyun veya dana kıyması
su bardağı pirinç
3 adet yumurta ve 1 adet yumurtanın akı
büyük soğan
demet maydanoz
Tuz
Karabiber
su bardağı kızartma yağı
çay bardağı un
Yukarıda kadınbudu köfte yapmak için gerekli olan malzemeler verilmiştir. Kesirli sayılar olmasaydı
bu yemek tarifi verilirken ne gibi güçlüklerle karşılaşılırdı?
Rasyonel Sayı Kavramı
Yukarıda tarifi verilen yemeği yapmak isteyen bir kişi 1 kg kıyma, 1 demet maydanoz ve bir soğan almıştır.
Kıyma, maydanoz ve soğanın ne kadarını kullanacaktır? Hesaplayınız.
Kullandığı soğanın, bütün soğanın ne kadarı olduğunu nasıl ifade edersiniz?
Örnek : Tam sayılar kümesinde; 3x = 12 , 5x = –15 ve 3x = 7 denklemlerinin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm : 3x = 12 ⇒ x = 4 ∈ Z dir. O hâlde Ç = {4},
5x = –15 ⇒ x = –3 ∈ Z dir. O hâlde Ç = {–3},
dir. O hâlde Ç = { },
dir. O hâlde Ç = { } olur.
3x = 7 ve 5x = –1 denklemlerinin tam sayılar kümesinde çözümü boş kümedir. Bu denklemlerin
çözülebilmesi için tam sayılar kümesinden daha geniş bir kümeye ihtiyaç vardır.
5 1 xxZ 5
1
=- =- & !
3 7 xx Z 3
7
= = & g
3
2
1
2
1
2
2
3
1
2
1
2
173
Örnek : rasyonel sayılarından hangilerinin birbirine denk olduğunu bulalım.
Çözüm :
dur.
tür.
Yandaki sayı doğruları üzerinde , , ve sayılarını gösteriniz.
Her bir sayının karşılık geldiği yerleri karşılaştırınız.
Bu sayılardan birini diğerinin yerine kullanabilir misiniz?
Bu durumu matematiksel olarak nasıl ifade edersiniz?
8
4
6
3
4
2
2
1
olup 21
9
7 3
3 3
7
3
21
9
7
3
/
- =
- =
- --
$
$
olup 3
2
3 5
2 5
15
10
3
2
15
10
= = /
$
$
, , ve 3
2
21
9
15
10
7
- -3
Bir rasyonel sayının pay ve paydası aynı tam sayı ile çarpılırsa ya da aynı sayı ile bö-
lünürse sayının değeri değişmez.
Çarpma işlemiyle rasyonel sayı genişletilmiş, bölme işlemiyle sayı sadeleştirilmiş olur.
a ≠ 0 olmak üzere dur.
a ≠ 0 olmak üzere tanımsızdır. a
0
a
0 Q
0
= !
a,b ∈ Z ve b ≠ 0 olmak üzere, biçimindeki sayılar rasyonel sayılardır.
Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir.
Tam sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesinin alt kümesidir. Yani Z ⊂ Q dur.
b
a
0 1
0 1
0 1
0 1
Örnek : sayıları birer rasyonel sayıdır. sayılarında görüldüğü gibi her tam sayıyı rasyonel sayı olarak yazabiliriz.
ve 1
8
8
1
5
= 5
- , ,, =- 5
3
7
2
1
8
1
- -5174
olmak üzere rasyonel sayıları birbirine
denktir. Yani;
.
b
a
d
c
/ + a d c b dir
$ $
=
a d c b oluyorsa b
a
ve d
c ,
$ $
=
b
a
d
c
! Q
Örnek :
Örnek : Bir kesrin değeri dir. Bu kesrin payına 4 eklenirse ve paydasından 4 çıkarılırsa kesrin değeri oluyor. Bu kesri bulalım.
Çözüm : Değeri şeklinde yazabiliriz. Buna göre,
Örnek : rasyonel sayılarının eşit olması için x in hangi değeri alacağını bulalım.
Çözüm :
Rasyonel Sayılar Kümesinde Toplama İşlemi
Selda evinin sini maviye, ünü sarıya boyatıyor.
sayıları hangi sayı kümesine aittir?
Selda evinin ne kadarlık bölümünü boyatmıştır?
Evin kaçta kaçı boyatılmamıştır?
Rasyonel sayılarda toplama işlemi yaparken nelere dikkat ettiniz? Açıklayınız.
ve 5 4
1 3
4
3
5
1
.
x x
x x
x x
x olur
3
1
5
2 1 5 1 32 1
5 56 3
8
&
&
&
+ =
- += -
+= -
=
] ] g g
x
ve x
3
1
5
+ - 2 1
.
k
k
k k
k k
k k olarak bulunur
O h lde kesir a
5 4
2 4
11
10 11 2 4 10 5 4
22 44 50 40
28 84 3
5 3
2 3
15
6
-
+ = += -
+= -
= =
=
&
&
& &
$
$
] g ] g
olan kesri k
k
5
2
5
2
$
$
11
10
5
2
dir.
7
2
14
4
= = + 2 14 4 7 $ $
â dır.175
Örnek : Aşağıdaki işlemleri yapalım.
a. b. c. ç. d.
Çözüm :
a.
b.
c.
ç.
d. tür.
Rasyonel Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri
Aşağıdaki boş bırakılan kutulara işlemlerin sonuçlarını yazınız.
Bulduğunuz sayılar hangi sayı kümesine aittir?
İki rasyonel sayının toplamı yine bir rasyonel sayı mıdır? Açıklayınız.
Bulduğunuz sonuçları karşılaştırınız.
Rasyonel sayılar toplanırken toplanan sayıların sırası önemli midir? Açıklayınız.
İşlemlerin sonucunu etkilemeyen sayı hangisidir?
Rasyonel sayılar kümesinde toplamı etkilemeyen sayı kaçtır? Açıklayınız.
İşlemlerin sonucunda bulduğunuz sayılar için ne söyleyebilirsiniz?
Toplama işleminde bir elemanın tersini nasıl bulursunuz?
3
2
4
3
2 43
3
14 + = + $
=
5
3
3
2
5 3
33 25
15
- 19 +
- =
- +-
=
-
$
$ $ ] g ] g
4
1
8
3
8
123
8
- 1
+ = - + $
=
] g
7
2
5
3
7 5
25 37
35
31 + = + =
$
$ $
11
7
11
3
11
7 3
11
- 4
+ = - + =
-
3
2
+4
5
3
3
- 2
+
-
4
1
8
- 3
+
7
2
5
3
+
11
7
11
- 3
+
Paydaları eşit olan rasyonel sayılar toplanırken ortak payda altında paylar
toplanıp paya yazılır.
Paydaları eşit olmayan rasyonel sayılar toplanırken önce paydalar eşitlenir
ve ortak payda altında paylar toplanıp paya yazılır.
1
2
1
+
2
3
2
1
+
4
1
3
1
+
3
1
+0
0
4
1
+
3
2
3
2
+ -c m
3
5
3
5
c c m m + -
5
1
3
2
+
3
2
5
1
+
1
2 3
2
6
1
c m + +
2
1
3
2
6
1
+ + c m176
Her için olduğundan rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
b
a
d
c ,
c m + ! Q
b
a
d
c
! Q
1. Kapalılık Özelliği
Örnek : işleminin sonucu bir rasyonel sayı mıdır? Herhangi iki rasyonel sayının toplamı yine bir
rasyonel sayı olur mu? İnceleyelim.
Çözüm :
İki rasyonel sayının toplamı ya bir tam sayıdır ya da bir rasyonel sayıdır. Z ⊂ Q olduğundan iki rasyonel sayının toplamı daima rasyonel sayı olacaktır.
2. Değişme Özelliği
Örnek : işlemlerinin sonuçlarını bularak karşılaştıralım.
Çözüm :
3. Birleşme Özelliği
Örnek : işlemlerinin sonuçlarını karşılaştıralım.
Çözüm :
O halde dir.
2
1
3
1
6
1
2
1
6
12 1
2
1
6
3
6
13 3
6
6
1
2
1
3
1
6
1
6
13 12
6
1
6
5
6
1
6
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
+ + =+ + =+= + = =
+ += + +=+==
++=++
$ $
$ $
c
c c
c c
m
m m
m m
ve 2
1
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
++ ++ c c m m
dir.
5
2
4
1
20
24 15
20
13
4
1
5
2
20
15 24
20
13 5
2
4
1
4
1
5
2
&
+ = + =
+ = + =
+=+
$ $
$ $
_
`
a
b
b
bb
ve 5
2
4
1
4
1
5
2
+ +
Q dur.
3
2
5
3
15
25 33
15
19 + = !
+ $ $ =
3
2
5
3
+
Her için olduğundan rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
b
a
d
c
d
c
b
a ,
+=+ b
a
d
c
! Q
Her için olduğundan rasyonel
sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
b
a
d
c
f
e
b
a
d
c
f
e
++=++ c c m m , ,
b
a
d
c
f
e
! Q
â177
4. Etkisiz Eleman
Örnek : işlemlerinin sonuçlarını bularak karşılaştıralım.
Çözüm :
5. Bir Elemanın Tersi
Örnek : işlemlerinin sonuçlarını karşılaştıralım.
Çözüm :
dır.
Rasyonel Sayılar Kümesinde Çarpma İşlemi
Yandaki tabloda kırmızı ile taranmış bölgeyi rasyonel sayı
olarak ifade ediniz.
Mavi ile taranmış bölgeyi rasyonel sayı olarak ifade ediniz.
Taralı kısımların kesişiminden elde edilen bölge tüm bölgenin
kaçta kaçıdır?
Bu sonucu ve rasyonel sayıları cinsinden nasıl ifade edersiniz?
İki rasyonel sayı nasıl çarpılır? Açıklayınız.
Örnek : Aşağıdaki işlemleri yapalım.
a. b. c. ç. 5
15
1
- $
3
8
2
1
$
7
2
5
3
$
-
2
5
4
3
$
4
1
3
2
3
2
3
2
3
2 2
3
0
0
3
2
3
2
3
2 2
3
0
0
3
2
3
2
3
2
3
2
& 0
+- = + - = =
- += - + = =
+- =- + =
c
]
c
]
c c m
g
m
g
m m
_
`
a
b
b
b
b
ve 3
2
3
2
3
2
3
2
+- - + c c m m
5
2
1
0
5
21 05
5
2 0
5
2
1
0
5
2
5
05 21
5
0 2
5
2
5
2
1
0
1
0
5
2
5
2
+ = + =
+ =
+ = + =
+ =
& +=+= dir.
$ $
$ $
_
`
a
b
bb
b
bb
ve 5
2
1
0
1
0
5
2
+ +
Her Q için olduğundan rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birim elemanı vardır ve sıfırdır.
b
a
b
a
b
a
1
0
1
0
+=+= b
a
!
Her ve 0 etkisiz eleman olmak üzere
olduğundan rasyonel sayılar kümesinde toplama işlemine göre her elemanın
tersi vardır.
b
a
b
a
b
a
b
a
Q +- =- + = c c m m 0
b
a
!
178
Çözüm :
Rasyonel Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Özellikleri
Aşağıdaki boş bırakılan kutulara işlemlerin sonuçlarını yazınız.
Bulduğunuz sayılar hangi sayı kümesine aittir?
iki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayı mıdır? Açıklayınız.
Bulduğunuz sonuçları karşılaştırınız.
Rasyonel sayılar çarpılırken çarpılan sayıların sırası önemli midir? Açıklayınız.
İşlemlerin sonucunu etkilemeyen sayı hangisidir?
Rasyonel sayılar kümesinde çarpımı etkilemeyen sayı kaçtır? Açıklayı-
nız.
İşlemlerin sonucunda bulduğunuz sayılar için ne söyleyebilirsiniz?
Çarpma işleminde bir elemanın tersini nasıl bulursunuz?
Yandaki işlemleri inceleyerek 0 ın işlevini açıklayınız.
. .
. .
a b
c
2
5
4
3
2 4
5 3
8
15
7
2
5
3
7 5
2 3
35
6
3
8
2
1
3 2
8 1
6
8
3
4
5
15
1
15
5 1
15
5
3
1
$ $
$ $
= =
- =
- =
-
= == - =
- =
- =-
$
$
$
$
$
$ $
Rasyonel sayılar çarpılırken paylar çarpımı paya, paydalar çarpımı paydaya
yazılır. Tam sayılı kesirlerde çarpma işlemi yapılmadan önce her bir kesir bile-
şik kesre çevrilir.
ç
olur.
3
2
5
4
$
3
2
1
$
3 5
4 6
$
3
2
$1
1
8
5
$
8
3
3
8
$
5
4
4
5
$
4
3
$0
0
7
2
$
8
1
5
2
$
2
5 8
1
$
2
1
4
3
7
1
$ $ c m
1
4
3
7 2
1
c m $ $179
Her için olduğundan rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
b
a
d
c
f
e
b
a
d
c
f
e , ,
$$ $$ c c m m =
b
a
d
c
f
e
! Q
1. Kapalılık Özelliği
Örnek : işleminin sonucu bir rasyonel sayı mıdır? Herhangi iki rasyonel sayının çarpımı yine bir
rasyonel sayı olur mu? İnceleyelim.
Çözüm :
olur.
Tam sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalı olduğundan pay ve paydadan elde edilecek sayı-
lar daima tam sayı olacaktır. Ayrıca payda hiçbir zaman sıfır olamayacağından çarpma işleminden elde edilecek sayı her zaman rasyonel sayı olacaktır.
2. Değişme Özelliği
Örnek : işlemlerinin sonuçlarını karşılaştıralım.
Çözüm :
3. Birleşme Özelliği
Örnek : işlemlerinin sonuçlarını karşılaştıralım.
Çözüm :
olur.
2
1
3
2
4
3
2
1
12
6
24
6
4
1
2
1
3
2
4
3
6
2
4
3
24
6
4
1
2
1
3
2
4
3
2
1
3
2
4
3
$$ $
$$ $
$ $
= ==
= ==
& =
c
c
c c
m
m
m m
_
`
a
b
b
b
b
b
b
ve 2
1
3
2 3
3
2
4
3
4 2
1
$$ $$ c m c m
dir.
3
1
2
3
3 2
1 3
6
3
2
1
2
3
3
1
2 3
3 1
6
3
2
1
3
1
2
3
2
3
3
1
&
$
$
$ $
= ==
= ==
=
$
$
$
$
_
`
a
b
bb
b
bb
ve 3
1
2
3
2
3
3
1
$ $
Q
2
7
3
5
2 3
7 5
6
35
$ = = !
$
$
2
7
3
5
$
Her için olduğundan rasyonel sayılar kümesi
çarpma işlemine göre kapalıdır.
b
a
d
c ,
c m $ ! Q
b
a
d
c
! Q
Her için olduğundan rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
b
a
d
c
d
c
b
a ,
$ $ = b
a
d
c
! Q180
4. Etkisiz Eleman
Örnek : işlemlerini yaparak sonuçlarını karşılaştıralım.
Çözüm :
dir.
5. Yutan Eleman
Örnek : işleminin sonuçlarını karşılaştıralım.
Çözüm :
dır.
6. Dağılma Özelliği
Örnek : işlemlerinin sonuçlarını bularak karşılaştıralım.
Çözüm :
7. Bir Elemanın Tersi
Örnek : işlemlerinin sonuçlarını bularak karşılaştıralım.
Çözüm : O hâlde olur. 3
2
2
3
2
3
3
2
, . dir $ $ =
3
2
2
3
6
6
1
2
3
3
2
6
6
$ $ == == 1
ve 2
3
3
2
2
3
3
2
$ $
O halde
2
1
3
2
6
1 2 1
6
5
12
5
2
1
3
2
6
1 2 1
2
1
3
2
6
1
2
1
3
2
2
1
6
1
2
1
6
2
2
1
2
1
6
2
12
1
12
2
12
5
$ $
$ $
$ $$
+
+ =
+
+ +
= =
+ =+ = =
=
$
$
c c
ccc c
c cc
m m
m mm m
mmm
ve 2
1
3
2
6
1
2
1
3
2
2
1
6
1
$ $$ c cc + + m mm
2
1
1
0
2
0
0
1
0
2
1
2
0
0
2
1
1
0
1
0
2
1
& 0
$
$
$ $
= =
= =
= =
_
`
a
b
b
bb
2
1
1
0
1
0
2
1
$ $ =
2
3
1
1
2
3
1
1
2
3
2
3 2
3
1
1
1
1
2
3
2
3
$
$
=
=
& $ $ = =
_
`
a
b
b
bb
ve 2
3
1
1
1
1
2
3
$ $
Her için olduğundan rasyonel sayılar kümesinde
çarpma işleminin birim elemanı vardır ve 1 dir.
b
a
b
a
b
a
1
1
1
1
$ $ = = b
a
! Q
Her için olduğundan rasyonel sayılar kümesinde
çarpma işleminin yutan elemanı vardır ve sıfırdır.
b
a
b
a
1
0
1
0
$ $ = = 0
b
a
! Q
Her ve a ≠ 0 için olduğundan nin çarpma işlemine göre tersi dır. a
b
b
a
b
a
b
a
a
b
a
b
$ $ = = 1
b
a
! Q
için olduğundan rasyonel
sayılar kümesi üzerinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma
özelliği vardır. Benzer biçimde sağdan dağılma özelliği de vardır.
b
a
d
c
f
e
b
a
d
c
b
a
f
e
$ $$ c cc += + m mm , ,
b
a
d
c
f
e
6 ! Q
tir.
,
â olur.181
Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi
Örnek : rasyonel sayısı ile bu sayının toplama işlemine göre tersini toplayalım.
Çözüm : rasyonel sayısının toplama işlemine göre tersi tir. Buna göre,
dır.
Örnek : Aşağıdaki işlemleri yapalım.
a. b. c. ç.
Çözüm :
Rasyonel Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi
Aşağıdaki tabloda verilen noktalı yerleri örneklerden yararlanarak doldurunuz.
rasyonel sayısının rasyonel sayısına bölümü ne olur? Açıklayınız. d
c
b
a
. ,
. ,
. ,
a
b
c
3
2
5
1
3 5
25 13
15
7
4
3
2
1
4 2
32 14
8
2
4
1
5
5
2
1 5
55 21
5
27
3
4
1
1 4
34 11
4
11
- =
- =
-+= - + =
- =-
-- =
- - =
-
- =
- =
$
$ $
$
$ $
$
$ $
$
$ $
3
4
1
5 -
5
2
- - 4
3
2
1
- + 3
2
5
1
-
5
3
5
3
5
3 3
5
0
+- = 0
+ - c = =
]
m
g
5
3
- 5
3
5
3
rasyonel sayısının toplama işlemine göre tersi
olmak üzere
Toplama işleminde olduğu gibi çıkarma işleminde de paydalar eşit değil ise
önce paydalar eşitlenir.
.
b
a
d
c
b
a
d
c
b d
ad bc - = +- = dir -
$
$ $ c m d
c
- ! Q
,
b
a
d
c
Q ve d
c
6 !
ç. tür.
5 2:
2
5
= 4: 4 7
3
3
7
3
28
= = $ : 3 2
1
2
1
3
1
6
1
= = $ :
3
2
7
5
3
2
5
7
15
14
= = $
7 : 3 = .......... 5 : = .......... 3
2
: 2 = .......... 4
5
: = .......... 5
4
2
1
6 : 11 = .......... 4 : = .......... 8
3
: 3 = .......... 7
2
: = .......... 7
4
21
8182
Örnek : rasyonel sayısı ile rasyonel sayısının çarpma işlemine göre tersinin çarpımının sonucunu bulalım.
Çözüm : işleminin çarpma işlemine göre tersi dir. Buna göre
tür.
Örnek : Aşağıdaki işlemleri yapalım.
a. b. c. ç. d. e. f.
Çözüm :
Örnek : Rasyonel sayılar kümesinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin özelliklerini kullanarak aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulalım.
a. b. c.
ç. d. e.
...
...
1
3
1
1
4
1
1
5
1
1
20
1
1
3
1
1
4
1
1
5
1
1
20
1
$ $ $$
$ $ $$
--- -
+++ +
c c c c
c c c c
m m m m
m m m m
1
1
1
2
1
1
1
-
+
-
:
2
3
1
1
2
1
1
2
1
-
c c - + m m
8 5 : : 2
1
3
2
1
4
7
2 c c - m m
3
5
1
3
5
1
+
+
-
3
2
4
1
2
1
4
1
3
1
-
+ -
. :
. :
. :
. :
.
.
.
a
b
c
d
e
f
8
5
2
3
8
5
2
3
8
5
3
2
4 3
5 1
12
5
3
3
1
3
3
1
33 9
3
2
3
3
2
3
3
2
3
1
3 3
2 1
9
2
2
7
8
5
2
7
8
5
2
7
5
8
1 5
7 4
5
28
5
28
4
1
3
2
3
2
4
1
3
2
4
3 1
2 4
3
8
5
2
5
5
5
2
5
2
5
1 2
5 5
2
25
4
3
2
3
2
4
3
2
4
1
3 2
1 1
6
1
1
1
1
1
1
1
1
4
1
1
4
1
2
$ $
$
$ $
$
$
$ $
$ $
$ $
$ $
= = ==
= ==
- =
- =
- =
- =
-
- - =
- - =
-
-
=
-
- =
-
- =
= ===
-
=
- =
-
=
-
=-
= = ==
-
-
-
-
-
-
-
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
c
c
]
c
]
c
c c
]
]
m
m
g
m
g
m
m m
g
g
3
2
4
5
2
5
-
3
2
4
1
:
2
7
8
- -5
:
3
2
3
- 3:
3
1
:
8
5
2
3
5
3
5
2
5
3
2
5
2
3
1
$ $ = =
-
b l
5
2
2
5
1
=
-
b l
5
2
5
2
5
3
olmak üzere çarpımı, nin ye bölümüdür.
: dir. b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
c
d
1
= = $ $
-
b l
d
c
b
a
b
a
d
c
1
$
-
,
0 c c m m b
a
d
c
Q ve d
c
6 ! !
ç
dir.183
Çözüm :
1
.
.
. : : : : : :2
: :
.
.
...
...
...
...
a
b
c
d
e
3
2
4
1
2
1
4
1
3
1
3 4
24 13
12
16 13 14
12
5
12
5
12
5
5
1 2
1
8 52
1
3
2
1
4
7
8
2
11
2
7
4
7
2
5
2
7
7
4
2
5
2
5
2
1
4
5
2
3
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
3
2
2
1
2 3
1 2
2
1
6
2
6
2
1
2
3
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1 1 1
2
1
1
1 2
1
1
3
1
3
2
3
2
20
21
2
3
5
1
3
5
1
2
5
35 1
5
35 1
2
5
16
5
14
2
5
14
16
5
2
8
7
8
28 7
8
23
1
3
1
1
4
1
1
5
1
1
20
1
1
3
1
1
4
1
1
5
1
1
20
1
4
3
5
4 19
3
4
4
5
5
6
20
20
2
3
21
10
1
7
7 10 70
1 1
1
1
1
1
1
1
1
3
7
8
$
$ $
$
$
$
$
$ $ $$
$ $ $$
$ $ $$
$ $ $$
-
+ -
=
-
+ -
== =
- =- = = = =
-
- +
= = = == =
-
+
-
= -
+
= -
+
= -
+
=- =
+
+
-
= +
+
-
=+ =+ =+ =
+
=
--- -
+++ +
= === =
$
$ $
$$$
$
$
$
$
$
$
2
f
c c cc f
cc c c
b b b b
b b b b
p
m m mm p
m mm m
l l l l
l l l l
ç.
bulunur.
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm : 2
1
1
2
2
1
1
1
5
2
1
1
2
3
1
1
5
2
1
1
3
2
1
5
2
1
3
1
1
5
2
1 3
5
2
4
5
4
3
-
+
-
-
= -
+
-
= -
+
-
= -
+
= -
+
=- =
2
1
1
2
2
1
1
1
5
-
+
-
-
tür.
Örnek : ifadesini doğal sayı yapan kaç tane a tam sayısının olduğunu bulalım.
Çözüm : ifadesinin doğal sayı olabilmesi için kesrini tam
sayı yapan a değerlerini incelememiz gerekir. Buna göre a sayısı –16, –8, –4, –2, –1,1,2,4,8,16 değerlerinden herhangi biri olabilir. Fakat verilen ifadenin doğal sayı olabilmesi için a tam sayıları, –16, –8, –4,–2,
–1,8,16 sayıları olmalıdır.
Örnek : kesrini tanımsız yapan x değerlerini bulalım.
x
2
2
3
6
-
-
a
16
a
a
a
a
5 a a
15 80
5
15
5
80
3
16
1
1
1
16
- = - =-
$
$
$
$
$
a
a
5
15 80 -184
0
4
1
4
3
4
5
4
7
4
11
123
Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan, payı küçük olan daha küçüktür.
Paydaları eşit olan negatif rasyonel sayılar sıralanırken işaretler paya yazılır
ve pozitif sayılardaki kural uygulanır.
Rasyonel Sayılarda Sıralama
sayılarını aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
Sayı doğrusundan yararlanarak bu sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Paydaları veya payları eşit olan pozitif rasyonel sayıları sıralamak için bir kural belirleyiniz.
Negatif rasyonel sayıları sıralarken, pozitif rasyonel sayılar için belirlediğiniz kurallardan yararlanabilir misiniz? Tartışınız.
Örnek : rasyonel sayılarını sayı doğrusu üzerinde göstererek bu sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım. Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayıları bir eşitsizlik zinciri içinde sı-
ralayabilmek için genel bir kural bulmaya çalışalım.
Çözüm :
Yukarıdaki sayı doğrusundan, olduğu görülebilir. Bu rasyonel sayıları sı-
ralarken bu sayıların paydaları eşit olduğundan sayıların paylarına bakarak genel bir kural bulabiliriz.
Örnek : sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
Çözüm : sayıları biçiminde yazılır.
olduğundan dir.
Örnek : rasyonel sayılarını modelleyerek bu sayıları büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
Payları eşit olan pozitif rasyonel sayıları, bir eşitsizlik zinciri içinde sıralayabilmek için genel bir kural bulmaya çalışalım.
, ,
3
5
7
5
2
5
7
2
7
3
7
5
7
- 11
- -
- ---- 2 3 5 11 222 222
,,,
7
2
7
5
7
3
7
- - - -11 , ,,
7
2
7
5
7
3
7
- 11
- -
-
,, ,
7
2
7
5
7
3
7
- 11
- -
-
4
1
444
7
4
3 5 11 1111
,,,,
4
1
4
5
4
3
4
7
4
11
,,, 3
5
2
3
2
1
4
5
... 0 1 2 3 ...
Çözüm : Paydayı sıfır yapan değerler, kesri tanımsız yapacaktır. Buna göre, kesrini tanımsız yapan değer x – 2 = 0 ⇒ x = 2 değeridir. Ayrıca,
olduğundan,
kesrini tanımsız yapan değer değeridir. O hâlde,
sayıları tanımsız yapar.
x
kesrini ve
2
2
3
6
2
2
7
-
-
2 70 x x 2
7
-= = & x
x
2 7
6 12
-
-
x x
x x
x
x
x
2
2
3
6
2
2 43
6
6
2 7
2
2 7
6 12
$
-
-
=
-
- -
=
-
- =
-
-
x 2
3
-Örnek : sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Çözüm : sayıları biçiminde yazılır.
olduğundan dir.
Örnek : sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
Çözüm : Verilen sayıların paydalarını eşitlenirse
Örnek : sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Çözüm : Verilen sayıların paylarını eşitleyelim.
sayıları elde edilir. Payları eşit olan rasyonel sayılardan, paydası büyük olan sayı daha
küçük olacağından dir. O hâlde bulunur.
14
3
25
6
25
9
1 1 84
18
75
18
70
18 1 1
14
3
25
6
35
9
84
18
75
18
70
18
6
3
2
=
=
=
]
]
]
g
g
g
_
`
a
b
b
bb
b
b
bb
,
ve 14
3
25
6
35
9
3
5
6
1
4
3
2
1
3 4
5 4
6 2
1 2
4 3
3 3
2 6
1 6
12
20
12
2
12
9
12
6
=
=
=
=
=
=
=
=
$
$
$
$
$
$
$
$
_
`
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
, , ve 3
5
6
1
4
3
2
1
2
6
5
6
7
6
11
6
111 -
-
-
-
---- 2 5 7 11 222
,, ,
2
6
7
6
11
6
5
6
- - - -
,, ,
2
6
7
6
11
6
5
- - 6
- -
,, ,
2
6
7
6
11
6
5
- - 6
- -
sayıları elde edilir. Paydaları eşit olan rasyonel sayılardan, payı büyük olan
sayı daha büyük olacağından
dir O h lde bulunur . .
12
20
12
9
12
6
12
2
3
5
4
3
2
1
6
1
2 2 2 222
185
Model üzerinde de görüldüğü gibi dir. Bu sayıların payları eşit olduğundan sayıların
paydalarına bakarak genel bir kural bulabiliriz.
2
5
3
5
7
5
2 2
3
5
123 44444444 44444444
7
5
123 4444 4444
2
5
123 44444444444 44444444444
Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan, paydası büyük olan daha küçüktür.
Payları eşit olan negatif rasyonel sayılar sıralanırken işaretler paydaya yazı-
lır ve pozitif sayılardaki kural uygulanır.
â186
Örnek : koşulunu sağlayabilecek x, y, z rasyonel sayılarını bulalım.
Çözüm :
2 ile 3 arasında tam sayı olmadığından kesirleri genişletelim.
olup,
tür. Buna göre olabilir.
Örnek : koşulunu sağlayan kaç tane x doğal sayısı vardır? Bulalım.
Çözüm :
O hâlde x = 2 veya x = 3 olur. Bu durumda bu koşulu sağlayan 2 tane x doğal sayısı vardır.
Rasyonel Sayıların Ondalık Açılımı
Yandaki tabloda verilen noktalı yerleri örnekten yararlanarak
doldurunuz.
Her rasyonel sayının bir devirli ondalık açılımı olur mu? Tartı-
şınız.
Her devirli ondalık açılım rasyonel sayı olur mu? Tartışınız.
Rasyonel sayıların ondalık açılımını nasıl bulabilirsiniz? Açıklayınız.
.
x x
x dir 12
5
4 6
5
24
10
24
6
24
20 10 6 20
2 6 4
11 1 1 11 & &
^ h ^ h ^ h
x
12
5
4 6
5
1 1
x y ve z ,
24
9
24
10
24
11
== = 24
8
24
9
24
10
24
11
24
12 1111
xyz xyz 6
2
6
3
24
8
24
12
4 4
1111 1111 &
^ ^ h h
3 2 xyz xyz
1 1
6 6
2 3
2 3
1111 1111 &
_ i _ i
xyz 3
1
2
1
1111
Farklı iki rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır. Bu yüzden rasyonel sayılar kümesi yoğundur.
1,3 ... = 1, 3
3
4
=
= ... . ... = ...... 11
8
= ... . ... = ...... 4
9
4
3
10
9
1.
.
.
3
1,3...
8 11
9 4
Rasyonel Sayıların Yoğunluğu
0 ile 1 sayılarının ortasındaki sayıyı bularak sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
ile 1 sayılarının ortasındaki sayıyı bularak sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
sayılarının ortasındaki sayıyı bularak sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
sayılarının ortasındaki sayıyı bularak sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
Bu işleme devam edildiğinde, her zaman iki rasyonel sayı arasında bu sayılardan farklı başka bir
rasyonel sayı bulunabilir mi? Açıklayınız.
Örnek : rasyonel sayılarının ortasındaki rasyonel sayıyı bulalım.
Çözüm : Bu iki rasyonel sayının ortasındaki sayı a olsun. O hâlde
a bulunur.
2
8
5
4
3
2
8
5 6
8
1
2
1
16
1
= $
- +
=
- +
= =
ile 8
5
4
3
-
ile 8
5
4
3
ile 2
1
4
3
2
1187
Çözüm :
., . , .
,
,
.
., . , .
,
,
.
., . , .
,
,
.
., . , ,.
,
,
.
b x olsun Buna g re x elde edilir
x
x
x x olur
c x olsun Buna g re x elde edilir
x
x
x x olur
x olsun Buna g re x elde edilir
x
x
x x olur
d x olsun x ve x olur
x
x
x x olur
o
o
o
0 32 100 32 32
100 32 32
0 32
99 32 0 99
32 0
99
32
3 4 10 34 4
10 34 4
3 4
9 34 3 9
34 3
9
31
0 21 100 21 21
100 21 21
0 21
99 21 0 99
21 0
99
21
33
7
6 25 100 625 5 10 62 5
100 625 5
10 62 5
90 625 62 90
625 62
90
563
&
&
&
&
= =
=
- =
=- =
- =
= =
=
- =
=- =
- =
= =
=
- =
=- =
- = =
= ==
=
- =
=- =
- =
., . , ,
,
,
.
a x olsun Buna gore x ve x .
x
x
x x olur
1 28 100 128 8 10 12 8 elde edilir
100 128 8
10 12 8
90 128 12 90
128 12
90
116 &
= ==
=
- =
=- =
- =
ç.
ö
ö
ö
ö
Örnek : Aşağıdaki bölme işlemlerinin sonuçlarını inceleyelim.
Ondalık sayılarda ondalık kısmının tekrar eden bölümüne devirli kısım deriz. Yukarıda görüldüğü gibi tüm rasyonel sayıların ondalık açılımı devirlidir. Her devirli ondalık açılım bir rasyonel sayıya karşılık
gelir. Sayıyı uzun yazmamak için devreden sayı üzerine “ – ” işareti konur.
Örnek : Aşağıdaki devirli ondalık sayıları rasyonel sayı olarak yazalım.
abc d ., ., ., ., ., 1 28 0 32 3 4 0 21 6 25
. , ... , . , ... ,
. , ... , . , ... ,
. , ... ,
a
d
b
c
4
3
0 750000 0 750 5
3
0 600000 0 60
3
1
0 333333 0 3 99
26 0 262626 0 26
90
112 1 24444 1 24
== ==
== ==
= =
ç
ç188
Devirli ondalık sayının devreden kısmı 9 ise solundaki rakamın sayısal değerini bir
artırır.
Örnek : ifadesinin değerini bulalım.
Çözüm :
Örnek : olduğuna göre mn
+ nm
ifadesinin değerini bulalım.
Çözüm :
Örnek : sayılarını yuvarlayalım.
Çözüm :
,
, ,
;
;
, ,
, ,
;
;
,
, ,
59 6
6 19 6 2
0 29 0 3
0 119 0 12
0 99 1
7 1259 7 126
=
=
=
=
=
=
5, 0,2 ; 0, ; 6,1 ; 0,11 ; 7,125 9 9 99 9 9 9 ;
m n , ,
m n
2 9 9
29 2
9
27 3 39 9
39 3
9
36 4
3 4 81 64 145 nm 43
= =
- == = =
- = =
+ =+= + =
m ve n = = 29 39 , ,
m ve n
m n
m n
mn
m
mn
n
n m
90
13 1
90
12
9
17 1
9
16
1 1
9
16
1
90
12
1
16
9
12
90
48
9 3 90 4
48
387
3 4
=
- = =
- =
+ = + =+ = + = + = + =
$
$ $
^ h ^ h
m ve n ise , , m n
m n
= = 1 1 13 7 +
$
dır.
tür.
dır.
elde edilir.
ve
edilir.
Örnek : Aşağıdaki sayıları rasyonel sayı olarak yazalım.
a bc d ., ., ., ., . , 0 750 2 1 3 14 6 28 12 01
Çözüm :
., . ., .
., . , .
., .
a olur b olur
c olur olur
d olur
0 750 900
750 75
900
675
36
27
4
3
2 1 9
21 2
9
19
3 14 90
314 31
90
283 6 28 90
628 62
90
566
12 01 99
1201 12
99
1189
=
- = == =
- =
=
- = =
- =
=
- =
ç.
ç.
Bir önceki sayfadaki işlemlerin sonucunda devirli ondalık sayısının
şeklinde rasyonel sayıya çevrildiği görülür. Bunu genel olarak şöyle ifade
edebiliriz: Bir ondalık açılıma karşılık gelen rasyonel sayıyı bulurken virgül atılarak devretmeyen ve devreden kısım birlikte alınır. Bu sayıdan devretmeyen kısım çıkarılarak paya
yazılır. Paydaya ise sayının ondalık kısmındaki devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0 yazılır.
k
abc ab
90 =
-
k a bc = ,189
ALIŞTIRMALAR
1. ifadesinin bir rasyonel sayı olabilmesi için a nın alamayacağı değer nedir?
2. kesrini tanımsız yapan x değerlerini bulunuz.
3. Bir kesrin değeri dir. Bu kesrin payına 1 eklenir ve paydasından 3 çıkarılırsa kesrin değeri
oluyor. Bu kesri bulunuz.
4. ifadesini tam sayı yapan x doğal sayılarını bulunuz.
5. olduğuna göre ifadesinin değerini bulunuz.
6. işleminin sonucunu bulunuz.
7.
8. işleminin sonucunu bulunuz.
9. işleminin sonucu kaçtır?
10. Bir sayıyı 0,0625 ile çarpmak o sayıyı kaça bölmek demektir?
11. a < 0 olduğuna göre rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
12. sayılarını büyükten küçüğe sıralayınız.
13. rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
14. sayılarından hangisi en küçüktür?
15. rasyonel sayılarını sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
16. olmak üzere a, b ve c yi bulunuz.
17. x, y, z ve t negatif tam sayıları arasında 5x = 2y , 4y = 3z ve 4z = 3t bağıntıları olduğuna göre
a, b, c ve d sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.
18. koşulunu sağlayan kaç tane x doğal sayısı vardır?
19. 4,1818 ... devirli ondalık sayısı en küçük hangi tam sayı ile çarpılırsa sonuç yine bir tam sayı olur?
20. 6 4 16 1980 0 328 $ $ , , + ifadesinin değerini bulunuz.
x
5
3
6 9
7
1 1
a b c Z ve , ,
abc
9
1
18 18 18 3
1
! - - 1111 -
ve 15
4
7
11
-
, ,, ,
3
7
18
8
15
6
10
5
12
3
-- -
,
ve
14
5
21
3
7
9
a b ve c ,
41
1000
401
10
411
10000
== =
x ,
a
y
a
ve z
a
5 3 8 == =
4
1
4
1
2
1
6
1
2
1
5
1
- - + -+ c m c m
:
4
3
2
4
3
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
-
+
-
-
1
6
1
2
1
2
3
1
4
1
+ -
- +
:
a b
a b 1 1
-
- -
a ve b 5
3
5
2
=
- =
x
x
5
45 15 -
12
11
3
2
x
6
3
3
5
-
+
5 3 a
8
+
işleminin sonucunu bulunuz.190
GERÇEK SAYILAR
Şekilde yer altında çalışan bir su
pompası vardır.
Su pombası ile belirlenen bölgedeki suyun çekilebilmesi için ne kadar
borunun uzatılması gerektiği hesaplanabilir.
sayısı bugüne kadar öğrendiğiniz sayı kümelerinden hangisine
dâhildir?
gibi sayılar ile şimdiye kadar öğrendiğiniz en geniş sayı kümesi olan rasyonel sayılar kümesinin birleşimi, tüm sayı doğrusunu oluşturur mu (rasyonel sayıların sayı doğrusunu doldurmadığını hatırlayınız.)?
0,18; –31,2; 0,003 sayılarını iki tam sayının oranı şeklinde yazınız.
İki tam sayının oranı şeklinde yazdığınız sayılar hangi sayı kümesine aittir?
; ; 2,15320124... sayılarını iki tam sayının oranı şeklinde yazabilir misiniz?
İki tam sayının oranı şeklinde yazılmayan sayılara ne ad verilir? Tartışınız.
Örnek : Sayı doğrusu üzerinde, sayısının hangi noktaya karşılık geldiğini bularak bu sayının bir rasyonel sayı olup olmadığını inceleyelim.
Çözüm :
Yandaki şekilde, sayı doğrusu üzerine dik kenar
uzunlukları 1 birim olan ikizkenar dik üçgen yerleş-
tirelim. ABC ikizkenar dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanırsa
Pergelin sivri ucu A noktasına koyulup kadar açılarak bir yay çizilir. Bu yayın kestiği D noktası, ye karşılık gelen nokta olur.
Şimdi sayısının rasyonel sayı olduğunu kabul edelim. Bu durumda a,b ∈ Z
+
ve a,b aralarında asal
olmak üzere dır.
a
2
= 2b2
olduğundan a2
çifttir. a2
çift ise a çifttir ve a = 2p, p ∈ Z dir.
a
2
= 2b2
eşitliğinde a yerine 2p yazalım. elde edilir.
b
2
= 2p2
olduğundan b2
çifttir. b2
çift ise b çifttir ve b = 2r, r ∈ Z dir.
a ve b yi çift sayı bulduk. Başta a ile b yi aralarında asal kabul etmiş olmamıza rağmen ortak bir çarpanının 2 olduğu sonucuna ulaştık. Dolayısıyla sayısının rasyonel olması ile ilgili çelişki elde ettik.
O hâlde sayısı rasyonel bir sayı değildir. 2
2
a b p b p b pb 2 2 2 42 2 2 2 2 2 2 22
= === & && 2
^ h
.
b
a
b
a
22 2 a b dir 2
2
2 2
== = & &
b
a
2 =
2
2
AC
AC AB BC AC AC br bulunur 11 2 .
2 2 2 2 22 = + =+ = & &
2
3 1 3,
2 3 29 , , ...
29
2
5
29
-2 -1 0
A
C
B
D
1 2 2
191
Devirli ondalık açılımı olmayan sayılar irrasyonel sayılardır. Bir gerçek sayı-
nın irrasyonel olup olmadığına ondalık açılımına bakarak karar verebiliriz. Ondalık açılımları sınırsız ve devirsiz olan sayılar rasyonel değildir.
Örnek :
... sayı-
larının ondalık açılımları arasındaki farkı belirterek rasyonel ve irrasyonel olanları belirleyelim.
Çözüm :
ondalık sayıları devirli olarak ifade edilebilir. Her
devirli ondalık açılımın bir rasyonel sayı olduğunu biliyoruz. O hâlde x ve y sayıları birer rasyonel sayı-
dır.
... sayılarının ondalık açılımları
sınırsız ve devirsizdir. O hâlde bu sayılar rasyonel sayı değildir. sayıları birer irrasyonel sayıdır.
Örnek :
sayılarının kesin değeri bilinseydi aşağıdakilerden hangilerinin değerinin bulunabileceğini inceleyelim.
Çözüm :
a. nin kesin değeri bilinseydi bu sayının 2 katı in değerini verirdi.
b. tür. ün kesin değeri bilinseydi, sayısının 3 katı nin değerini verirdi.
c. ün kesin değeri bilinseydi, in değeri bilinmediğinden in
değerini bulamazdık.
ç. ün kesin değeri bilinseydi, ün çarpımının 2
katı ün değerini verirdi. 24
24 2 6 2 3 2 2 3 = = $ $
dir ve . 2 3 ve
15 3 5 3 = $ tir Sadece . 5 15
27 3 3 = 3 3 27
8 22 2 = tir. 8
ab c .. . 8 27 15 24
2 3 ve
2,e ve π
z e ve == = = 2 1 4142136 2 718281828 3 141592653 , ... , , ... , π
x ve y == = = = 0 5 0 5000 0 50 1 333 1 3 , , ... , , ... ,
x y z e ve = = == = = 0 5 1 333 2 1 4142136 2 718281828 3 141592653 , , , ..., , ..., , ... , π
Sayı doğrusu üzerinde yer alan fakat gibi rasyonel olmayan sayılar, irrasyonel sayılardır. İrrasyonel sayılar QI
ile gösterilir.
Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi gerçek sayılar kümesidir. Gerçek sayılar kümesi R ile gösterilir.
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ve Q ∪ Q
I = R olduğundan gerçek sayılar kümesi en geniş
sayı kümesidir. Gerçek sayılar kümesi sayı doğrusunu doldurur. Bu yüzden
gerçek sayılar kümesi ile sayı doğrusu arasında bire bir ve örten bir eşleme vardır.
2 3 , ,...
ç.192
Gerçek Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri
Aşağıdaki tabloda istenilen işlemleri yaparak noktalı yerlere yazınız.
Tablonun ilk üç satırında yaptığınız işlemleri inceleyiniz.
Gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin kapalılık, değişme ve birleşme özellikleri var mıdır?
Açıklayınız.
Tablonun dördüncü satırında yaptığınız işlemleri inceleyiniz.
Gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı var mıdır? Varsa nedir?
Tablonun beşinci satırında yaptığınız işlemleri inceleyiniz.
Gerçek sayılar kümesinde toplama işlemine göre bir gerçek sayının tersi var mıdır? Açıklayınız.
Örnek : Gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin özelliklerini örnekler üzerinde inceleyelim.
Çözüm : Herhangi iki gerçek sayının toplamı yine bir gerçek sayıdır. 3, 5∈R için 3 + 5 = 8∈R olur.
İki gerçek sayı toplanırken sayıların yerinin değişmesi, sonucu değiştirmez. 3 + 5 = 5 + 3 = 8 dir.
(3 + 5) + ile 3 + işleminin sonuçları eşittir. Bu yüzden toplama işleminin birleşme özelli-
ği vardır.Sıfır ile herhangi bir gerçek sayının toplamı yine bu gerçek sayıya eşittir.
tür.
Her gerçek sayı ile o sayısının negatif işaretlisinin toplamı sıfırdır. Her gerçek sayının negatif işaretlisi bu gerçek sayının toplama işlemine göre tersidir.
Örnek : olduğuna göre a, b, c değerini bulalım.
Çözüm : dır. Buradan a . b . c = bulunur.
Örnek : Aşağıdaki eşitliklerdeki bilinmeyenleri bulalım.
a. b. n + (–8) = (– c. 3 45 3 4 + - + = +- + 6 6 ] ] g g @ @ m ^ h 7 0 + =k
c. 3 45 3 4 + - + = +- + 6 6 ] ] g g @ @ m ^ h 7 0 + =k5 . . 5
3
b
- = l
0 0
5 5 aa b bc c 0 ,0 , ⇒ ⇒ ⇒ 5
3
5
3
3
4
3
4 ^
- + = =+ + = =- + - =- = h
b l
0
0, 4
5 a b 0, c 3
4
5
3
3
^
- + = +- h
+ = =- b l
300 3 3 +=+ =
5
7
1 b
+ l
7
1
23 53 - = ... ... 7
1
14
1
+ = 0 5, ... 3
1
- = 2 ... 3
1
+ =
... 2
1
3
1
+ = ... 3
1
2
1
+ = ... 5
1
c m - +=3 3 ... 5
1
+- = c m
... 5
2
2
1
3
1
c m + += ... 5
2
2
1
3
1
++= c m 2 32 3 + += ... ^ h 2 32 3 + + ^ h = ...
5 0 + = ... 0 5 + = ... ... 3
1
c m - +=0
= ... 0 .... 3
1
+ -c m
... 7
2
7
2
+- = c m ... 7
2
7
2
c m - += 7 7 +- = ... ^ h - += 7 7 ... ^ h5 ... 2
1
$ c m - = ... 7
3
3
1
$ = 2 33 $ = ... ^ h - = 0 1 10 , ... $
6 ... 8
1
$ = ... 8
1
$6 = - = 2 3 $ ... ^ h 3 2 $ - = ... ^ h
32 7 $ $ = ... ^ h 3 27 $ $ = ... ^ h ... 2
1
5
3
c m $ $ 3 = ... 2
1
5
3
$ $ c m 3 =
5 1$ = ... 1 ... $ 5 = ... 3
1
c m - = $1 1 ... 3
1
$ c m - =
... 7
6
6
7
$ = ... 6
7
7
6
$ = 3 ...
3
1
$ = ...
3
1
$ 3 =
2 ... 2
1
$ c m + = 5 2 ... 2
2 5 1
$ $ + = ... 3
2
2
1
5
1
$ c m + = ... 3
2
2
1
3
2
5
1
$ $ + =
7 $0 = ... 0 ... 5
1
$ = 0 4$ = ... ] g - = 6 0$ ...
193
Gerçek sayılar kümesinden toplama işlemi tıpkı rasyonel sayılar kümesinde
olduğu gibi tanımlanır. O hâlde,
1. ∀ x,y ∈ R için x + y ∈ R olduğundan gerçek sayılar kümesinin toplama işlemine
göre kapalılık özelliği vardır.
2. ∀ x,y ∈ R için x + y = y + x olduğundan gerçek sayılar kümesinin toplama
işlemine göre değişme özelliği vardır.
3. ∀ x,y,z ∈ R için x + (y + z) = (x + y) + z olduğundan gerçek sayılar kümesinin toplama işlemine göre birleşme özelliği vardır.
4. ∀ x ∈ R için x + 0 = 0 + x olduğundan gerçek sayılar kümesinin toplama iş-
lemine göre etkisiz elemanı 0 dır.
5. x ∈ R için (–x) ∈ R ve x + (–x) = (–x) + x = 0 dır. Buradaki (–x) sayısı x in toplama işlemine göre tersidir.
Gerçek Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Özellikleri
Aşağıdaki tabloda istenilen işlemleri yaparak noktalı yerlere yazınız.
Tablonun ilk üç satırında yaptığınız işlemleri inceleyiniz. Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin
kapalılık, değişme ve birleşme özellikleri var mıdır? Açıklayınız.
Tablonun dördüncü satırında yaptığınız işlemleri inceleyiniz. Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin etkisiz elemanı var mıdır? Varsa nedir?
Tablonun beşinci satırında yaptığınız işlemleri inceleyiniz. Gerçek sayılar kümesinde her elemanın
çarpma işlemine göre ters elemanı var mıdır? Açıklayınız.
Tablonun altıncı satırında yaptığınız işlemleri inceleyiniz. Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği var mıdır? Açıklayınız.
Tablonun yedinci satırında yaptığınız işlemleri inceleyiniz. Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin yutan elemanı var mıdır? Açıklayınız.
Çözüm : a. (Gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliğinden)
b. n + (–8) = (–8) ⇒ n = 0 dır. (Gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı 0
olduğundan)
c. dir. ^ h 7 7 + = =- k k 0 ⇒
33 . + - +- 6 6 ] ] 4 4 g g += + = 5 5 @ @ m m tir ⇒194
Örnek : Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin özelliklerini örnekler üzerinde inceleyelim.
Çözüm :
Herhangi iki gerçek sayının çarpımı yine bir gerçek sayıdır. 4, 7∈R için 4 . 7 = 28∈R dir.
İki gerçek sayının çarpma işlemi yapılırken sayıların yer değiştirmesi, sonucu değiştirmez. 5 . 9 = 9 . 5 = 45
tir.
(2 . 3) . 4 = 2 . (3 . 4) = 24 olduğundan gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği
vardır.
olduğundan gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin etkisiz elemanı 1 dir.
olduğundan sayısının gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemine göre tersi
tür.
olduğundan gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
23 2 $ $ ^ ^ + =+ + =+ 5 6 10 3 5 6 10 h h ve
3
4
4
3
4
3
3
4
3
4
4
3
$ $ = = 1
1 1 4
1
4
1
4
1
b b l l $ = = $
Gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemi rasyonel sayılar kümesinde olduğu gibi
tanımlanır. O hâlde;
1. ∀ x,y ∈ R için x . y ∈ R olduğundan gerçek sayılar kümesinin çarpma işlemine göre kapalılık özelliği vardır.
2. ∀ x,y ∈ R için x . y = y . x olduğundan gerçek sayılar kümesinin çarpma işlemine göre değişme özelliği vardır.
3. ∀ x,y,z ∈ R için x . (y . z) = (x . y) . z olduğundan gerçek sayılar kümesinin
çarpma işlemine göre birleşme özelliği vardır.
4. ∀ x ∈ R için x . 1 = 1 . x = x olduğundan gerçek sayılar kümesinin çarpma iş-
lemine göre etkisiz elemanı 1 dir.
5. x ≠ 0 olmak üzere ∀ x ∈ R için
sayısı x in çarpma işlemine göre tersidir.
6. ∀ x ∈ R için x . 0 = 0 . x = 0 olup 0 ∈ R çarpma işleminin yutan elemanıdır.
7. ∀ x,y,z ∈ R için x . (y + z) = (x . y) + (x . z) ve (y + z) . x = (y . x) + (z . x) olduğundan reel sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine da-
ğılma özelliği vardır.
x .
x x x dir Burada x
R olup x
1 1 1
1 1
$ $ = = !
Gerçek Sayılarda Eşitsizliğin Özellikleri
2 < 5 eşitsizliğinin her iki tarafını 3 sayısı ile toplayınız.
Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı gerçek sayı ile toplandığında eşitsizlik değişir mi? Açıklayınız.
1 < 3 eşitsizliğinin her iki tarafını 2 sayısı ile çarpınız.
1 < 3 eşitsizliğinin her iki tarafını –2 sayısı ile çarpınız.
Bir eşitsizliğin her iki tarafının pozitif veya negatif bir gerçek sayı ile çarpılması arasında nasıl bir
farklılık vardır? Açıklayınız.195
Kemal’in yaşı, Sinem’in yaşından küçük; Sinem’in yaşı ise Burak’ın yaşından küçüktür. O hâlde Kemal’in yaşı ile Burak’ın yaşını karşılaştırdığınızda ne söyleyebilirsiniz? Bu durum için gerçek sayılar
kümesinde bir genelleme yapılabilir mi? Tartışınız.
İrem’in boyu Ceren’in boyundan küçüktür. Ceyda’nın boyu Ece’nin boyundan küçüktür. Bu durumda
İrem ile Ceyda’nın boyları toplamını, Ceren ile Ece’nin boyları toplamı ile karşılaştırdığınızda ne söyleyebilirsiniz? Bu durum için gerçek sayılar kümesinde bir genelleme yapılabilir mi? Tartışınız.
eşitsizliklerini taraf tarafa çarparak yeni bir eşitsizlik elde ediniz.
Pozitif gerçek sayılar için a < b ve c < d ise a.c < b.d olur mu? Tartışınız.
Örnek : 5 < 11 eşitsizliğinin her iki yanına 3 sayısını ekleyelim.
5 < 11 ⇒ 5 + 3 < 11 + 3 ⇒ 8 < 14 tür. Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı gerçek sayıyı eklersek eşitsizlik yön değiştirmez.
Örnek : 3 < 4 eşitsizliğinin her iki yanını 5 sayısı ile çarpalım.
3 < 4 ⇒ 3 . 5 < 4 . 5 ⇒ 15 < 20 dir. Bir eşitsizliğin her iki yanını aynı pozitif reel sayı ile çarparsak
eşitsizlik yön değiştirmez.
Örnek : eşitsizliğinin her iki yanını –6 sayısı ile çarpalım.
Çözüm :
Bir eşitsizliğin her iki yanını aynı negatif reel sayı ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir.
Örnek : 3 < 11 ve 4 < 5 aynı yönlü eşitsizliklerinin her iki yanını taraf tarafa toplayalım.
3 < 11 ve 4 < 5 ⇒ 3 + 4 < 11 + 5 ⇒ 7 < 16 dır.
Verilen aynı yönlü iki eşitsizliğin her iki yanını taraf tarafa toplarsak eşitsizlik yön değiştirmez.
dir.
2
1
3
4
2
1
6
3
4
c c - -- - - m m 1 22 & & $ $ ] ] g g 63 8
2
1
3
4
- 1
3 7
2 5 1
1
4
∀ a,b,c ∈ R için a < b ⇔ a + c < b + c dir.
∀ a,b,c ∈ R ve c > 0 için a < b ⇒ a . c < b . c dir.
∀ a,b,c ∈ R ve c < 0 için a < b ⇒ a . c > b . c dir.
∀ a,b,c,d ∈ R için (a < b ∧ c < d)⇒ a + c < b + d dir. 196
Örnek : 2 < 7 ve 7 < 9 ise 2 < 9 dur.
Örnek : 5 < 10 ve 3 < 7 eşitsizliğinin her iki yanını taraf tarafa çarpalım.
5 < 10 ve 3 < 7 ⇒ 5 . 3 < 10 . 7 ⇒ 15 < 70 tir.
Örnek : x ve y aynı işaretli sayılar olmak üzere, olduğunu gösterelim.
Çözüm : x ve y aynı işaretli olduğundan x . y > 0 olur. x < y eşitsizliğinin her iki yanını ile çarpalım.
dir.
Örnek : 2x – 1 < 5x – 2 eşitsizliğinin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulalım.
Çözüm : tür.
Ç olur. xx x R , , 3
1
3
1
= = ( 2 2 ! c m 3
2 1 5 2 2 5 21 3 1 3 1 x x xx x x x 3
1
- - - -+ - - 1 1 1 22 & & &&
xyx x y y
xy y x
1 1 11 11 1 & & $ $
$ $
x y
1
$
x y x y
1 1 1 2 &
∀ a,b,c ∈ R ve (a < b ∧ b < c) ⇒ a < c dir.
∀ a,b,c,d ∈ R
+
ve (a < b ∧ c < d) ⇒ a . c < b . d dir.
Gerçek Sayı Aralıkları
2 ile 4 arasında kalan gerçek sayılar kümesini ortak özellik yöntemi ile gösteriniz. Bu kümeyi A ile
isimlendiriniz.
2 ve 4 sayıları A kümesine ait midir?
A kümesini aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
A kümesi başka bir gösterimle ifade edilebilir mi?
2 ile 4 arasında kalan gerçek sayılar kümesine 2 ile 4 sayıları ilave edildiğinde oluşan B kümesini
ortak özellik yöntemi ile gösteriniz.
B kümesini aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
B kümesi başka bir gösterimle ifade edilebilir mi?
2 ile 4 arasında kalan gerçek sayılar kümesine sadece 2 sayısı ilave edildiğinde oluşan C kümesini
ortak özellik yöntemi ile gösteriniz.
C kümesini aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
C kümesi başka bir gösterimle ifade edilebilir mi?
2 ile 4 arasında kalan gerçek sayılar kümesine sadece 4 sayısı ilave edildiğinde oluşan D kümesini
ortak özellik yöntemi ile gösteriniz.
D kümesini aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
D kümesi başka bir gösterimle ifade edilebilir mi?
... 0 1 2 3 4 5 6 ...
... 0 1 2 3 4 5 6 ...
... 0 1 2 3 4 5 6 ...
... 0 1 2 3 4 5 6 ...197
23456
Sayı doğrusu üzerinde a ve b sayıları arasındaki tüm gerçek sayıların kümesine a, b aralığı denir. Uç noktaların dahil olup olmaması aralığı kapalı ya da
açık yapar.
olmak üzere kümesi a ve b ger-
çek sayılarıyla oluşturulan kapalı aralıktır. biçiminde gösterilir. 6 @ a b,
a b R ve a b , ! 1 # - xa x bx R GG ! ,
Örnek : kümesine karşılık gelen aralığı yazıp sayı doğrusu üzerinde gösterelim.
Çözüm : olup sayı doğrusu üzerinde,
şeklinde gösterilir. Bu aralık, 3 ile 5 sayıları arasındaki (3 ve 5 dâhil) tüm gerçek sayılara karşılık gelen
noktaların oluşturduğu doğru parçasıdır.
Örnek : kümesine karşılık gelen aralığı yazıp sayı doğrusu üzerinde gösterelim.
Çözüm : olup sayı doğrusu üzerinde,
şeklinde gösterilir. Bu aralık –2 ile 3 sayıları arasındaki (–2 ve 3 dâhil değil) tüm gerçek sayılara karşı-
lık gelen noktaların oluşturduğu doğru parçasıdır.
Örnek : kümelerine karşılık gelen aralıkları yazıp
sayı doğrusu üzerinde gösterelim.
Çözüm :
# - x x xR 0 2 02 1 G ! , , =^ @
# - x x xR 1 3 13 G ! 1 , , =6 h
# # x x x R ve x x x R 02 3 1 1 G! G ! , , - - 1
# - x x xR - =- 2 3 23 1 1 , , ! ^ h
# - x x xR -2 3 1 1 , !
# - x x xR 3 5 35 GG ! , , =6 @
# - x x xR 3 5 GG ! ,
–1 0 1 2 3 01234
olmak üzere kümesi a ve b
gerçek sayılarıyla oluşturulan açık aralıktır. (a,b) biçiminde gösterilir.
a b R ve a b , ! 1 # - xa x bx R 1 1 , !
Bu aralık 0 ile 2 sayıları arasındaki
(0 dâhil değil, 2 dâhil) tüm gerçek sayı-
lara karşılık gelen noktaların oluşturdu-
ğu doğru parçasıdır.
Bu aralık 1 ile 3 sayıları arasındaki
(1 dâhil, 3 dâhil değil) tüm gerçek sayı-
lara karşılık gelen noktaların oluşturdu-
ğu doğru parçasıdır.
olmak üzere
kümeleri a ve b reel sayılarıyla oluşturulan yarı açık aralıklardır. Sırasıyla bi-
çiminde gösterilir.
6 @ a b ve a b , , h ^
a b R ve a b , ! 1 # # xa x bx R x bx R G ! G! 1 1 , , - - ve x a
–3 –2 –1 1 2 3 4 0198
Örnek : sayı aralıkları veriliyor.
kümelerini bulup sayı doğrusu üzerinde gösterelim.
Çözüm :
Örnek : aralıkları veriliyor.
a. A ∪ B b. A ∩ B c. A B ç. B A
kümelerini bulup sayı doğrusu üzerinde gösterelim.
Çözüm :
a.
b.
c. AB A B x x x x R ,, 43 3 = = - =- + / I
# - 3 3 1 G G! ^ @
AB x x x x R x x x R + / =- + = = # 3 3 1 11 1 G ! G! 4 3 3 4 34 , ,, - # - ^ ?
AB x x x x R x x , 0 = - + = - + =- + # 3 3 3 3 33 1 11 11 G ! 4 3 , , - " , ^ h
A ve B =- = + ^ ^h 3 3 , , 4 3 @
., , ,
,, .
b x x x xR
x x x R olarak bulunur
23 14 2 3 1 4
1 3 13
+ / GG G ! 1
GG !
- =-
= =
6 6 h
6
@
@
#
#
-
-
., , ,
,, .
a x x x xR
x x x R olarak bulunur
23 14 2 3 1 4
2 4 24
, 0 1
1
GG G !
G !
- =-
= - =-
h
h
6 6
6
@
#
#
-
-
a b ., , ., , 66 66 - - 23 14 23 14 @ @ , + h h
6 6 - =- = 23 2 3 14 1 4 , ,, , @
# # x x x R ve x x x R GG ! G ! - - h 1
–2 –1 0 2 3 4 1
–2 –1 0 2 3 4 1
3 4
3 4
–
∞ +
∞
3 4
–∞ +∞
–
∞ +
∞199
ç.
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ve Eşitsizlikler
2x – 5 = – 10 denklemini çözünüz.
Bu denklemin doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve gerçek sayılar kümelerindeki çözüm kü-
melerini yazınız. Bulduğunuz çözüm kümelerini karşılaştırınız.
3x + 7 ≤ – 2 eşitsizliğini çözünüz.
Bu eşitsizliğin doğal sayılar, tam sayılar ve gerçek sayılar kümelerindeki çözüm kümesini yazınız.
Bulduğunuz çözüm kümelerini karşılaştırınız.
Örnek : denkleminin çözüm kümesini doğal sayılar, tam sayılar ve ger-
çek sayılar kümelerinde bulalım.
Çözüm :
olduğundan denklemin doğal sayılar kümesinde çözümü yoktur. Ç = { } dir.
olduğundan denklemin tam sayılar kümesinde çözümü yoktur. Ç = { } dir.
olduğundan denklemin gerçek sayılar kümesinde çözümü vardır. Ç dır.
Örnek : denklemini sağlayan x sayısını bulalım.
Çözüm :
.
x x x
xx x
xx x
x x
x
x olarak bulunur
3
2
2
3 5
4
2 3
12
1
4 2 63 5 32 3 1
4 8 18 30 6 9 1
22 22 6 10
16 12
16
12
4 6 3
&
&
&
&
&
- +
+ =
+ + -+ += ++
-+ + = ++
+=+
=-
=-
$$ $ ] ] ]
^ ^ ^
g g g
h h h
x x x
3
2
2
3 5
4
2 3
12
- 1
+
+ =
+ +
6
17 R = ' 1 6
17 !
Z
6
17 g
N
6
17 g
.
xx xx x x
x x x x x olarak bulunur
7 4 2 15 3 4 7 28 2 15 3 4
9 13 3 4 6 13 4 6 17 6
17
&
& & &&
-+ + = + - + + = +
-=+ =+ = =
$
] g
7 4 2 15 3 4 $
] g xx x -+ + = +
BA B A x x x x R ,, 3 44 = = =+ + / I
# - 11 2 3 3 ! ^ h
3 4
–∞ +∞200
Örnek : denkleminin çözüm kümesini doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve
gerçek sayılar kümelerinde bulalım.
Çözüm :
Bu durumda, bu denklemin doğal sayılar ve tam sayılar kümelerinde çözümü yoktur. Ç = { } dir. Rasyonel sayılar ve gerçek sayılar kümelerinde çözümü vardır. Ç = dur.
Örnek : denkleminin çözüm kümesi {5} ise a sayısını bulalım.
Çözüm :
Denklemde x yerine 5 yazılırsa
Örnek : denkleminin çözüm kümesini gerçek sayılar kümesinde bulalım.
Çözüm :
Bu durumda “0 = 0” şeklinde doğru bir önerme elde edilir. O hâlde bu denklemin çözüm kümesi,
Ç = R dir.
Örnek : denkleminin çözüm kümesini gerçek sayılar kümesinde bulalım.
Çözüm :
Bu durumda, “–6 = 24” şeklinde yanlış bir önerme elde edilir. O hâlde bu denklemin çözüm kümesi,
Ç = ∅ dir.
x x x xx x x x
x x
2 1 3 4 3 8 2 2 2 3 4 3 24 2
5 6 5 24
6 24
&
&
&
- + -= + + -+ -= + +
-= +
- =
] g ] g
2 1 3 43 8 2 ]
xx xx - + -= + + g ] g
x xx x xx
x x
5 2 3 2 7 7 5 10 3 2 7 7
7 77 7
0 0
&
&
&
+ -+ = + + -+ = +
+= +
=
] g
5 2 32 7 7 ] g x xx + -+ = +
.
a a aa
a
a bulunur
7 5 2 2 5 36 5 35 2 10 36
3 9
3
&
&
&
+ -+ = +-+=
=-
=-
$ $ ] g
] g a xax + -+= 7 2 2 36
23
9
& 0
x x
x x
x
x
5
2
4
1
1
1
4 8 5 5 20
9 23
9
23
4 5 20
&
&
&
- +
+ = -+ +=
=
=
^ h ^ h ^ h
x x
5
2
4
1
1
- +
+ =
dur.
dır.
tür.201
Örnek : b . (x + 1) = 3x + 2b – 2 denkleminde hangi b değeri için x in bulunamayacağını bulalım.
Çözüm :
O hâlde, b – 3 = 0 ⇒ b = 3 değeri için payda sıfır olacağından bu değer için x bulunamaz.
Örnek : olduğuna göre x in değerini bulalım.
Çözüm :
Örnek :
ise x in değerini bulalım.
Çözüm :
.
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x bulunur
1
1
2
1
1
1
3
1
1
1 2
1
1 1
3
1
1
2
3
1
36 1
2 7
2
7
&
&
&
&
-
+
+
+ =
+
+ -
+
+ +
=
-
+
+=-
=-
=-
& =
x
x
1
1
2
1
1
1
3
1
-
+
+
+ =
,
,
, ,
,
, .
x x
x
x dir
0 44
0 33
0 11 0 44
3
1
0 44 3
1 32
&
&
&
= =
=
=
$
,
,
,
x
0 44
0 33
0 11
=
.
b x x b bx b x b
bx x b
xb b
x
b
b
olur
1322 322
3 2
3 2
3
2
&
&
&
&
+ = + - += + -
- =-
- =-
=
-
-
]
]
g
g202
Örnek : eşitsizliğinin çözüm kümesini doğal sayılar ve tam sayılar kümelerinde bulalım.
Çözüm :
tür.
Bu durumda denklemin doğal sayılardaki çözüm kümesi, Ç = { } ve tam sayılardaki çözüm kümesi, Ç = {–1, –2, –3, ...} tür.
Örnek : eşitsizliğinin çözüm kümesini;
a. Doğal sayılar kümesinde, b. Tam sayılar kümesinde,
c. Rasyonel sayılar kümesinde, ç. Gerçek sayılar kümesinde bulalım.
Çözüm :
a. Doğal sayılarda çözüm kümesi,
Ç dir.
b. Tam sayılarda çözüm kümesi,
Ç dir.
c. Rasyonel sayılar kümesinde çözüm kümesi,
Ç dir.
ç. Gerçek sayılarda çözüm kümesi,
Ç dir.
Örnek : ifadesinin alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamını bulalım.
Çözüm :
dir. Öyleyse,
O hâlde b – 2a ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri 12 ve en küçük tam sayı değeri –4
olduğundan sonuç (+12) + (–4) = 8 olarak bulunur.
b
a
b a
3 5
2 28
5 2 13
1 1
1 1
1 1
-
- -
- -
+
- - - -- 4 1 2 4 2 21 8 2 2 2 2 8 11 1 1 1 1 1 1 a a aa & && $ $$ ] g
-- - 4 13 5 2 11 11 a ve b ise b a
= - =- # - x x xR 2 7 27 G ! 1 , , 6 h
= - # - x x xQ 2 7 G ! 1 ,
= - =- - #
x x xZ 2 7 2 10123456 G ! 1 , , ,,,,,,, - " ,
=- = #
x x xN 2 7 0123456 G ! 1 , ,,,,,, - " ,
.
x x x x x xx x
x x x xx xx xx
x x x bulunur
42 4 6 3 1 8 4 4 6 3 1
3 84 63 1 3 3 8 3 4 6 3 3 1
8 6 1 86 66 16 2 7
&
& &
&& &
1 1
1 1
1 11
G G
G G
GG G
-- - - + -- + - +
- - + -+- -+- -++
- - -+ -+ + -
] g
-- - - + x xx x 42 4 6 3 1 ] gG 1
x x
x
4 7 10 4 3
4
3
&
&
1 1
1
-- -
-
x
5
4 7 1 2
- -
O hâlde;203
Örnek : a,b ∈ R olmak üzere olduğuna göre a2
– b2
ifadesinin reel
sayılar kümesindeki çözümünü bulalım.
Çözüm :
elde edilir. Öyleyse Ç = {a, b⏐ – 16 < a2
– b2
≤ 25, a,b ∈ R} dir.
Örnek : x, y ∈ Z olmak üzere olduğuna göre 3x – 2y ifadesinin alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerini bulalım.
Çözüm :
x ve y tam sayı olduğundan 3x – 2y ifadesinin en küçük ve en büyük tam sayı değerlerini bulurken
verilen aralıklardan seçim yapabiliriz. O hâlde,
x = 5 ve y = –4 için 3x – 2y ifadesinin en büyük değeri 3 . 5 – 2 . (–4) = 23,
x = –2 ve y = –1 için 3x – 2y ifadesinin en küçük değeri 3 . (–2) – 2 . (–1) = –4 bulunur.
Örnek :
eşitsizlik sisteminin tam sayılar kümesinde ve gerçek sayılar kümesinde
çözüm kümelerini bulalım.
Çözüm :
olarak bulunur.
olarak bulunur.
Bu eşitsizliğin tam sayılar kümesindeki çözümü Ç
gerçek sayılar kümesindeki çözümü ise Ç olur. = - - =- - # - x x xR 3 2 32 1 G !, , ^ @
= - - =- #
x x xZ 32 2 1 G !, , - ! +
x
x
x
2
3 4
& 3 2
1 1
1
G G
-
-
3
- -
x x x x ve
x x xx
3 4 10 3 10 4 3 6 2
7 2 1 7 71 2 71 6 2 8 3 4
& &&
1 1 1 1 1 1 11 & &&
- - -+ - - G G GG
- - -+ + - -
x
x
3 4 10
72 17 1 1
- - G
- - 3
- - 2 65 0 G x ve y 1 11
aa a
bb b
a b
5 2 0 25 0 25
4 3 0 16 16 0
16 25
2 2
2 2
2 2
& &
111 & &
1
GG G G G G
GG G
G
-
- --
- -
+
- - 5 24 3 GG G a ve b 1
–3 –2
–3 +3
4204
Örnek : eşitsizliğinin çözüm kümesini, doğal sayılar, tam sayılar ve gerçek sayılar
kümelerinde bulalım.
Çözüm :
Bu durumda verilen denklemin;
Doğal sayılardaki çözüm kümesi {0, 1, 2, 3},
Tam sayılardaki çözüm kümesi { –2, –1, 0, 1, 2, 3} ve
Gerçek sayılardaki çözüm kümesi {x | – 3 < x < 4, x ∈ R} olarak bulunur.
Örnek : eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamını bulalım.
Çözüm :
Bu durumda x tam sayılarının toplamı
olur.
Örnek : olduğuna göre y nin hangi aralıkta olduğunu bulalım.
Çözüm :
xy x .
y
ir
x
y
y
y
y
5 30 t
5
3
2 32 5
3
3
10 3 15
13 12
12 13
&
&
&
&
&
11 1 1
1 1
1 1
1 1
+-= =
-
- -
-
- -
- -
-
5 30 2 3 x y ve x +-= - 1 1
_ _ - +- + + + + + + + = 15 14 14 15 i i ... 16 17 18 19 70
.
x x
x
x dur
33 2 1 3 37 33 2 2 3 37
32 2 38
16 19
&
&
&
1 1
1
1
G G
G
G
- + - - +-
-
-
] g
- +- 33 2 1 3 37 1 $
] g x G
x x
x
x
5 32 9 8 2 6
62 8
3 4
&
&
&
1 1 11
1 1
1 1
- - --
-
-
- - 5 32 9 1 1x
tür.
bulunur.205
Örnek : ise a nın hangi aralıkta olacağını bulalım.
Çözüm :
Örnek : x ve y birer pozitif tam sayı olmak üzere, x > 2, 3x + 2y = 25 olduğuna göre y nin alabileceği en
büyük değeri bulalım.
Çözüm :
Bu durumda y nin alabileceği en büyük değer 9 dur.
Örnek : eşitsizliğini sağlamayan kaç tane doğal sayı vardır? Bulalım.
Çözüm :
O hâlde bu eşitsizliği sağlamayan doğal sayılar 0, 1, 2, ... , 15 olup 16 tanedir.
Örnek : eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı ile en küçük tam sayının çarpımı
kaçtır? Bulalım.
Çözüm :
O hâlde bu eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı ile en küçük tam sayının çarpımı (–2) . (2) = –4
tür.
.
x x
x ir d
52 15 62 4
3 2
&
&
1 1
1
G G
G
-+ -
-
- + 52 15 1 x G
.
x x xx
x tir
3 2 2 1 23 3 6 2 2 23
15
&
&
2 2
2
] ] + - - +- + g g
3 2 2 1 23 ] ] x x +- - g g2
.
xy x y
x
y
x
y
y
y
y
y dir
3 2 25 3 25 2
2
3
25 2
2
3
25 2
25 2 6
25 6 2
19 2
2
19
&
&
&
&
&
&
&
22 2
2
2
2
+= =-
-
=
-
-
-
,
,
,
, ,
.
x
a
x
x a
a
a
a olarak bulunur
0 05
1 3
0 05
1 0 05 3
0 05
1
0 05
3
20 60
&
&
&
&
11 1 1
1 1
1 1
= = $
$
,
x
a ve x 0 05 = 1 3 1 1
dır.
tür.206
ALIŞTIRMALAR
1. a > 0 , a = –2b ve 5b = 3c olduğuna göre a, b ve c sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
2. x,y ∈ Z olmak üzere nin alabileceği en küçük tam sayı
değeri kaçtır?
3. eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
4. olduğuna göre x2
hangi sayı aralığındadır?
5.
d1
sayı doğrusunda belirtilen aralık, Ali’nin denizde inebileceği en dip nokta ile karada tırmanabileceği en üst
noktaları(metre cinsinden); d2
sayı doğrusu ise Fatma’nın
denizde inebileceği en dip nokta ile karada tırmanabilece-
ği en üst noktaları (metre cinsinden) ifade etmektedir. Kemal, Ali kadar derine dalabiliyor ve Fatma kadar yükseğe
tırmanabiliyor ise Kemal’in denizde dalabileceği ve karada
tırmanabileceği aralığı sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
6. a, b ve c sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere ise a,b ve c
sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
7. hangi sayı aralığındadır?
8. Bir firma a TL ye aldığı bir malı b TL ye satmaktadır. a ile b arasında a = 7b – 48 bağıntısı vardır. Firmanın zarar etmemesi için malın maliyeti en fazla kaç lira olmalıdır?
9. a ve b gerçek sayılar olmak üzere; olduğuna göre a2
+ b2
nin alabileceği kaç tane tam sayı değeri vardır?
10. x ve y gerçek sayılar, olduğuna göre y nin hangi aralıkta olduğunu bulunuz.
11. ise x hangi aralıktadır?
12. olmak üzere, x ve y tam sayıları için ifadesinin alabileceği en
büyük değeri bulunuz.
13. 2(2 – x) + 3(x + 1) = x + 7 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
14. denkleminin doğal sayılar kümesindeki çözüm kümesi { 2} ise a kaçtır?
15. ifadesinde x in hangi değeri için y bulunamaz?
16. olduğuna göre x kaçtır?
17. 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x
2
1
1
2
1
1
+
+
=
x x
12
4 6
6
2 6 6
- -
- =
x
y
y
2 1
3 1
=
+
-
xa xa
2
3
5
1
- +
+ =
y
x
x
y
1
1
-
- 2 5 4 10 11 11 x ve y
x ve x
x
0
3 2 1 1 2
+
- -= 2 3 23 1 1x ve x y
- - 4 54 3 11 11 a ve b
- - 4 32 6 11 1 a ve b ise a b G $
b a b c ve a b 0 0 45 ,
$ $
4 2 1 2 =
-5 3 1 x G
x xx - ++ 53 2 7 G 1
-- - 2 33 4 3 11 11 x ve y ise x y
–4 3
–2 5
d1
d2207
MUTLAK DEĞER
Yanda verilen koordinat düzlemindeki B ve C noktalarının başlangıç
noktasına olan uzaklıkları ile ilgili ne
söyleyebilirsiniz? Uzaklığı negatif olarak ifade edebilir misiniz?
Koordinat düzleminde verilen
ve dik üçgenlerdir. Bu dik üç-
genlerin dik kenar uzunlukları, hipotenüse ait yükseklikleri ve alanları ile ilgili ne söyleyebilir siniz?
Mutlak Değer Kavramı
Yukarıda verilen sayı doğrusundan yararlanarak –6 ile +6 nın 0 noktasına olan uzaklıklarını hesaplayınız.
Bulduğunuz sonuçların pozitif olmasının sebebi nedir?
A noktasına uzaklığı 5 birimden az olan noktaların oluşturduğu kümeyi eşitsizlik cinsinden ifade ediniz.
Sayı doğrusu üzerinde A noktasına uzaklığı 5 birimden az olan noktaların oluşturduğu kümeyi mutlak değer kullanarak nasıl ifade edersiniz?
Örnek : Sayı doğrusu üzerinde –5, +8, +17 ve –16 sayılarının başlangıç noktasına olan uzaklığını bulalım.
Çözüm :
Yukarıdaki sayı doğrusu üzerinde görüldüğü gibi,
–16 nın başlangıç noktasına uzaklığı 16 birim, –5 in başlangıç noktasına uzaklığı 5 birim, +8 in baş-
langıç noktasına uzaklığı 8 birim, 17 nin başlangıç noktasına uzaklığı 17 birimdir.
DOC &
AOB &
–1
–2
–3
–4
–5
1
O 1
2
3
A
y
B x
C
D
4
5
2345
–5 –4 –3 –2 –1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
O A
1234567
–16 –5 0 8 17
|
–16|
= 16 , |
+8|
= 8 olduğunu gösterdik.
16 16 16
8 88
- =- - =+
+ =+ + =+
]
]
g
g
_
`
a
bb
bb
Görüldüğü gibi negatif sayıların mutlak değeri bulunurken mutlak de-
ğerin içindeki sayı (–) ile, pozitif sayıların mutlak değeri bulunurken mutlak değerin içindeki sayı (+) ile çarpılır.208
Yani, dır.
Mutlak Değerin Özellikleri
Sayı doğrusu üzerindeki hangi sayıların 0 a uzaklığı 3 birimdir?
|x| = 3 eşitliğini sağlayan x gerçek sayılarının kümesini yazınız.
xdR ve adR
+
için |x| = a şeklindeki denklemlerin çözümü için bir genelleme yapınız.
|x| = – 1 eşitliğini sağlayan x gerçek sayısı bulunabilir mi? Neden?
x ! 0 ve |x| = a ise a gerçek sayısının işareti için ne söylenebilir? Açıklayınız.
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
noktalı yerleri doldurunuz.
adR
+
ve xdR için |x| ≤ a şeklindeki eşitsizliklerin çözümü için bir genelleme yapınız.
Başlangıç noktasına olan uzaklığı 5 birim ve 5 birimden büyük noktaların kümesini sayı doğrusunda gösteriniz.
Bu noktalara eşlenen sayıların mutlak değerleri için ne söylenebilir? Tartışınız.
adR
+
ve xdR için |x| ≥ a şeklindeki eşitsizliklerin çözümü için bir genelleme yapınız.
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
noktalı yerleri doldurunuz.
x, ydR için |x.y| = |x| . |y| midir? Tartışı-
nız.
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
noktalı yerleri doldurunuz.
x, ydR ve y ≠ 0 için midir?
Tartışınız.
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
noktalı yerleri doldurunuz.
ndZ +
ve xdR için |xn
| = |x|n
midir? Tartışı-
nız.
y
x x
y
6 =
6
,
,
x
x x
x x
0
1 0
H =
-
)
Eşitsizlik Mutlak Değerle İfadesi
– 3 ≤ x ≤ 3 |
x| ≤ 3
..................... |
x| ≤ 8
– 7 ≤ x ≤ 7 .....................
|
2.3|
= |
6| = 6 |
2| . |3| = 2.3 = 6
|
(–2) . 3| = ................. |
–2| . |3| = ...............
|
5 . - 3 | = .............. ^ h 5 3 . - = ............
2
8
= = 4 4 2
8
2
8
= = 4
= ........................... 3
6
- = ..................... 3
-6
= ............................ 8
12
= ...................... 8
12
|
3
2
|
= |
9| = 9 |
3
2
|
= |
3| . |3| = 3.3 = 9
|
(–2)3
| = ........................ |
–2|
3
= ..........................
= ...................... 2
1
5
b l
= ........................ 2
1
5
Bir gerçek sayının, sayı doğrusu üzerindeki görüntüsünün başlangıç noktasına olan uzaklığına, bu gerçek sayının mutlak değeri deriz ve a gerçek sayısı-
nın mutlak değerini biçiminde gösterilir. a209
Örnek : ise x in alabileceği değerleri bulalım.
Çözüm :
O hâlde,
Örnek : denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
O hâlde Ç = {1, 3, 5, 7} olur.
Örnek : ise x in hangi aralıkta olduğunu bulalım.
Çözüm : yazılabilir. Bu durumda,
tür.
O hâlde Ç olur.
Örnek : denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm : x Ç = " , -11 5, . olur x x
x x
3 8 38 5
3 8 11 &
&
&
+ = &
+ =+ =
+ =- =-
x3 8 + =
= - # - x x xR 2 3 GG !,
-- - - 10 4 2 10 8 4 12 2 3 G G G G GG x xx & &
4 2 10 10 4 2 10 x x - -- G GG &
4 2 10 x- G
.
xx x
x x
x x xx
x x x x olur
42 1 42 1 42 1
43 41
43 43 41 41
715 3
&
&
&
&
0
0
0 00
0 00
- - = - - =+ - - =-
- =+ - =+
- =+ - =- - =+ - =-
= =+ = =
x4 2 1 --=
2 17 2 1 7 x veya x dir + = + =- . 2 17 3 2 1 7 4 x x ve x x olur + = = + =- =- & & .
217 x+ =
Aşağıdaki verilen denklem ve eşitsizliğin çözümleri için gerekli boşlukları sırayla doldurunuz.
Birinci dereceden bir bilinmeyenli bir veya iki mutlak terim içeren denklemlerin ve eşitsizliklerin çö-
züm kümeleri nasıl bulunur? Tartışınız.
Denklem Çözümü
||x + 2| – 2|
= 5
|
x + 2| – 2 = ........ v |
x + 2| – 2 = ........
|
x + 2| = ........ v |
x + 2| = ........
x + 2 = ........ v x + 2 = ........
çözüm kümesi ........
Eşitsizlik Çözümü
|
x + 3| ≤ 7
...... ≤ x + 3 ≤ ........
...... ≤ x ≤ ........
çözüm kümesi ........210
Örnek : denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
bulunur. O hâlde Ç dir.
Örnek : eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm : Her iki tarafın karesini alırsak
Bu durumda Ç dir.
Örnek : denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
3 ≠ 7 olduğundan denklemin çözüm kümesi Ç = { 5 } olur.
Örnek : ise y nin alabileceği tam sayı değerlerini bulalım.
Çözüm :
tür. olduğundan x yerine yazılırsa
O hâlde Ç dir.
Örnek : ifadesini en küçük yapan x değerini bulalım.
Çözüm :
dır. O hâlde ifadesinin en küçük değeri sıfırdır. Bu durumda,
3x – 9 = 0 ⇒ x = 3 bulunur.
3 9 x- H 0 3 9 x-
3 9 x-
= - # - y y yZ 35 7 GG !,
.
y y y
y
y
y olur
3
1
5 7 3
14
7
3
14
7 14 21
21 14 21
35 7
&& &
&
&
GGG G
G G
G G
-
+
+ +
+
- +
-
y
3
-1
yx x x 5 + G 7
y
3 1 3
1
=+ = &
-
x ve y x + =+ 5 7 31 G
.
.
.
x x x x tir
x xx
x x olur
x xx
xx x
x olur
3 7 37
30 37
37 37
3 0 37
7 3 2 10
5
&
& &
& &
&
& &
&
1
2
- += - =-
- -- =-
-+ = - =
- -=-
+=+ =
=
] g
x x - += 3 7
= - # - xx x R H ! 1,
.
xx x x
xx x x
x
x olur
21 25 21 25
4 4 1 4 20 25
24 24
1
2 2
2 2
&
&
&
&
G G
G
G
H
-+ - +
-+ + +
-
-
21 25 x x - + G
,
2
1
2
3
= -' 1
x xx
x x xx
5 2 1 4 6 5 2 1 10 2 1 2
2 12 2 1 2 2
3
2
1
& &
& & 0 0
- -= - = - =
- = - =- = =-
52 1 4 6 x- -=211
Örnek : A = |x – 3 |+ |x + 7 |ise A nın en küçük değerini bulalım.
Çözüm :
|x – 3 |ifadesini en küçük yapan x değeri, x – 3 = 0 dan x = 3 bulunur. ⏐x + 7⏐ ifadesini en küçük
yapan x değeri, x + 7 = 0 dan x = –7 bulunur.
x = 3 ⇒A = |3 – 3 |+ |3 + 7 |= 10 dur.
x = –7 ⇒A = |–7 – 3 |+ |–7 + 7 |= 10 dur.
O hâlde, A nın en küçük değeri 10 dur.
Örnek : A = |x + y – 3 |+ |y – 5 |= 0 ise x ve y değerlerini bulalım.
Çözüm :
⇒ |x + y – 3 |= 0 ve |y – 5 |= 0 dır.
|x + y – 3 |= 0 ⇒ x + y – 3 = 0 ⇒ x + y = 3 ;
|y – 5 |= 0 ⇒ y – 5 = 0 ⇒ y = 5 ve x + 5 = 3 den
x = –2 dir.
Örnek : 3|x – 2 |+ 10 = 1 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
3|x – 2 |+ 10 = 1 ⇒ 3 . |x – 2 |= –9 ⇒ |x – 2 |= –3 tür.
Hiçbir sayının mutlak değeri negatif olamayacağından bu denklemin çözüm kümesi Ç = ∅ dir.
Örnek : ||x – 3 |– 7 |= 3 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm
||x – 3|– 7|= 3 ⇒ |x – 3|– 7 = 3 veya |x – 3|– 7 = –3 tür.
|x – 3|– 7 = 3 ⇒ |x – 3|= 10 ⇒ x – 3 = 10 veya x – 3 = –10 dur.
xy y +- + - = 3 5 0
x,y ∈ R ve a,b ∈ R
+
olmak üzere;
1. dır.
2. tir (mutlak değerin tanımından görülebilir.).
3. dır.
4. dır.
5. dir.
6. dir. ,
xy x y ; , y
x
y
x
y ve x x n Z 0 == = !
n
!
+
$ $
n
x y xy x y - ++ G G
a x baxb bx a G G GG GG + 0 - -
x a a x a ve x a x a x a G GG H H G + + - - 0
x ve x x x H GG 0 -
x a xa x a = = =- & 0212
⇒ x = 13 veya x = –7 dir.
|x – 3|– 7 = –3 ⇒ |x – 3|= 4 ⇒ x – 3 = 4 veya x – 3 = –4 tür.
⇒ x = 7 veya x = –1 dir.
O hâlde bu denklemin çözüm kümesi Ç = {–7, –1, 7,13} tür.
Örnek : |x – 11 |= 11 – x denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
|x – 11 |= 11 – x ise x – 11 G 0 dır.
x – 11 G 0 ⇒ x G 11 olur. Denklemin çözüm kümesi Ç = (–∞,–11]aralığıdır.
Örnek : eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm : Bir sayının mutlak değerinin sıfır ya da sıfırdan büyük bir pozitif sayı olduğunu biliyoruz. O hâlde hiçbir sayının mutlak değeri negatif bir sayıya eşit ya da negatif bir sayıdan küçük olamaz. O hâlde
bu denklemin çözüm kümesi Ç = ∅ dir.
Örnek : |x – 2 |G 3 ve 2x + 3y = 1 olduğuna göre y nin en geniş çözüm aralığını bulalım.
Çözüm : 2x + 3y = 1 ⇒ 2x = 1 – 3y ⇒ x = dir.
|x – 2 |G 3 ⇒ –3 G x – 2 G 3 ⇒ –1 G x G 5 tir.
x = olduğundan –1 G G 5
⇒ –2 G 1 – 3y G 10
⇒ –3 G –3y G 9
⇒ 1H y H –3 bulunur.
Örnek : eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarını bulalım.
Çözüm :
|x + 2 |H 0 olduğundan |x + 1|– 2 G 0 olmaldır. O hâlde,
|x + 1 |– 2 G 0 ⇒ |x + 1|G 2 ⇒ –2 G x + 1 G 2
⇒ –3 G x G 1 dir.
x + 2 = 0 ⇒ x = –2 paydayı sıfır ve eşitsizliği de tanımsız yaptığından çözüm kümesine alınamaz.
Bu durumda bu eşitsizliği sağlayan tam sayılar {–3, –1, 0 , 1} dir.
Örnek : eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının kümesini bulalım.
Çözüm :
x x
x
x
x
x
2
8
2
2
8
2 82 2
2 4
4 24
2 6
& &
&
&
&
H HH
G
G G
G G
-
-
-
-
-
- -
-
$
x 2
8
H 2
-
-
x
x
2
1 2 G 0
+
+ -
y
2
y 1 3 -
2
1 3 -
y
2
1 3 -
x3 1 + - G213
x – 2 = 0 ⇒x = 2 paydayı sıfır ve eşitsizliği tanımsız yaptığından çözüm kümesine alınamaz. Bu durumda bu eşitsizliği sağlayan tam sayılar kümesi ; { –2, –1, 0,1, 3, 4, 5, 6 } dır.
Örnek : olduğuna göre toplamını bulalım.
Çözüm :
Örnek : a < 0 < b olduğuna göre, işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm :
a < 0 ise |a |= –a dır. Ayrıca b – a > 0 ise |b – a|= b – a ve a – b < 0 olduğundan |a – b|= –a + b
dir. O hâlde,
tür.
Örnek : ise x in hangi aralıkta olduğunu bulalım.
Çözüm :
bulunur.
O hâlde Ç olur.
Örnek : eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
Ç olur. = -- # - xx R x x ! ,0 37 4 11 11 0
.
xxx
x x x x olur
202 250 3
202 254 7 4 7
& &
& &&
2 1 1 11
1 1 1 1 1 22
+ +
+ -- - - -
2 25 1 1 x+
=- - - + ^ h 3 3 , , 6 2 @,6
& x x H G - - 2 6 0
x x x dir.
xx x
3 4173 4 6 4 2
4 2 42 4 2
& &
& 0
H HH
HH G
++ + +
+ + +-
3 417 x+ + H
a b
a b
a b
a b
b a
4 4 4 b a 4
+
- =
- +
- + = -
- $ $ $ =
] ] g g
a b
4 a b
+
$
-
,
,
, .
ƒ
ƒ
ƒ
O halde bulunur ƒ ƒƒ
2 23 2 5 2 5 2 7
0 03 0 3 0 30 3
2 23 2 1 2 12 3
2 0 2 7 3 3 13
- =-- +- =- +- = + =
= - + =- + = + =
= - + =- + = + =
-+ + =++=
]
]
]
] ] ]
g
g
g
g g g
ƒ] g xx x =-+ 3 ƒ ƒƒ ]
-+ + 202 g ] g ] g
tür.
â214
Örnek : denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
Bu durumda Ç = {–1,–2,+2} olarak bulunur.
Örnek : a < 0 < b < c olduğuna göre ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm : dır.
Bu durumda
Örnek : ifadesinin değerini bulalım.
Çözüm :
olduğundan
Örnek : ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulalım.
Çözüm :
Kesirli ifadenin en büyük değerini alabilmesi için payda en küçük değerini almalıdır. O hâlde
Kesrin en büyük değeri 6 dır.
2 6
6 .
x
x olur
2 3
30
5
30
5
30
3 2
30 30
5
30
2 2
3
33 5
&
&
=-
- -
=
-
= =
=
-++
===
+- +
x x 3
30
-++2
aa a + - ++- 12 2 1 2 3 1 1 1 1 11 & & a a a a olur - + + =-++= 1 4 1 45 .
a ise a a + -++ 12 1 4 1
, ,
, ,
.
b c bc c b b a b a b a
ca ca ca ab ab ba
bc ba ca ab cbba ca ba
cbba caba
b a olur
- =- - = - - =+ - = -
- =+ - = - - =- - -
- + - - - + - =-+-- - +-
=-+--++-
= -
=
] ]
] ]
]
g g
g g
g
a b c ise b c b a c a ve a b 111 1 2 2 1 0 000 0 --- - , ,
bc ba ca ab -+---+-
0 0 20
, .
x x x xx x x x x
x x x veya x
x veya x
x veya x x olur
2 1 0 1 2 1 0 12 1 0
12 1
10 2
1 22
2
& &
& &
&
&
+- += + - += +- +=
+ - = + = -=
+= =
=- = =-
$
]
^
g
h
xx x 2 10 2
+- +=215
ALIŞTIRMALAR
1. ifadesinin eşitini bulunuz.
2. denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
3. 2 . denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
4. denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
5. denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
6. ise x hangi aralıktadır?
7. eşitsizliğini çözünüz.
8. ise y nin alabileceği değerler toplamını bulunuz.
9. eşitsizliğini sağlayan tam sayılar kaç tanedir?
10. eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
11. eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
12. nin değerini bulunuz.
13. Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulunuz.
14. olmak üzere, ifadesinin değerini bulunuz.
15. denklemini sağlayan x değerlerinin toplamını bulunuz.
16. ifadesinin en küçük değerini bulunuz.
17. olduğuna göre x in alacağı değerler toplamı kaçtır?
18. denklemini sağlayan en küçük x tam sayı değerini bulunuz.
19. olduğuna göre x in kaç farklı tam sayı değeri vardır?
20. olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?
21. x x 25 5 0 olduğuna göre x in çözüm kümesini bulunuz. 2
- ++=
x xy + + -+ = 5 30
x x ve x x - =- + =+ 55 5 5
x x + =+ 7 7
x
4
1
4
1
- =
Ax x =+-- 4 6
65 2 -- = x
-a b 1 10 a b ab b + +++ 2
.
.
.
.
.
π . ,
a
d
b
e
c
fx x
10
1 2
20
10
3 1
1 0
2 7
H
-
-
+
-
-
+
-
] g
34 50 37 x y ise x y -+-= -
x 1
2
H 5
+
41 2 x+ H
34 3 x- G
x ve x y - += 4 5 2 10 1
31 34 x x + - 1
2 1 2 15 x-+=
x x + -= 3 5
xx x 4 3 40 2
+ - +=
x 2 - +=4 8
x7 8 + =
a b c ise a b b c c a 1 1 ---+-
ç.216
Merkür, Güneş’e uzaklığı yaklaşık 46 . 106
ile
7 . 107
km arasında değişen oldukça eliptik bir yörünge izler. Plüton’dan sonra Güneş sisteminin gezegenleri arasında gözlenen en yüksek dış merkezlik değerine sahip bu yörüngenin, milyonlarca yıllık bir çevrim
içinde zaman zaman daha da basıklaşarak dış merkezlik derecesinin günümüzdeki 0,21 den 0,5 düzeyine yükselebildiği sanılmaktadır.
ÜSLÜ SAYILAR
Yukarıdaki metinde uzaklıkları üslü sayıları kullanmadan ifade edebilir misiniz?
Üslü sayıları kullanmak günlük yaşamda bize ne gibi kolaylıklar sağlamaktadır?
Yandaki tabloda verilen işlemleri yapınız.
Bir gerçek sayının pozitif tam sayı ve negatif
tam sayı kuvvetini nasıl hesapladığınızı açıklayınız.
Yandaki tabloda verilen işlemleri yapınız.
a, bdR ve m,ndZ
+ için am
. an
işleminin sonucunu bulunuz.
Yandaki tabloda verilen işlemleri yapınız.
a, bdR ve m,ndZ
+ için an
. bn
ile (a.b)n arasında bir ilişki var mıdır? Açıklayınız.
Yandaki tabloda verilen işlemleri yapınız.
a, bdR ve m,ndZ
+ için (am
)
n
ile am.n arasında bir ilişki var mıdır? Açıklayınız.
Yandaki tabloda verilen işlemleri örnekteki
gibi yapınız.
, a, bdR ve m,ndZ
+ için işleminin sonucunu bulunuz.
Yandaki tabloda verilen işlemleri yapınız.
, a, bdR ve m,ndZ
+ için ile
arasında bir ilişki var mıdır? Açıklayınız.
b
a
n
b l
a
b
n
n
b ! 0
a
a
n
m
a 0 !
(–2)1
= ..................... (–2)2
= ......................
(–2)3
= ..................... (–2)4
= .....................
(2)-1
= .................... (2)-2
= .....................
(2)-3
= .................... (2)-4
= .....................
(2.3)2
= .................... 2
2
. 32
= ......................
= ................ 2
1
3
1
3
b
$ l
= ................ 2
1
3
1
3 3 b l
$ b l
= ...........
1
3 2
1
4
$
-b l
= ............. 3
1 1
2
4 4 b
- l
$ b l
2
3
. 25
= .................. (–3)5
. (–3)7
= ............
= ............ 2
1
2
1
4 7 b b l l $ (–7)2
. (–7)3
= ............
(33
)
2
= .................... 3
3.2
= ..........................
= ................. 2
1
4 2
; E b l = .....................
1
2
4 2.
b l
2
2
2.2.2 2
22222 ....
3
5
= = 2
= .......................... 3
3
4
6
= ................. 7
7
8
15
= .......................... 5
5
3
8
= ...................... 5
4
3
3
= ........................ 5
4
3
b l
= ....................... 3
2
4
4
= ........................ 3
2
4
b l
217
Örnek : 2
–1, 2 sayısının çarpmaya göre tersi olmak üzere 2–1+ 3–1 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm : 2
–1 , 2 nin çarpmaya göre tersi ise 2 ile tersinin çarpımı, çarpma işleminin etkisiz elemanı olan
1 sayısını vermelidir.
Genel olarak a ∈ R olmak üzere
O hâlde a–n ifadesini a–1 yardımıyla şeklinde bulabiliriz.
Örnek : 2
–2 + 3–2 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm :
Örnek : 5
2
. 53
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm : 5
2
. 53
= 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 55
tir.
Örnek : 2
3
. 33
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm : 2
3
. 33
= 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 = (2 . 3) . (2 . 3) . (2 . 3) = 6 . 6 . 6 = 63
tür.
Örnek : (32
)
3
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm : (32
)
3
= 32
. 32
. 32
= 32+2+2 = 36
dır.
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm :
olur.
7
7
7
7
7
7
1
7
7
1
2
77 77 7 7
4
3
6
4
2
6
3
4 2 6 3 4263 5
$ $ $$ = = ==
- - -+-
$ $$
7
7
7
7
2
4
3
6
$
2 3 olur.
2
1
3
1
4
1
9
1
36
9 4
36
2 2 13 + = + =+= 2 2
+ =
- -
a a a a
n 1 1 1 n
= == n
- - n
^ h
b l
aa a .
a
1 olur 1 1 1 - -
$
= = &
. .
.
dir O h lde olur
bulunur
22 1 2 a
2
1
3
3
1
2 3 2
1
3
1
6
5
11 1
1 1
== = &
+ =+=
-- -
- -
$
a, bdR ve m, ndZ + için, an
. bn
= (a.b)n
olur.
a, bdR ve m, ndZ
+ olmak üzere am
. an
= am+n olur.
a, bdR ve m, ndZ + için, (am
)
n
= am.n dir.
â218
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm :
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm :
Örnek : ifadesinin a ve b cinsinden değerini bulalım.
Çözüm :
Örnek : 3
a + 1 = x ise 9a – 1 ifadesinin x cinsinden değerini bulalım.
Çözüm :
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm :
dir.
3
18
3
18
2
6
2 2
2
x
x x
x
-
= =
- -
-
c m
3
18
2
2
x
x
-
-
.
.
x x
x
dir Bu durumda
x x dir
3 33 3 3
9 99 3 9
1
3 9
1
81
aa a
aa a
1
1 1
2 2
& &
$ $
= ==
== = =
- -
+
$
$
2
^ h
c m
.
.
b b b olur
b a b
a
b
a
b
a
olur
22 2
36 2 3 2 3 2 3 1
1 1 1
1
xx x
2 22 4 4 4 x xx x x
4
4
4
4 4
& &
$
= ==
= = = = = ==
- - - - -
-
$$$ $
2 4 x 4 4
^
^ ^ ^ ^ c d c
h
h h h h m n m
3 2 36 a b ise ,
xx x2
= =
-
3
;;;
.
a
a a
a a a a a aa
Bu durumda
a aa
a aa
a
a
a a olur
2 1 1
2 2
2 3 44 10 10
4 4 10
2 32
10
1
1 10 11
- =
-
= = - =- - =- - =
-
- =
-
- =- =-
- -
-
- - -
-- -
$ $
$ $
]
]
]
^ ]
^
^
g
g
g
h g
h
h
a aa
a aa
4
2 2
4
- -
- -
-
- -
$ $
$ $
10
3
^ ]
] ]
h g
g g
3
.
aa a
a a aa
a aa
a a aa
aaa
aaaa a a olur 5 3 6
2 4
10
5 36
2 3 4 10
536
2 3 4 10
2 3 4 10 5 3 6 5
-- -
-- -
=
- -
- -
= ==
+++ ---
$ $
$$$
$ $
$ $$
$ $
$$$
^ ]
] ]
^ ^
^ ^
h g
g g
h h
h h
3
aa a
a a aa
5 3 6
2 4 10
-- -
-- -
$ $
$$$
^ ]
] ]
h g
g g
olmak üzere,
olur. Aynı şekilde b 0 için, olur. b
a
a b a b ab a b b
1 1 1 a
m
m
mmm
m m
== = == $
-- -
$$ $
m m ! ^ ^ h h c m c m
a 0 ,
a
a
a
a
a aaa a 1
n
m
m
n
m m n n mn ! == = $ $$
-- - ^ h a b R ve m n Z , , ! ! +219
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm :
tür.
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm :
Örnek : ifadesinin kısaltılmış biçimini bulalım.
Çözüm :
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm :
Üslü Sayıların Eşitliği
Aşağıdaki tabloda verilen örneği inceleyiniz. İstenen işlemleri yaparak noktalı yerlere yazınız.
olmak üzere her zaman am
= a a 101 b " , - , ,
n
+ m = n olur mu? Açıklayınız.
dur.
33 4 3
1
1 4
3
4
4
4
3
4
16
9
16 9
1 2
2
2
02 2
2
2
2
$
$ $
$
+ =
=
=
+
=
=
- -
-
-
$
^
c
c c
h
m
m m
33 4 1 0 2 2
+
- -
$
^ h
.
x
x
x x x olur
5
5
1 2 5 5 125
7
63 7 12 6 6
a
a
aa a a
3
6
3
-
= ==
-
- --+ + +
$
$
$ $$
x
x
5
5
1 2
7
a
a
3
6
-
-
$
$
, ,
tir.
0 5
5
0 5
5
10
5
5
5
5
10 10
x xx x
x
=== = $ x
^
d
f
c
h
n
p
m
0 5,
5
x
x
^ h
x
x
x
x
8
x x
4 8 4 8
- =- =- = 3 8 24 ]
b ]
g
l g
x
x
8
4
-
8
^ h
2
5
= 2x
+ x = 5 2
x+1 = 28
+ x = ...
3
x
= (3)8
+ x = ... 7
2x-1 = 711 + x = ...
(–5)3
= (–5)x
+ x = ... + x = ... 2
2
2 x
3
5
=220
Aşağıdaki tabloda verilen örnekleri inceleyiniz. Boşluklara hangi sayı veya sayılar gelebilir?
n 0 olmak üzere an
= bn
eşitliğinde, n nin tek veya çift olma durumlarına göre a ile b arasında
nasıl bir ilişki olur? Açıklayınız.
n ∈ N olmak üzere a2n = 52n denkleminin çözüm kümesini inceleyelim.
2n sayısı çift ve negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif olduğundan,
a
2n = 52n ⇒ a = 5 veya a = –5 olur.
Örnek : denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
O hâlde Ç = { 2 } olur.
Örnek : çarpımını bulalım.
Çözüm : Eşitlikleri taraf tarafa çarpalım.
O hâlde, x . y = 4 . 3 = 12 olur.
Örnek : ise x sayısını bulalım.
Çözüm :
Örnek : olduğuna göre x sayısını bulalım.
Çözüm :
Örnek : 15 15 15 15 15 3 ise x in alacağı değeri bulalım. x x x x xx ++++=
x x olur.
4 6 6 2 6 6 8 6 88 24 6 72 6 8 6 88
88 6 88 6 1 6 6 1 0 1
11 1 1 11
1 11
xx x x xx
x xx
2
0
&
& && & &
+ -= + -=
= = = -= =
-- - - --
- --
$$ $ $ $ $ $ $
$
4 6 2 6 8 6 88 xx x 1 1 +-= + -
$$ $
,
x x x olur.
32 0 25 2 4
1
2 2 22
5 25 6 2 11
27
x x x
2 62
x
5 3 1 5 5 x x x x
3 1
&&& 5 25 3 1 5 25
& &
= == =
+ =- - = -
+ + +
- -
+
+ + + - ^
^
c ^ h
h
m h
32 0 25 ,
x 5
=
+ 3 1 x+
^ h
5 4 64 625 5 2 2 5 4 2 6 3 x ve y y olur.
xy x y2 64
$$ $$
= = = == && &
5 64 4 625 , ise x y x y
= = $
x olur.
3 3 3 3 5 3 3 135 3 3 15 3 135 1 1 15 3 135
39 3 3 2
x x x xx x x 1
x x2
& &
&& &
- + = - + = -+ =
== =
-
$$ $$ $ $ ] g
3 3 3 5 3 135 xx x 1 1 -+= - +
$ $
!
a ∉ {–1,0,1} olmak üzere am
= an
⇔ m = n dir.
n ≠ 0 olmak üzere
,
,
a b
a b n tek ise
a b n ift ise
n n & "
=
=
=
)
ç
olur.
2
6
= x6
ise x = 2 v x = – 2 (...)4
= 54
(–5)6
= x6
ise x = 5 v x = – 5 (...)8
= (–7)8
2
5
= x5
ise x = 2 (...)7
= 47
(–4)7
= x7
ise x = –4 (...)5
= (–6)5221
Çözüm :
Örnek : denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
5x + 10 0 iken 2x + 2 = 0 için (5x + 10)2x+2 = 1 dir. Buradan,
olduğundan x = –1 denklemin bir çözümüdür.
5x + 10 = 1 için (5x + 10)2x+2 = 1 dir. Buradan,
tir.
5x + 10 = –1 iken (2x + 2) çift ise (5x + 10)2x+2 = 1 dir. Buradan,
bulunur. Şimdi için (2x + 2) nin çift olup olmadığına bakalım.
sayısı bir çift sayı değildir. Bu yüzden denklemin çözümü değildir.
O hâlde bu denklemin çözüm kümesi Ç tir.
Örnek : denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
tür.
–3 ve –4 değerleri için x2
– 2x + 2 sıfır olamaz. Bu yüzden bu sayılar çözüm kümesine dâhil edilir.
bulunur.
denkleminin kökleri rasyonel değildir ve bu nedenle
ifadesini çift sayı yapmayacağından çözüm kümesine dâhil edilemez.
O hâlde bu denklemin çözüm kümesi Ç = {–4,–3,1} dir.
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm :
5 1
1
5 1
1
5
5
1
1
5
5
1
1
5
5 5
1
5
5 5
1
5 5
5
5 5
5
5 5
5 5
xy yx
y
x
x
y
y
x y
x
y x
x y
y
x y
x
x y
x y
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
++ +
+
- -
= +== 1 dir.
5 1
1
5 1
1
xy yx +
+
+
- -
x x7 12 2
+ +
xx xx 2 2 1 2 30 2 2 - + =- - + = &
- - 1 1
xx xx x 2 21 2 0 1 1
x x
2 2 - += - + = = & & 54 54
-
x x x veya x x veya x 7 12 0 3 0 4 0 3 4
x x
2
3 4
+ + = + = + = =- =- & & 54 54
] g
x x22 1 2
2
-+ = x x + + 7 12 ^ h
1,
5
9
=- - ' 1
x
5
11 2 22 x olup =- 5
11 2
5
12
5
12 + = $
- + = - - c m
x
5
11 5 10 1 x x =- 5
11 + =- = &
-
5 10 1 x x 5
9
+= = &
-
2 2 0 1 5 10 5 1 10 5 1 x x bulunur x . & 2 2 x
0
+ = =- + = - + = = +
$
0
] g ] ] g g
!
5 10 1 x+ = 2 2 x+
] g
x dir.
5 15 3 5 3 5 3 5 3 5 3
5
5
1
55 1 1
x x x xx x
x x
&
&
&
& &
= ==
= = =-
-
$ $$ $$
x
] g222
Örnek : eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
olur. Bu durumda,
bulunur.
O hâlde bu eşitsizliğin çözüm kümesi, Ç dir.
Örnek :
eşitsizliğini sağlayan a nın en büyük tam sayı değerini bulalım.
Çözüm :
O hâlde a nın alabileceği en büyük tam sayı değeri –4 olur.
Örnek :
ise x in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulalım.
Çözüm :
O hâlde x in alabileceği en küçük tam sayı değeri 1 olur.
Örnek :
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
O hâlde eşitsizliğin çözüm kümesi, Ç = dir. # - nn n R G ! 1,
n bulunur.
5 2 5 3 5 40 5 25 2 3 5 40
8 5 40 5 5
1
n nn n 2 1
n n
&
&
&
&
G G
G G
G
- - --
+ +
$$ $
$
] g
5 2 5 3 5 40 n nn + + 2 1
- - $ $
G
,
.
x x
x x olur
0 5 16 10
5
16 2 2
2 2 2 54 8
6 3 2
1
2 5 2
2 5
2 1
25 48
x x
x
x
x x
&
4
&
&
&
&
&
1 11
1 1
1 2
-- -
- -
+ -
+
- - -
-- -
2 5 x+ x 2
^
c ^ ^ h
m h h
0 5 16 ,
2 5 x+
1 x-2
^ h
a aa
a
3
9
1
3 3
3 3
3 4 2 20 5 16
5
16
3 4
10
34 2
3 4 2 20
a
a
a
a a
&
&
&
&
&
1 1
1
1 1
1
- -- -
-
-
+
- -
- --
a+10 c m ^ h
3
9
3 4 1
10
a
a
-
1
+
c m
= # - xx x R G ! 5 ,
23 2 5 xxx 3
4
3
4
2 3 x x2
G GG & & - +
- +
b b l l
4
3
3
4
3
4
3 2x 1 2x 3 3 2x
= =
- - - -
c m dc m
n c m
4
3
3
4
32 x2 x
G
- + b l b l
dır.223
ALIŞTIRMALAR
1. işleminin sonucunu bulunuz.
2. denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
3. denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
4. ifadesini a ve b cinsinden ifade ediniz.
5. eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
6. ise x . y değerini bulunuz.
7. ise x sayısını bulunuz.
8. işleminin sonucu kaçtır?
9. işleminin sonucunu bulunuz.
10. işleminin sonucunu bulunuz.
11. ise x kaçtır?
12. işleminin sonucu kaçtır?
13. sayısının yarısı kaçtır?
14. işleminin sonucu kaçtır?
15. eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
16. eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
17. eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
18. x 16 3 ise x kaçtır?
4
=
3 81 x 1
=
-
0 04 125 ,
x-2
1
3 2 x+
^ h
x2 1 x 9
2
- =
-
] g
88 8
888
8 10 12
579
+ +
+ +
12810
3 53
3 43
1
1
n n
n n
+
+
+
-
$
$
5
3
9
25 31 42 X X
=
+ - c m c m
555
555
345
10 11 12
+ -
+ -
,
,
0 02
0 04
4
2
8
7
$
-
4
-
3
^
^
h
h
55555
3333 1
33333
444
++++
+ + -
$
^ h
3 2 3 5 3 414 xx x 1 1 -+= - +
$ $
25 9 9 3125 ,
x y
= =
2
1
2
5 3
2 7
x
H
x
-
+
c m
2 3 18 a b ise ,
xx x2
= =
- -
x5 1 + = 2 2 x-
] g
32 52 2
1
2 44 xx x 1 2 +- = $
+ +
$ $
a aa
a aa a
5 4
2
3
6 5
-
- -
- -
-
$ $
$$$
2 2
5
^ ^
] ]
h h
g g224
KÖKLÜ SAYILAR
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
noktalı yerleri doldurunuz.
xdR olmak üzere neye eşit olur?
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
noktalı yerleri doldurunuz.
adR
+ için her zaman olur mu?
Tartışınız.
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
noktalı yerleri doldurunuz.
a, bdR
+ için midir? Açıklayınız.
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
noktalı yerleri doldurunuz.
a, bdR
+ için ile arasında bir iliş-
ki var mıdır? Açıklayınız.
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
noktalı yerleri doldurunuz.
a, bdR
+ ve ndZ
+
için midir?
Açıklayınız.
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
noktalı yerleri doldurunuz.
a, bdR
+ için olur mu? Açıklayınız.
a b ab .
2
=
a a
n n
^ h =
b
a
b
a
a b ab . . =
a a
1
= 2
x
2
Karekök sembolü ilk olarak 16. yüzyılda
kullanılmaya başlandı. Latince kök demek olan radix
kelimesinin baş harfinden, yani küçük r harfinden
türetildiği söylenir.
_ i
3 93 3 2
= ==
5 .............................................................
2
2 = ....................................................
2
] g -
12 2 3 2 3 .
2
= =
18 = ..........................................................
75 = .........................................................
36 6 6 36
/
1
2
2 1 2
== = ^ h
64 = .........................................................
7 = ...........................................................
9 4 32 6 . . = = 9 4 36 6 . = =
4 25 . = ............. 4 25 . = ....................
100 49 . = ........... 100 49 . = = .............
4
100
2
10
= = 5
4
100
= = 25 5
= ..............
9
81
= ................ 9
81
= .............
25
625
= .............. 25
625
16 4 16 2 2
^ h
= = ] g
16 16 2
=
4 = .............
3
^ h 4 = ................
3
9 = ...........
4
^ h 9 = .............
4
x225
Örnek : “9 un karekökü 3 tür.” veya “3 ün veya –3 ün karesi 9 dur.” cümleleri aynı eşitliği ifade etmektedir. Farklı olan sadece ifade ediliş şeklidir.
Yani a > 0 olmak üzere karesi a olacak biçimde biri negatif diğeri pozitif olan iki gerçek sayı vardır.
Örnek : eşitliklerini sağlayan a, b ve c değerlerinin neler olabileceğini inceleyelim.
Çözüm :
a = 5 ve a = –5 için 52
= (–5)2
= 25 tir.
b = 4 ve b = –4 için 42
= (–4)2
= 16 dır.
c = 9 ve c = –9 için 92
= (–9)2
= 81 dir.
Buradan görülmektedir ki bir sayı ve bu sayının negatif işaretlisinin karesi aynı sayıya eşittir.
Örnek : ifadelerinin en sade değerini bulalım.
Çözüm :
Örnek : ise n sayının değerini bulalım.
Çözüm :
bulunur.
Örnek : işleminin değerini hesaplayalım.
Çözüm :
olur.
84 82 84 82
84 82 84 822
-+ - =
=
-+ -
- - + - =- + + - =
2 2 ^ ^
^ ^
h h
h h
84 82 -+ -
2 2 ^ ^ h h
n
777 n
2
12 12 2 24 n
n
2
2
== = = =
12 & & $
7 7 n 12
=
,
, x xx
7 77
1 11
5 55
33 3
- =- =
- - =- - =-
- =- =
- - =- - =- -
2
2
2
2
]
]
]
]
g
g
g
g
- - - -- 7513 , ,x -
2 22 2 ] g ] g ] g ] g
a b ve c 25 16 81 ,
22 2
== =
3 3 3 9 3 33 9 9 3 ; ; 2
- =- - = = = = $ $
2
] ]] g gg
Karesi a ∈ R
+
e eşit olan iki sayıdan negatif olanına a nın negatif karekökü, pozitif olanına a
nın pozitif karekökü denir. Negatif karekök “ ”; pozitif karekök “ ” ile gösterilir.
Yani dır. a aa
2 2 ^ ^ h h =- =
- a a
Her a ∈ R olmak üzere yazılabilir. Başka bir ifadeyle dır. a a 2
=
, 0
, 0
a
a a
a a
2
1
H =
-
)
x ∈ R
+
olmak üzere ifadesi için dir. x x 2 1
2
1
x =
tür.226
c,d ∈ R ; a,b ∈ R
+ ve n ∈ Z
+
olmak üzere aşağıdaki temel özellikler geçerlidir.
.
.
3.
.
.
.
ab a b
b
a
b
a
a a
ca cb c a b
ca da c d a
a b ab
1
2
4
5
6
n n
2
=
=
=
+= +
+ =+
=
$ $
$
^
^
]
h
h
g
Köklü İfadelere Ait Bazı Özellikler
Örnek : Aşağıdaki ifadeleri en sade şekilde yazalım.
a. b. c. ç.
d. e.
Çözüm :
a.
b.
c.
ç.
d.
Örnek : ifadelerini sırasıyla ve
ifadeleri ile genişletelim.
Çözüm :
3
3
3 2
7
3
7
3 7
7
3 7
5 3
2 23
5 3
25 3
2
2 5 5 3
3 2
5
2
53 2
3 2
53 2 53 2
3 2
4 43 2
9 2
43 2
7
43 2
7
7
5 3
5 3
3 2
3 2
3 2
3 2
5
5 3
2
2 2
2 2
2 2
= =
-
=
-
+
=
-
+
= =+
+
=
-
-
=
-
-
= -
-
=
-
+
=
-
+
=
+
+
+
-
-
+
+
+
$
$
$
$
$
$
$
$
^
^^^
^
^ ^ ^
^
^^^
^
^
^
^
^
^
h
hhh
h
h h h
h
hhh
h
h
h
h
h
h
3 2 +
,,, 75 33 2 , , + -
7
3
5
2
3
5
3 2
4
- + 3 2 -
5 8 2 45 50 2 48 3 72 75
5 4 2 2 9 5 25 2 2 16 3 3 36 2 25 3
5 4 2 2 9 5 25 2 2 16 3 3 36 2 25 3
522 235 52 243 362 53
10 2 6 5 5 2 8 3 18 2 5 3
23 2 6 5 3 3
- -+ + -
= --+ + -
= --+ + -
= - -+ + -
= --++ -
= -+
$ $$ $ $$
$ $$ $ $$
$$ $$
7 4 7 2 72 9 3 2
+ = + = += =
3 45 4 20 3 9 5 4 4 5 3 3 5 4 2 5 9 5 8 5 5 - = - = - =-= $ $$ $
12 27 4 3 9 3 2 3 3 3 2 3 3 5 3 + = + = + =+ = $ $ ] g
50 25 2 25 2 5 2 == = $ $
48 16 3 16 3 4 3 == = $ $
7 4 + 5 8 2 45 50 2 48 3 72 75 - -+ + -
48 50 12 27 + 3 45 4 20 -
e.227
Örnek : işleminin sonucunu en sade biçimde yazalım.
Çözüm : olsun. Öyleyse,
Buna göre Fakat x ifadesi birincisi
büyük olan pozitif iki sayının farkı olduğundan dir.
Örnek : işleminin sonucunu en sade şekilde bulalım.
Çözüm :
Örnek : işleminin sonucunu en sade şekilde bulalım.
Çözüm :
olarak bulunur.
56 56 56 56 56
56 56 56
16 5 5 6 5 6
1 6 5 56
36 5 5 6
31 5 6
99 100 99 99
99
99
99 2 2 99
99
99
- +=
=
=
=
=
=
-++
-+ +
-- + +
-- +
-- +
- +
$ $$
$ $
$ $
$ $
$
^^ ^^^
^^ ^
]
^^ ^
]
_ ^
]
^
^
hh hhh
hh h
g
hh h
g
i h
g
h
h
7
7
A
A
56 56 - + $
99 100 ^ ^ h h
olur.
5 1
2 6
6 2
5
5 1
26 5 1
6 4
562
4
26 5 1
2
562
2
651 562
2
30 6 30 2 5
2
6 25
5 1
5 1
6 2
6 2
2
1
-
-
+
=
=
=
=
=
-
+
-
-
-
+
-
-
+- -
+- +
+
+
+
-
-
$
$
$
$
^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
^
^
^
^
h h
h h
h h
h h
h
h
h
h
5 1
2 6
6 2
5
-
-
+
x olur = +-- = + 2 2 . 35 35
x x x x veya x dir 2 22 2 2 . 2 2
= = = = =- & &&
2
.
x
olarak bulunur
3 5
35 3535 35
3 5 2 3 53 5 3 5
6 29 5 6 24
6 22 6 4 2
3 5 2
2
2 2
= +--
= + - + -+ -
=+ - + - +-
=- -=-
=- =-=
$ $
$
_
_ _
^ ^
i
i i
h h
x 35 35 =+--
35 35 +--
a > 0, b > 0 ve k ∈ R olmak üzere,
ifadesinde paydanın rasyonel olması için sayı ile genişletilir.
ifadesinde paydanın rasyonel olması için sayı ile genişletilir (b > a).
ifadesinde paydanın rasyonel olması için sayı ile genişletilir (b > a).
Paydanın rasyonel olması işlemlerde kolaylık sağlar.
b a -
b a
k
+
b a +
b a
k
-
a
a
k228
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm :
Örnek : biçiminde yazalım.
Çözüm :
Örnek : biçiminde yazalım.
Çözüm :
Örnek : Aşağıdaki ifadeleri biçiminde yazalım.
a. b. c. ç. d.
Çözüm :
a. ,
b. ,
c. ,
ç.
d. 7 13 7 olur. 4
4
13 7 2 4
13
2
13
2
1
2
13
2
1
2
13
2
1
+ =+ =+ = + $
+
. .
$
7 24 7 24 7 4 6 7 4 6 7 2 6 7 2 6
71 71
71 712
+ -- =+ -- =
=
=
+ --
+- -
+- +=
$ $
^ h
9 6 2 9 3 2 9 2 18 6 3 - =- =- =- 2$
7 1
8 27 7 1 7 1
7 1
- =-=-
+
54 54
$
10 2 21 7 3
7 3 73
+ =+
54 54
+ $
10 2 21 + 8 27 - 9 62 - 7 24 7 24 + -- 7 13 +
a b "
8 2 15 3 2 3 5 5 3 2 3 5 5
35 35 35 53 2
- = - += - +
= - = - =- - = -
$ $
2 2
^ ^ h h
8 2 15 - - ifade i a b sin
olarak bulunur.
5 26 2 2 2 3 3 2 2 2 3 3
23 23 23
2 2 + =
=
+ += + +
+ = + =+
$$ $$
2
^ h
5 26 + + ifade i a b sin
olur.
2 1
3
2 1
3
2 1
3 21
2 1
3 21
1
32 3 32 3
1
6
6
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
-
-
+
=
-
+
-
-
-
=
+- +
= =
+
+
-
- $ $
$
$
$
$
2 2 ^ ^
^ ^
^
^
^
^
h h
h h
h
h
h
h
2 1
3
2 1
3
-
-
+
ifadesinde m sayısının iki çarpanı a ve b için k = a + b olmak üzere,
k m a b dir a b " " 2 = ] g 2 .
k m " 2
olarak bulunur.
,229
Bir Gerçek Sayının n. Kuvvetten Kökü
Yandaki tabloyu doldurunuz.
Her zaman bir gerçek sayının
pozitif tam kuvvetten kökükü,
üslü biçimde yazabilir misiniz?
Yandaki tablodan yola çıkarak üslü sayılarla köklü sayı-
lar arasında bir bağıntı bulabilir misiniz?
Örnek : x
2
= 4 denkleminin çözümü üzerinde bir gerçek sayının n. kuvvetten kökünü inceleyelim.
Çözüm : x
2
= 4 denkleminin kökleri tür.
x
3
= a, x4
= b, x5
= c , ... gibi denklemleri de x2
= 4 denklemini çözdüğümüz gibi çözebiliriz. Bu durumda karşımıza pozitif kuvvetten farklı kökler de çıkacaktır. Örneğin,
dir.
Yukarıdaki işlemler yardımıyla olduğu görülebilir.
Ayrıca, olduğundan dir.
Buradan da elde edilir.
Yukarıdaki işlemi sözel ifade edecek olursak “köklü bir sayıyı üslü sayı olarak ifade ederken sayının
üssünün kökün derecesine bölümü sayıya üs olarak yazılır.” diyebiliriz.
Örnek : sayılarının eşitlerini bulalım.
Çözüm :
27 3 3 3 3 3125 5 5 5 5 512 2 3 2 8 ;; . olur 3 3 3
3
3
1 5 5 5
5
5
1 3 3 9
3
9
3
= === = === = ===
27 3125 512 , ve 35 3
xx x x x x n
n
n
n
n
m
n
1 1 m
== = & &
m
m
^
_ h
i
x x n
n
1
1
2 2 =
2 1
2
1
=
xax a n
& n
= =
xx x x x x 8 8 2 2 81 81 3 3 32 2 2 , ,
3 3 3 3 4 4 4 4 5
&& & 5 5
= = = = = = = = =- = - =- ] g
x 4 ="
a a ve a a olur a ya da a . ifadesine a sayısının n. kuvvetten kökü denir. n
n
n
m
n
m
n
n
1 1
= =
Köklü Biçim Üslü Biçim Değeri
9 9
1 2/
3
9
1211 2/
] g
225
27 3
] g - -27 1 3/
] g –3
729 3
8
2 3/
] g
25 4 2
] g 25 2 4/
] g 5
32 5 2
] g230
n. Kuvvetten Kökle İlgili Bazı Özellikler
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
boş bırakılan yerleri doldurunuz.
xdR, adR
+
ve m,ndZ
+
olmak üzere
için bir kural belirleyebilir misiniz? Tartışınız.
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
boş bırakılan yerleri doldurunuz.
adR
+
ve ndZ
+
olmak üzere için bir
kural belirleyebilir misiniz? Tartışınız.
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
noktalı yerleri doldurunuz.
adR
+
ve m,n,rdZ
+ için ile
her zaman birbirine eşit olur mu? Açıklayınız.
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
noktalı yerleri doldurunuz.
a,bdR
+
ve ndZ
+ için ile her zaman birbirine eşit olur mu? Açıklayınız.
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
noktalı yerleri doldurunuz.
a,bdR
+
ve n, mdZ
+ için ile her
zaman birbirine eşit olur mu? Açıklayınız.
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
noktalı yerleri doldurunuz.
a,bdR
+
ve ndZ
+ için ile
ifadeleri her zaman birbirine eşit olur mu?
Açıklayınız.
Yandaki tabloda verilen örneği inceleyerek
noktalı yerleri doldurunuz.
a,bdR
+
ve n, mdZ
+ için ile
ifadeleri her zaman birbirine eşit olur mu?
Açıklayınız.
a
m n.
a
m n
a b
n
a . b n n
a
n
m a
n
m
^ h
b
n
a
b
a
n
n
a b.
n
a b .
n n
a
n r.
m r.
a ve a n n
m
x ,
n n
Köklü Biçim Üslü Biçim Değeri
8
3
8
1/3 2
32 5
-
(128)1/7
Köklü Biçim Üslü Biçim Değeri
32 2.5 2 3.
32 8
81 3 4.
3 2.
625 .
.
3 4
2 3
8 27 2 3 6 . .
3 3 = = 8 27 216 . 6 3 3 = =
16 81 . = ...........
4 4 16 81 . = .................
4
2
3
32
243
5
5
= 2
3
32
243
2
3
5
5 5
= = 5 b l
= .................
81
625
4
4
= ...................
625
81
4
2 82 222 . .
3
3 333 3 ^ h = == 2 = 2 3 3
3 = ................................
4
4
^ h 3 = .....
4 4
8 5 40 2 5 .
333 = = 85 5 5 . . 2 2 3
= = 3 3 3
16 3. = .................
4
16. 3 = .....................
4
256 16 2
4 4
= = 256 2 2
4
= = 4 2.
8
6561 = ...........
4
6561 6561 = ....
4 42.
=Örnek : Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulalım.
Çözüm :
.
.
.
.
a
b
c
d
3 4 12 12 12 12 12 12 12 12 12
27
5
8
5
125
5
27
5
8
5
125
5
3
5
2
5
5
5
2
1
3
1
5
1
5
30
31 5
108 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 81 4 4 324 4
3 1024 3 1024 3 2 6
2 2 2 2 22 2 2
2 2
2 2 32
3 3 6 4 3 6 4 3 2 1 2 6 4 6 2 4 6 6
3 3 3
3
3
3
3
3
3 333
3 3
3
4 3 3 2 4 3 12 8 4 62 3 42 2 3 3 3
2 5 2 2 10 2 10 10 2
2 3 4 48 6 15 12 4 24 48 6 4 60 12 24 48 24 72
24 48 72
24 120 5
$
= = = ==
+ + = ++ =
=
+ +
++ =
= == = = =
= ==
= =
=
= ==
$ $
$$ $ $ $
$ $$ $
$ $$
$
b
^ ^
l
h h
.. .
.
ab c
d
3 4 12 27
5
8
5
125
5
108
3 1024 2 2 2
3 3 6 4
3 3 3 3
4
2 5 2
2 3 4 48 6 15 12 4
$ $
+ +
$
^ h
Örnek : ifadelerinin eşitini bulalım.
Çözüm : 2 24 2 24 ; olarak bulunur. 4 2 4
- =- = = =
8 8 2
] ] g g
2 2 ve 4 4
-
8 8
] g
ç.
ç.
231
,
,
,
,
olur.
için,
n çift ise olur.
n tek ise olduğundan olur.
olur.
,
,
x
x n ift ise
x n tek ise
n n
=
Z
[
]]
]]
x xx n
n
n
= =
n
x x ] g n
] g - n
!
x x xx n n n
n
= - =- =
n n
] g
x R a b R ve n Z !! ! , ,
+ +
için,
1. dir.
2. dir.
3. dir.
4. dir.
5. dir.
6. dir.
7. dır. a aaa a m n n
m m
n
mn mn
1
1
1
= == =
a b a b ab n n
n
n
n
n
1
$ $
= =
aaa a n n n
m
n
m
1
= ==
m m
^ h
_ i
b
a
b
a
b
a
b
a
n
n
n
n n
n
1
1 1
== = b l
a b a b ab ab n n n n n
n
1 1 1
$ $
= == ] g
a aa a
m r n r nr
mr
n
m
n
m
= ==
$ $
a a a a ve a a a a n n
n
n
n
n
n
n
n
m m n
n
n
n
m n
n
n
1 1 m
== = = = =
$
_ _ i i
x R a b R ve m n r Z !! ! , , ,,
+ +
ç232
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm : dir.
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm : dir.
Örnek : sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
Çözüm :
olarak bulunur.
Örnek : sayılarını sıralayalım.
Çözüm :
olduğundan dır. O hâlde, olur.
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm : olur.
Örnek : ifadesini hesaplayalım.
Çözüm :
Buradan
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm : dir.
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm :
olur.
Örnek : Aşağıdaki ifadeleri en sade biçimde yazalım.
a. b. c. ç.
Çözüm :
a. dir. b. tür.
c. tür. ç. tür. 256 256 2 2 2 2 4 3 12 12 8
12
8
3
2
3 2 3
64 2 2 2 2 2
= = = == =
1
8
1
6
16
1
16
6
8
3
8 3 `] g
j
= = == ^ h
81 3 3 3 3 3
1
4
1
4
12
1
12
4
3
1
3 `
= = == ^
j
16 2 16 2 2 2 2 2 2 h
4 4 2 8 4 8 9 8
$ $$
= = ==
2
^ h
256 3
64 2
1
8
1
]
` g
j
813
1
4
1
` j 16 2 4
2 22 24 12 5 3 7 6
24
12
5
3
7
6
2
1
5
3
7
6
70
35 42 60
70
137
35 14 10
+ +
$ $ $$ $ $
= = == 2 22 2 2 2 2 2 ] g ] g ] g
2 2 2
24 12 5 3 7 6
$ $
3 5 6 3 5 6 3 5 36 28 4 5 5 3 2
- + - - = - + - = + - =- 4 6 ] ] g g
35 6 4 5 5 3
- + -- 4 6 ] ] g g
x x x x x x x bulunur.
6 6 7 7 8 8
+ + =- + + - =- ] g
x x x x x x x x olur ,, .
6 6 7 7 8 8
= =- = = =-
x ise x x x 0 1 6 6 7 7 8 8
+ +
3 23 3 23 1 2 3 39 6 4 3 2 3 2 3 2 3 2 3
+ = + =+ = $
] g
3 29 6 4 3
+
3 12 4
1 1
3
1
4 2 2 2
-- -
3
1
4
1
12
1
12 3
2 2 12 4 12 6
12 4 3 12 12 12 6 4 3 2 2
3 , ,
3
1
3
1
4
4
1
4
1
12
12
1
12
1
4 12 3 3 12 4 12 6
1
4
1
3
1
2
== == = =
- - -
3 4 12 , ,
1
4
1
3
1
2
-- -
8
8
32
8
8
32
8
8
32
2
2
2
2
2
2
8 32 8
2
3
4
6 2 6
4 3 4
3 4 3
12 6
12 4
12 3
3 6 12
3 4 12
5 3 12
12 18
12 12
12 15
& 2 4 3
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
2 2
$
$
$
^
^
^
h
h
h
_
`
a
b
b
b
b
8 8 32 , ,
2 3 4
10 5
30 15
25 5
2 15 15
52 1
15 2 1
5
3 5
12 12 3 27
12 12
4
12 12
12
4
12 12
12 12
4
12
12 12
4
3
-
- =
-
-
=
-
-
= ==
$
$
12
]
]
^
^
g
g
h
h
10 5
30 15
12 12
12 12
4
-
-
9 81
3 92
3 3
3 92
3
33 2
3
3 2
2
8
2 4
8 2 4
2 4 4
8 6
8 4 2
6
6
8
16 = = ==
$ $
$ $$
9 81
392
8
2 4
$233
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
dur.
Örnek : denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
Örnek : denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm :
O hâlde Ç = { –2 } dir.
Örnek : ifadesinin sonucunu bulalım.
Çözüm : Sonsuza giden bölümlere x diyelim.
Kareköklü bir ifade negatif olamaz. O hâlde, olur.
Örnek : Aşağıdaki ifadeleri hesaplayalım.
Çözüm :
Sonuç negatif olamayacağından ifade olur.
Örnek : işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm :
,,,, . olur
16 10 16 10 10 2 10 4 10 10
02 04 01 05 2
1
4 4 2 1 11 3 3
+ -=
=
+ -
+-= =
- - - -- -
$ $ $$
0 0016 0 16 0 001 , ,,
4
+ -3
6 ... + + += 66 3
. ... .
. : : :... : .
. ... 6 0
03 2 .
a x x x x x x olur
b x xx x
x x x olur
c x x x xx x x
x x x veya x bulunur
222 2 2 2
333 3 3
3 33
666 6 6
3 2
x
x
x
x
x
3
3
& &&
& & &&
& &&
& &
= = ==
= = = ==
+ + + = + = += -- =
- + = = =-
-
$$$ $
2
2
2 2
2
] g] g
123 444 444
123 44 44
123 444 444
a bc . ... . 3: 3:... . ... 222 3 6 6 6 $$$ : +++
222 2 + + += ...
...
.
x x x x x xx
x x x x x ve x bulunur
222 2 2 2
20 2 1 0 2 1
x
2 2 2
2
&& &
&& &
+ + + = += + = +=
- - = - + = = =-
^
] ]
h
g g
123 444 444
222 +++...
.
x
x
x
x
x
x
x xx x
x x
x x olur
1
2
1
2
1
4
4 4 4 40
2 20
20 2
& && &
&
& &
-- = -- = -- = - - = + + =
+ +=
+ = =-
$
2
2 2
2 2 ^
b
] ]
h
l
g g
x
x
1
2
-- =
x x x x olur 5 4 5 4 5 16 11 . & &&
2 2
+= + = += = ^ h
x5 4 + =
2-
5 81 4 3
9
53 3 43
3
19 3
3
19
1
19
3
19
3
3 3 33
2
3
2
3
1 3
5
3 5
+ + $ $
= = = == $3
5 81 4 3
9
3 3 +
Çözüm :234
Örnek : olmak üzere ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm :
Örnek : bdN
+
olmak üzere ifadesinin eşitini bulalım.
Çözüm :
ALIŞTIRMALAR
1. toplamının değerini bulunuz.
2. işleminin en sade değerini bulunuz.
3. işleminin en sade değerini bulunuz.
4. işleminin sonucu kaçtır?
5. işleminin en sade değerini bulunuz.
6. Aşağıdaki köklü ifadeleri üslü biçimde yazınız.
a. b. c. ç. d.
7. işleminin en sade şeklini bulunuz.
8. işleminin en sade değerini bulunuz.
9. ise a değerini bulunuz.
10. işleminin sonucunu bulunuz.
11. sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
12. sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.
13. denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
14. eşitliğini sağlayan x doğal sayılarının toplamını bulunuz.
15. olmak üzere sayısının a, b ve c cinsinden değerini bulunuz.
16. 3 3 3 888 + + ++ ... ...
$ $ ifadesinin eşitini bulunuz.
a b ve c == = 23 5 , 10800
2 6 62 x x - =-
2
] g
3 25 x- =
34 6 2 , ve
1
3
1
4
1
-- -
3 4 6 12 , , ve 3 4 6
18 12
6 4
10 10
10 10
5
-
-
a a
aa a 5
4 3
3 6
$
=
3
21
2
12 --+ 5 3 27
7 5 7 4
- --
7 4 ] g ] g
x
1
7 2
x y 4
+
2
x ^ h 3
4
3 5
5
16 2 15 18 6 45 + --
2 1
5
2 1
3
-
-
+
4 8 3 45 50 3 48 2 72 75 - -+ - -
21 13 7 4 + ++
- +- 5 6 2 2 ] ] g g
.
a b
ab ba
a b
ab b a
b b
dir
4 2
32 8
4 2
42 2
2
2 2 2
b
5 5 20 20
42 36 3
5
4 4
2 2
2 2
5
2
1
5 2
2
2
= ==
$ $$
$
$ $$
$$ $
$
a b
ab ba
4 2
32 8
5 5 20 20
42 36 3
5
2
$ $$
$
- -
-
c b
abc ab
c b
abcab
c b
abaa c
c
aba c b
c
a b acb
27 3
3
3 3
3
9 1
3
3 9 3 7 8
3
9
6
1
3
3
3
9
3
3
3
1
2
7
2
8
3
6
1
353 2
1
3
1
3
6 5 2
1
3
1
6
1
3
6 5
6 3 2
2
$
=
=
= =
$
$
$
$$$$$
$
$$$$ $
$$$ $ $ $$
$ $
-
c b
27abc ab
9
2
1
3
3 9 3 7 8
$
$
abc R , , !
+
dir.235
ORAN VE ORANTI
Yandaki iki üçgeni, kenar uzunlukları açısından inceleyiniz.
Üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki ilişikiyi açıklayınız.
Bu ilişkiyi matematiksel olarak ifade ediniz.
Örnek : a. 8 parçaya ayrılmış bir pastanın 3 parçasını,
b. 3 bölü 4 ü yenmiş bir ekmeğin 2 katını,
c. 7 parçadan oluşan bir buz kütlesinin eriyen 3 parçasını,
ç. 15 hektar ormanın yanan 4 hektarı ile 30 mil denizin kirlenen 8 milinin eşitliğini, kesir ile ifade
edelim.
Çözüm : a. b. c. ç. =
Örnek : 45 hektarlık bir ormandaki sedir ağaçlarının bulunduğu alanın bütün ormanın yüz ölçümüne oranı, 9 hektarlık başka bir ormandaki 7 hektarlık meşe ağaçlarının bulunduğu alana oranına eşit ise sedir
ağaçlarının bulunduğu alanı hesaplayalım.
Çözüm : hektardır.
Örnek : olduğuna göre x, y ve z değerlerini bulalım.
Çözüm : Verilen orantının orantı sabiti k olsun. O hâlde,
dir. Bu değerler x + 3y – z = 40 eşitliğinde yerine yazılırsa
O hâlde,
x = 3 . = , y = 5 . = ve z = 2 . = 5 bulunur. 2
5
2
25
2
5
2
15
2
5
x y z k k k k k olarak bulunur 3 40 3 3 5 2 40 16 40 .
2
5
+ -= + - = = = & && $
, ,
x y z
k x ky kz k 3 5 2
=== = = = & 352
x y z
ve x y z 3 5 2
= = + -= 3 40
s
s s 45 9
7
9 7 45 9
7 45
= = == & & $ $
35 $
30
8
15
4
7
3
2
4
3
$
8
3
İki çokluğun birbirine bölümü bu iki çokluğun birbirine oranıdır.
O hâlde ifadesi a nın b ye oranıdır.
gibi iki oran birbirine eşit ise
orantısında k orantı sabitidir. (k > 0) b
a
d
c
= = k
: :. b
a
d
c
= = veya a b c d dir b
a
ve d
c
b
a
Yandaki tablo bir makinanın dakikada bastığı kitap sayısını göstermektedir.
Tablodaki boşlukları uygun şekilde dolldurunuz.
Her satırı şeklinde ifade ediniz.
Bulduğunuz sonuçları karşılaştırırsanız nasıl bir genelleme yapabilirsiniz? Açıklayınız.
A
C B 4
3
5
C
E
D 8
6
10
süre
kitap sayısı
Süre (dk) Kitap sayısı
1 4
2 ...
3 12
4 ...
5 ...Orantı Çeşitleri
1. Doğru Orantılı Çokluklar
Duru, bir kalemin tanesini 1,5 TL den alıyor. Aşağıdaki tabloda a alınan kalem sayısını, b ise alınan
kalemlere ödenen parayı göstermektedir. Buna göre tablonda boş bırakılan yerleri doldurunuz.
a değerleri artıkça b değerlerinde nasıl bir değişiklik olmuştur?
Tablodaki her bir sütun için oranını yazınız. Yazdığınız oranları karşılaştırınız.
Bu orandan yararlanarak 27 kalem için kaç TL ödeyeceğinizi bulabilir misiniz?
Örnek : a ile b doğru orantılıdır. a = 3 iken b = 12 ise a = 4 iken b nin kaç olacağını bulalım.
Çözüm : k ∈ R
+
olmak üzere a ile b doğru orantılı olduğundan
tür. O hâlde olarak bulunur.
Örnek : 2 usta bir günde 48 m2
duvar boyarsa aynı nitelikte 5 ustanın bir günde kaç m2
duvar boyayacağını bulalım.
Çözüm : Usta sayısı arttığında yapılan iş de artacağından bu iki oran doğru orantıdır. O hâlde,
Örnek : 48 fındık üç çocuğa; 3, 4 ve 5 sayıları ile doğru orantılı olarak paylaştırılıyor. En fazla fındık alan
çocuk kaç fındık alır? Bulalım.
Çözüm : Çocukların aldığı fındık sayıları a, b ve c olsun. O hâlde dir. Buradan a = 3k,
b = 4k ve c = 5k olur.
3k + 4k + 5k = 12k = 48 ⇒ k = 4 tür. En fazla fındık alan çocuk, c = 5 . k = 5 . 4 = 20 fındık alır.
abc k
3 4 5
===
.
usta m
usta x m
x x m duvar boyar
2 48
5
2 48 5 2
48 5 120
2
2
2
$ $
= == & $
b
b
4
4
1
= == & 4 4 16 $
b
a
k kk 12
3
4
1
= == & &
b
a
236
Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de artıyor veya biri azalırken diğeri de
azalıyor ise bu çokluklar doğru orantılıdır.
a ile b doğru orantılı ise k ∈ R
+
olmak üzere
orantısında doğru orantılı ise a . d = b . c dir. b
a
ile d
c
b
a
d
c
=
.
b
a
= = k veya a k b dir
$
a 1 2 3 4 5 6 7
b 1,5
Orantının Bazı Özellikleri
1. orantısında dir.
2.
3. .
y
x
t
z
k ise
y
x
t
z
k veya
y
x
t
z
k dir n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
== = = = =
.
y
x
t
z
k ise y t
x z k dir 2
== =
$
$
ay bt
ax bz k
+
+ =
$ $
$ $
y
x
t
z
= = k237
2. Ters Orantılı Çokluklar
Antalya’dan hareket eden bir araç saatte 110 km hızla 6 saatte Ankara’ya varıyor. Aşağıdaki tabloda a bu aracın hızını, b ise yolu ne kadar sürede gittiğini göstermektedir. Bu araç aynı yolu saatte
60, 55 ve 30 km hızla gidecek olursa Ankara’ya varış süresi her bir hız için sırasıyla ne olur. Buldu-
ğunuz sonuçları tablodaki ilgili yerlere yazınız.
a değerleri azaldıkça b değerlerinde nasıl bir değişiklik olmuştur?
Tablodaki her bir sütun için a . b değerini hesaplayınız. Bulduğunuz sonuçları karşılaştırınız?
Bu çarpımdan yararlanarak aracın saatte 150 km hızla kaç saatte Ankara’ya varacağını hesaplayabilir misiniz?
Örnek : x ile y ters orantılıdır. x = 6 iken y = 3 ise x = 9 iken y nin kaç olacağını bulalım.
Çözüm : orantı sabittir. O hâlde olarak bulunur. 18 9 y y 9
18 k x y k 6 3 18 = == $ $
& = == $
& 2
Orantılı iki çokluğun biri artarken diğeri azalıyorsa bu çokluklar ters orantıdır.
a ile b ters orantılı ise k ∈ R olmak üzere dir. k ab = $
a (km) 110 60 55 30
b (saat) 6
Örnek : Şekildeki gibi birbirini çeviren iki makine dişlisinden birincisi dakikada 360 devir,
ikincisi dakikada 240 devir yapmaktadır. Bu iki dişlideki toplam diş sayısı 540 ise büyük
dişlideki diş sayısı kaçtır?
Çözüm : Dişli sayısı arttıkça devir sayısı azalacağından dişli sayısı ile devir sayısı arasında ters orantı
vardır. Büyük dişlideki diş sayısı a, küçük dişlideki diş sayısı b olmak üzere a + b = 540 tır.
dir. O hâlde,
a + b = 540 ⇒ 2k + 3k = 540 ⇒ 5k = 540 ⇒ k = 108 dir.
Büyük dişlideki diş sayısı : a = 3 . k = 3 . 108 = 324 olarak bulunur.
Örnek : a, b ve c sayıları sırasıyla 3, 4 ve 5 ile ters orantılı ise a, b ve c sayılarının hangi tam sayılarla
doğru orantılı olacağını bulalım.
Çözüm : a, b ve c sayıları 3, 4 ve 5 ile ters orantılı ise 3a = 4b = 5c dir.
Bu eşitliğin her bir terimini OKEK (3, 4, 5) = 60 sayısına bölelim.
Bu durumda olur. O hâlde,
a, b ve c sayıları sırasıyla 20, 15 ve 12 ile doğru orantılıdır.
abcabc
60
3
60
4
60
5
20 15 12 == == &
a
b
a b a b a k ve b k
240
360
240 360 2 3 3 2
**
$ $ $$
= === & &238
Örnek : a, b ile doğru orantılı ve c ile ters orantılıdır. b = 2 iken a = 3 ve c = 8 dir. b = 2 ve c = 4 iken a nın
kaç olacağını bulalım.
Çözüm : Verilen ifadeye göre dir. Öyleyse orantı sabiti, dir. Buna göre,
olarak bulunur.
Aritmetik Ortalama
gibi n tane sayının aritmetik ortalaması
Örnek : Bir öğrencinin matematik dersinden girdiği ilk iki yazılısının toplamı 5 tir. Bu öğrenci üçüncü sı-
navdan 4, sözlüden ise 5 almıştır. Yıl sonu ortalaması 3 olan bu öğrencinin matematik dersi için hazırladığı projeden aldığı notu bulalım.
Çözüm : Üç yazılı, bir sözlü ve bir proje ödevinin ortalaması 3 olduğundan,
bu öğrencinin hazırladığı projeden aldığı nottur. x
x x 5
545 3 14 15 1 & & +++ = += =
... A .
n
aa a dir 1 2 n
=
+ ++
aa a 1 2 , ,..., n
a
a
2
4
12 4
12 2
= == & 6
$ $
k
2
3 8
= = 12 $
b
a c
= k
$
Birleşik Orantı
Bir cokluğun aynı anda bir çoklukla doğru orantılı ve başka bir çoklukla da ters orantılı ise iki durumu birlikte değerlendirmek gerekir. Böyle durumları bileşik orantıyla ifade ederiz.
Örnek : 3 işçi, 18 m2
halıyı 4 günde dokursa aynı kapasitedeki 2 işçi 24 m2
halıyı kaç günde dokur?
Çözüm : Bu soruda görüldüğü gibi işçi sayısı (1. çokluk) gün sayısı (2. çokluk) ile ters orantılı ve dokunan halı alanı (3. çokluk) ile doğru orantılıdır. Bu yüzden her iki durumu birlikte düşünmek gerekir. Bu
durumda bileşik orantı kullanabiliriz.
Ters orantı Doğru orantı
3 işçi → 4 günde 18 m2
halı
2 işçi → x günde 24 m2
halı
3 4 24 2 18 x x günde dokurlar. 2 18
3 4 24
$$ $$
= == & 8
$
$ $
H 678 44 44
a sayısı b ile doğru, c ile ters orantılı ise k ∈ R
+
için dır. .
b
a c
= k
Birleşik orantı
Örnek : 12 erkek ve 8 kızın bulunduğu bir sınıfta erkeklerin not ortalaması 4,5 ; kızların not ortalaması
4,75 olduğuna göre sınıfın not ortalamasının kaç olacağını bulalım.
Çözüm :
Erkeklerin notları toplamı e olmak üzere
Kızların notları toplamı k olmak üzere
Sınıf not ortalaması , .
e k olarak bulunur 12 8 20
54 38
20
92 4 6
+
+ =
+ = =
,,,
k
k
8
= == 4 75 4 75 8 38 & $
,, ,
e
e
12 === 4 5 4 5 12 54 & $239
Örnek : x ile y nin aritmetik ortalaması 7 ; x, y ve z nin aritmetik ortalaması 11 olduğuna göre z yi bulalım.
Çözüm :
Örnek : 4 sayının aritmetik ortalaması 21 dir. Bu sayılara birbirine eşit 3 sayı daha katılırsa sayıların aritmetik ortalaması 15 e iniyor. Eklenen sayılardan birinin kaç olacağını bulalım.
Çözüm : tür.
Bu dört sayıya katılan sayıların her biri x olsun. Bu durumda,
Geometrik Ortalama
Örnek : 125, 8 ve 64 sayılarının geometrik ortalamasını bulalım.
Çözüm : Verilen sayıların geometrik ortalaması olarak bulunur.
Örnek : x ve y nin geometrik ortalaması 3 tür. x, y ve z nin geometrik ortalaması 6 olduğuna göre z yi
bulalım.
Çözüm : .
.
x y x y dur
x y z x y z z z bulunur
3 9
6 6 9 216 24 3
3
&
& &&
= =
= = ==
$ $
$$ $$ $
G 125 8 64 5 2 4 40 3
= == $$ $$
.
a a a a xxx
x
x
x
x bulunur
7
15 84 3 7 15
3 105 84
3 21
7
1234 &
&
&
&
+ + + +++ = +=
= -
=
=
$
aaaa
aaaa 4
21 84 1234 & 1234
+++
= +++=
11 33
14 33
19 .
x y
x y
xyz
xyz
z
z bulunur
2
7 14
3
14
&
&
&
&
+
= +=
+ +
= ++=
+ =
=
Z
Örnek : x ile y nin geometrik ortalaması 1 ; x ile z nin geometrik ortalaması 3 ; y ile z nin geometrik ortalaması 9 dur. Buna göre x, y ve z nin geometrik ortalamasını bulalım.
Çözüm :
Bu eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa,
x, y ve z nin geometrik ortalaması ; x y z bulunur 27 3 .
3 3
$ $
= =
.
x y
x z
y z
x y z x y z x y z dir
1
3
9
3 9 27 27 2
2
& && 222 2 2
=
=
=
= ==
$
$
$
$ $ $ $$ $$
2 2 ^ h ] g
_
`
a
b
b
b
b
1 1;
3 3;
9 9.
xy xy
xz xz
y z y z dir
2
2
&
&
&
= =
= =
= =
$ $
$ $
$ $
gibi n tane sayının geometrik ortalaması G a a a dir ... . n
n
aa a 1 2 , ,..., n
= 1 2 $ $$240
Orantının Özellikleri
orantısı verilmiş olsun.
1.
a d bk d b k . .. . k
c
== = = bc ad bc olur &
.
b
a
k a bk ve d
c
k d k
c
== == & & olur
b
a
d
c
= = k
2. için içler dışlar çarpımı dışlar çarpımına eşitse çarpmanın değişme özelliği kullanılarak yeni orantılar elde edilebilir. Şöyle ki:
.
,
,
olur
b
a
d
c
ad bc a
b
c
d
ad bc b
d
a
c
ad bc d
b
c
a
& &
&
&
===
= =
= =
b
a
d
c
= = k
dir. Buna içler çarpımının dışlar çarpımına eşitliği
denir.
b
a
d
c
== = k ad bc &
orantısı verilmiş olsun. O hâlde,
, ve dir. a
b
c
d
b
d
a
c
d
b
c
a
== =
b
a
d
c
= = k
orantısı verilmiş olsun. O hâlde,
olmak üzere dir.
.
.
:
:
b n
a n
d
c
k ve b m
a m
d
c
mn R 0 , ! -! + == == k
b
a
d
c
= = k
3. olmak üzere olduğundan olur.
4. olmak üzere olduğundan olur.
:
:
b m
a m
d
c
= = k
:
:
b
a
d
c
k ve b
a
b m
a m mR0 ! -! + == =
.
.
n b
n a
d
c
= = k
.
.
b
a
d
c
k ve b
a
n b
n a nR0 ! -! + == =241
ALIŞTIRMALAR
1. 2a = 3b = 4c ise oranını bulunuz.
2. a yı bulunuz.
3. a + 1 sayısı b – 2 ile doğru b + 3 ile ters orantılıdır. b = 3 iken a = 3 ise b = 7 için a kaçtır?
4. a, b, c sayıları sırasıyla 5 ve 6 ile doğru 3 ile ters orantılıdır. Bu üç sayının toplamı 680 ise a, b, c
kaçtır?
5. kaçtır?
6. Boyu 160 cm olan Ahmet, boyu 145 cm olan kardeşi Ferhat ile fotoğraf çekilmiştir. Ahmet’in boyu
fotoğrafta 8 cm olduğuna göre kardeşinin boyu kaç cm’dir?
7. 10 kişilik bir grupta 3 kişi 160 cm, 4 kişi 165 cm, 2 kişi 185 cm ve 1 kişi de 150 cm boyundadır. Grubun boy ortalaması kaçtır?
8. x, 3x, 9x sayılarının aritmetik, geometrik ve hormonik ortasını bulunuz.
9. x, 6, 9 sayılarının geometrik ortası 3 olduğuna göre x kaçtır?
10. 8 kişi 12 m2
halıyı 9 saatte dokuyorsa 6 kişi 24 m2
halıyı kaç saatte dokur?
2 3 360 x y z
ve x y z ise x y z 2 5 3
= = ++ = -+
abc k ve a b c ise 7 3 5
= = = + += 2 36
b c
a b3
+
+242
Sayı Problemleri
Örnek : Bir sayının toplamı 35 ise bu sayıyı bulalım.
Çözüm : Sayı x olsun. O hâlde bu sayı için,
olarak bulunur.
Örnek :Bir top kumaşın önce si, sonra kalanın si satılıyor. Geriye 24 metre kumaş kaldığına göre,
kumaşın tamamı kaç metredir?
Çözüm : Kumaşın tamamı x metre olsun. Önce satılan kumaş metredir. Bu durumda kalan kumaş,
metre bulunur. Daha sonra satılan kumaş metre bulunur. Toplam
satılan kumaş, metre olur. Geriye 24 metre kumaş kaldığından kumaşın tamamı
x – ⇒ ⇒⇒ x = 120 metre bulunur.
Örnek : Bir sayının 5 katının 7 eksiğinin yarısı, aynı sayının 26 eksiğinin 2 katına eşit oluyor. Bu sayıyı
bulalım.
Çözüm : Sayı x olsun. Sayının 5 katının 7 eksiğinin yarısı olur.
Sayının 26 eksiğinin 2 katı ise 2(x – 26) olur. O hâlde
.
x
x x x x x olur 2
5 7 2 26 5 7 4 104 104 7 97 & && - = - - = - =- + =- ] g
x
2
5 7 -
x
5
= 24 x x
5
5 4 24 - =
x
5
4
= 24
xx x
5
2
5
2
5
4
+ =
.
x x
5
3
3
2
5
2
x =
x xx x
5
2
5
5 2
5
3
- =
- =
x
5
2
3
2
5
2
x x x x
x x 3 4 35 12
4 3 + = & && 35 7 35 12 60 + == = $
i ile inin 3
1
4
1
PROBLEMLER
Matematikle uğraşmanın insanların muhakeme kabiliyetine çok büyük katkısı olduğu bilinmektedir.
Matematik derslerinde matematik problemlerini çözmeye çalışmakla günlük hayattaki sosyal, ekonomik,
psikolojik problemleri çözme arasında nasıl bir ilişki
olduğunu düşünüyorsunuz? Açıklayınız.
Örnek : Halk ekmek kuyruğunda Ali önden 26. ve Mehmet arkadan 31. sırada yer alıyor. Ali sırada Mehmet’ten önde ve Ali ile Mehmet arasında 10 kişi varsa kuyrukta kaç kişi vardır? Bulalım.
Çözüm :
Şekilden görüldüğü gibi kuyruktaki kişi sayısı: 26 + 10 + 31 = 67 olur.
Örnek : Bir sınıftaki öğrenciler sıralara ikişerli oturursa 3 öğrenci ayakta kalıyor. Üçerli oturursa 2 sıra
boş kalıyor. Bu sınıftaki öğrencilerin sayısını bulalım.
Çözüm :Sınıftaki sıra sayısı x olsun.
İkişerli oturulduğunda 3 öğrenci ayakta kalıyorsa sınıf mevcudu, 2x + 3 tür.
Büfe
10
678 444 444 26
Ali Mehmet
31243
Üçerli oturulduğunda 2 sıra boş kalıyorsa sınıf mevcudu, 3 . (x – 2) dir.
O hâlde 2x + 3 = 3 (x – 2) den x = 9 bulunur.
Bu durumda sınıf mevcudu, 2x + 3 = 2 . 9 + 3 = 21 dir.
Örnek : Bahadır’ın 33 tane madenî parası vardır. 25 ve 50 kuruşluklardan oluşan bu paraların toplamı
14 TL olduğuna göre Bahadır’ın 50 kuruşlukları kaç tanedir? Bulalım.
Çözüm : 50 kuruşlukların sayısı x alınırsa 25 kuruşlukların sayısı 33 – x olur. Bu paraların toplamı
14 TL = 1400 Kr olduğundan,
Örnek : 13 katı ile 11 katının farkı 1200 olan sayı kaçtır? Bulalım.
Çözüm :Sayı x olsun. O hâlde 13x – 11x = 1200 dür.
Buradan 2x = 1200 den x = 600 bulunur.
Örnek : Bir defter ile bir kalem 8 TL, bir kalem ile bir silgi 4 TL, bir defter ile bir silgi 6 TL olduğuna göre
bir kalem kaç TL dir? Bulalım.
Çözüm :
tür.
Örnek : Hangi sayının karesinin ine kendisi ilave edildiğinde sayının 5 katı elde edilir? Bulalım.
Çözüm :Aradığımız sayı x olsun. O hâlde,
Örnek : Bir kesrin paydası payının 4 katıdır. Kesrin payına 1 eklenir, paydasından 1 çıkarılırsa kesrin
değeri oluyor. Bu kesrin pay ve paydasının çarpımını bulalım.
Çözüm :Kesrin değeri tir. O hâlde dir. Buradan 3x + 3 = 4x – 1 ⇒ x = 4 bulunur. Bu
durumda kesir tür. Bu kesrin pay ve paydasının çarpımı 4 . 16 = 64 olur. 16
4
x
x
4 1
1
3
1
-
+ = x
x
4
3
1
.
x xx
x x
x
xx x
x x
x x
x veya x bulunur
3
1
5
3 3
3
5
3 15
12 0
12 0
0 12
2
2
2
2
&
&
&
&
&
$ += + =
+ =
- =
- =
= =
$
] g
3
1
DSK K K 96 9 3
6
++= += = & &
.
D K
K S
D S
D K S D K S bulunur
8
4
6
& & 2 2 2 18 9
+ =
+ =
+ =
+ + = ++=
_
`
a
bb
b
50 25 1400 50 825 25 1400
25 575 23
x x xx
x x bulunur
33 &
& &
+ -= + - =
= =
$ $ ] g
Eşitlikler taraf tarafa toplanırsa244
Örnek : Ardışık üç tek doğal sayıdan en büyüğünün 4 katı ile en küçüğünün 2 katının farkı ortanca
sayının 3 katının 5 fazlasına eşittir. Bu üç sayının toplamı kaçtır? Bulalım.
Çözüm :
n tek sayı olmak üzere ardışık üç tek sayı n, n + 2 ve n + 4 olsun. O hâlde,
4.(n + 4) – 2n = 3(n + 2) + 5 ⇒ 4n + 16 – 2n = 3n + 6 + 5
⇒ 2n + 16 = 3n + 11
⇒ n = 5 tir.
Buna göre ardışık tek sayılar 5,7 ve 9 dur. Bu sayıların toplamı 5 + 7 + 9 = 21 dir.
Yüzde-Faiz Problemleri
a sayısının % b si şeklinde ifade edilir. Dolayısıyla
Faiz = Ana para . yüzde oranı . zaman olur. Sembolik olarak bu formül
F = A . n . t şeklinde gösterilir.
Örnek : Mustafa Bey’in şirketinin günlük cirosu 5600 TL dir. Hasan Bey’in cirosu Mustafa Bey’in cirosunun % 15 i kadardır. Buna göre Hasan Bey’in 3 aylık cirosunu hesaplayalım.
Çözüm : Hasan Bey’in günlük cirosu x olsun.
a
b
100 $
Hasan Bey’in cirosu 5600 TL nin % 15 ise
x = 5600 . = 840 TL olur.
3 aylık ciro ise
840 . 90 = 48.600 TL olarak bulunur.
Örnek : Ahmet Bey 3250 TL sini yıllık % 5 faizle 3 yıllığına bankaya yatırıyor. 3 yıl sonra toplam kaç TL
si olacağını bulalım.
Çözüm : TL olur. Bankadaki toplam para miktarı
T = 3250 + 487,5 = 3737,5 TL olur.
Örnek : Veli amca 7 aylığına yıllık % 4 faizle bankaya yatırdığı parasını 7 ay sonunda 1228 TL olarak
geri alıyor. Veli amcanın bankaya yatırdığı miktarı bulalım.
Çözüm : Bankaya yatırılan miktar x olsun.
x x
x
x TL 100
4
12
7
1228 1200
1228
+ = == $ $ & & 1228 1200
F 3250 ,
100
5
3
2
975 487 5
1
= == $
20
100
15245
Örnek : 120 günlüğüne yıllık% 5 faizle bankaya yatırılan bir miktar paranın 125 TL faizi varsa bankaya
yatırılan ana paranın kaç TL olduğunu bulalım.
Çözüm :Ana para A olsun.
Örnek : Bankaya yıllık % 2 faizle yatırılan 1200 TL nin 3 yıllık faiz getirisi ile yıllık % 5 faizle 3 aylığına
yatırılan bir miktar paranın faiz getirisi eşit ise bankaya yatırılan para kaç TL dir? Bulalım.
Çözüm :
.
F TL
F x x
TL
F F
x
x TL olur
1200 100
2
3 72
100
5
12
3
1200
15
1200
15 72 15
72 1200 5760
1
2
1 2
&
$ $
$ $
= =
= =
=
== = $
_
`
a
bb
bb
.
FAnt A A
A A TL olur
125 100
5
360
120
125 60
125 60 7500
20
1
3
1
& &
& &
== = $ $
= =
$ $
$
olduğundan,
Örnek : % 30 u 282 olan sayının %15 inin kaç olacağını bulalım.
Çözüm :Sayı x olsun.
olarak bulunur. Bu sayının %15 i, olarak bulunur.
Örnek : Bir miktar paranın yıllık % 60 tan 3 yılda getirdiği faiz, aynı paranın yıllık % 70 faiz oranıyla 2
yılda getirdiği faizden 200 TL fazladır. Bu paranın kaç TL olduğunu hesaplayalım.
Çözüm 
aranın x TL olduğu düşünülürse,
aranın x TL olduğu düşünülürse,verilen ifadeye uygun denklem olacaktır. O hâlde,
dir.
Örnek : Bir kasabanın nüfusu her yıl % 10 azalıyor. Kasabanın 3 yıl sonraki nüfusunun bugünkü nüfusuna oranı % kaçtır? Bulalım.
Çözüm : Kasabanın nüfusu 100x olsun.
1. yıl sonundaki nüfus : tir.
2. yıl sonundaki nüfus : tir.
3. yıl sonundaki nüfus : tir.
3. yıl sonundaki nüfusun bugünkü nüfusa oranı ,
%, . x
x
olur 100
72 9
= 72 9
81x xx ,
100
10
- = $81 72 9
90x xx 100
10
- = $90 81
100x xx 100
10
- = $100 90
xx x x TL 10
18
10
14 200 10
4
=+ = = & & 200 500
x x 100
60 3
100
70
$$ $$ = + 2 200
940 100
15
x x $ = 141 100
30
$ = = 282 940 &246
Örnek : Hangi sayının % 40 ının 3 fazlası, aynı sayının % 60 ına eşittir? Bulalım.
Çözüm :
=
Örnek : % 40 tan 2 yılda faiziyle birlikte 2970 TL olan paranın kaç lirasının faiz olduğunu bulalım.
Çözüm : Ana para A, faiz F olsun.
F = A . n . t ⇒ F = A . . 2 ⇒ F = tir.
F + A = 2970 ⇒ + A = 2970
⇒ = 2970 ⇒ A = 1650 TL dir.
2 yılda oluşan faiz miktarı 2970 TL – 1650 TL = 1320 TL dir.
=
Örnek : Yanda bir bankanın günlük, aylık ve yıllık faiz oranları verilmiştir. Buna göre problemler kuralım.
Çözüm : Tabloya göre aşağıdaki problemler kurulabilir.
a. 5000 TL bankaya yatırılırsa 3 aylık faizi ne olur?
b. 70 000 TL bankaya yatırılırsa 4 yol sonra toplam para ne kadar olur?
c. 31 000 TL günlük faizle 30 000 TL aylık faizle bankaya yatırılıyor. Aynı süre için hangisi daha fazla faiz getirir?
A
5
9
A
5
4
A
5
4
100
40
.
x x
x x
x x
x
x bulunur
100
40 3
100
60
100
40 300
100
60
40 300 60
300 20
15
&
&
&
&
$ $ + = + =
+ =
=
=
$
Günlük %0,05
Aylık %1,6
Yıllık %20
Hareket Problemleri
x yol, t zaman ve v hızı göstermek üzere,
x = v . t ( Yol = Hız . zaman ) ve Ortalama Hız olarak ifade edilir.
Örnek : Aralarında 630 km uzaklık bulunan iki araçtan biri saatte 30 km hızla, diğeri saatte 40 km hızla
birbirine doğru harekete geçiyor. Kaç saat sonra karşılaşacaklarını bulalım.
Çözüm : A ve B noktalarından hareket eden araçlar t saat sonra karşılaşsınlar. Bu durumda
ve olur.
40 . t + 30 . t = 630
⇒ 70t = 630 ⇒ t = 9 saat bulunur.
AC t = 40$ B 30 C t = $
Toplam man
Toplam yol
za = zaman
A
40 km sa /
30 km sa /
C B
630km
123 4444444444 4444444444247
Örnek : Bir araç A dan B ye 20 km hızla gidip hiç beklemeden 30 km hızla geri dönüyor. Gidiş-dönüş
toplam 15 saat sürdüğüne göre yolunun kaç km olduğunu bulalım.
Çözüm : Gidiş için t saat, dönüş için ( 15 – t ) saat kullanılır ve gidiş-dönüş yolunun birbirine eşit olduğu
düşünülürse verilen ifadeye ait denklem,
uzunluğundaki yol, 20 . 9 = 180 km olarak bulunur.
Örnek : Hızları saatte 60 km ve 40 km olan iki araç aynı anda A dan B ye doğru hareket ediyorlar. Hızlı
giden araç B ye varıp hiç beklemeden geri dönüyor. Hareketlerinden 5 saat sonra karşılaştıklarına göre
A ile B arası kaç km dir? Bulalım.
AB
20 30 15 2 3 15 2 3 15 3 5 45 9 t t t t t t t t olur = - =- = - = = $ $ ] ] g g & & && .
AB
Çözüm : A noktasından hareket eden araçlar 5 saat sonra C noktasında karşılaşsınlar. Hızı 40 km olan
aracın aldığı yol km, hızı 60 km olan aracın aldığı yol ise için 200 + 2x
tir. Bu araç bu yolu 5 saatte aldığından,
= 200 + 50 = 250 km dir.
Örnek : Hızları farkı saatte 30 km olan 2 araç, aynı anda aynı noktadan ters yönlere doğru harekete
başlıyorlar. 5 saat sonra aralarındaki mesafe 750 km olacağına göre hızlı giden aracın hızı saatte kaç
km dir?
Çözüm :
Bu durumda, hızlı giden aracın hızı; V + 30 = 60 + 30 = 90 km/sa. tir.
Örnek :Aralarında 20 km mesafe bulunan iki araçtan arkadakinin hızı saatte 80 km, öndekinin hızı saatte 60 km dir. Bu iki araç aynı anda, aynı yöne doğru harekete başlarsa arkadakinin kaç saat sonra
öndekine yetişeceğini bulalım.
Çözüm :
/ .
BA AC
V V
V V
V
V km sa
5 5 30
5 5 150
10
750
750
750
600
60
+
+ +
+ +
=
=
=
=
=
$
] g
AB
x .
x
x
x
km olur
60 5
300
100
200 2
200 2
2
50
=
=
=
=
+
+
$
AC 5 200 = 40$ = B x C =
A
→60 km/sa
→ 40 km/sa
40 5 200 $
= km C123 44 44
x
B
123 44444444 44444444
V
B C A
V + 30
750
123 44444444 44444444
AB C
20 km
123 444 444
→ 80 km/sa → 60 km/sa
Arkadan gelen araç öndeki aracı t saat sonra C de
yakalasın. Bu durumda,
;
.
AC t BC t
AB AC BC
t t
t saat bulunur
80 60
80 60
20
20
1
= =
= -
-
=
=
=
$ $248
Örnek : Durgun sudaki hızı saatte 50 km olan bir deniz aracı, akıntı hızı saatte 5 km olan bir nehirde
belli bir süre gidiyor ve hiç durmadan başladığı yere geri dönüyor. Gidiş–dönüş süresi 10 saat olduğuna
göre aracın aldığı toplam yolu bulalım.
Çözüm : Deniz aracı akıntı yönünde t saat gitmiş olsun. Bu durumda, dönüş süresi 10 – t olur. Bu aracın
akıntı yönündeki hızı, 50 + 5 = 55 km/sa ve akıntıya ters yöndeki hızı, 50 – 5 = 45 km/sa tir. Bu durumda,
Örnek : Bir araç A dan B ye 30 km hızla gidiyor ve 45 km hızla geriye dönüyor. A dan B ye gidip tekrar
dönen bu aracın gidiş ve dönüşteki ortalama hızını hesaplayalım.
Çözüm :
Alınan Yol : dir.
Ortalama Hız km/sa.
Örnek : Bir otomobil gideceği yolun ünü gittikten sonra hızını ilk hızının 2 katına çıkararak 18 saatte yolu tamamlamıştır. Bu otomobil hızını artırmadan önce aldığı yolu kaç saatte almıştır? Bulalım.
Çözüm : Yolun tamamı 5x birim olsun.
Örnek : Çevresi 650 m olan dairesel bir pistte aynı noktadan aynı anda zıt yönde harekete başlayan iki
hareketlinin hızları sırasıyla 45m/dk ve 5m/dk dır. Bu iki hareketlinin kaç dakika sonra karşılaşacakları-
nı bulalım.
.
xv t
x vt
v t vt
t t
t t t t olarak bulunur
2 18
4
4 2 18
8 18
144 8 144 9 16
&
&
& &&
= -
=
- =
- =
-= = =
$
$
$$ $
$
]
]
]
g
g
g
3
5
4
Toplam man
Toplam ol
k
k
Za
y
5
180
= == 36
AB t k k == = 30 30 3 90 $ $
1
30 45 2 3 3 , 2 .
$ $ $$ t t t t t k t k olur 1 2 1 21 2 = = == & &
A
V→ 2V→
4x = V . t x = 2V(18–t)
x
678 444 444
4x
678 444444 444444
B
O hâlde gidiş ve dönüşteki aldığı toplam yol 2 . (55 . 4,5) = 495 km dir.
Örnek :
Çözüm : ; .
, .
AC t BC t ve AB AC BC t dir
Bu durumda
AB
BC
t
t
dir
50 30 20
20
30
2
3
= = =-=
= =
$ $
,
t tt t
t t
t
t saat
55 45 10 11 9 10
11 90 9
20 90
4 5
&
&
&
&
= - =-
= -
=
=
$
] ] g g
AB C
→ 50 km/sa → 30 km/sa
zaman
A ve B den aynı anda ve aynı yönde hareket eden iki
aracın saatteki hızları sırasıyla 50 ve 30 km dir. İki araç
aynı anda C ye vardıklarına göre oranı kaçtır? AB
BC249
Baba Küçük Çocuk Büyük Çocuk
Bugünkü yaşları : 2(x + x + 3) – 5 x x + 3
8 yıl sonra : 2(2x + 3) – 5 + 8
Anne Çocuk
Bugünkü yaşları : 28 0
k yıl sonraki yaşları : 28 + k 0 + k
Büyük Küçük
4x x
Yaş Problemleri
• Bir kişinin bugünkü yaşı x ise; k yıl sonraki yaşı x + k ve k yıl önceki yaşı : x – k dir.
• İki kişi arasındaki yaş farkı hiçbir zaman değişmez.
• İki kişinin k yıl sonraki yaşları toplamı x + 2k dir.
• İki kişinin k yıl önceki yaşları toplamı x – 2k dir.
Örnek : Bir anne çocuğu doğduğunda 28 yaşında idi. Kaç yıl sonra annenin yaşı çocuğunun yaşının 5
katı olur? Bulalım.
Çözüm :
28 + k = 5k ⇒ 28 = 4k ⇒ k = 7 yıl olarak bulunur.
Örnek : Bir babanın yaşı 3 yıl arayla doğmuş iki çocuğunun yaşları toplamının 2 katından 5 eksiktir. Bu
baba 8 yıl sonra 45. yaş gününü kutlayacağına göre küçük çocuğun kaç yaşında olduğunu bulalım.
Çözüm :
2(2x + 3) + 3 = 45 ⇒ 4x + 6 = 42 ⇒ 4x = 36 ⇒ x = 9 dur. Öyleyse
küçük çocuğun bugünkü yaşı 9 olur.
Örnek : 15 yıl sonra yaşları farkı 21 olacak olan iki arkadaştan büyüğün yaşı küçüğün yaşının 4 katı olduğuna göre şimdi büyüğün kaç yaşında olacağını bulalım.
Çözüm :
İki kişi arasındaki yaş farkı değişmeyeceğinden,
4x – x = 21 ⇒ 3x = 21⇒ x = 7 bulunur. Buna göre büyük olanın yaşı 4 . 7 = 28 dir.
Çözüm :
A
V1
= 45m/dk
V2
= 5m/dk
Çember üzerinde aynı noktadan zıt yönde hareket eden
iki hareketli karşılaştıkları anda pistin uzunluğu kadar yol
alırlar. O hâlde,
650 = (45 + 5).t
⇒ 650 = 50 . t ⇒ t = 13 dk. bulunur.
Örnek : Yanda bir pist ve pistte yarışaçak arabaların hızları verilmiştir. Buna gö-
re problemler kuralım.
Çözüm : Yandaki yarışçıların hızları ve pist göz önünde bulundurularak aşağı-
daki problemler kurulabilir.
a. A, D ve C den geçip tekrar A ya gelerek yapılan bir yarışta birinci yarışçı
ikinciye ne kadar fark atar?
b. Aynı anda yarışa başlayan yarışçılar arasında en az 80 km fark olması için
en az kaç km yol almaları gerekir?
c. 2. ve 3. yarışçılar A dan ters yönde yarışa başlarsa en erken kaç dakikada karşılaşırlar?
V1
= 200 km/h
V2
= 180 km/h
V3
= 220 km/h
E
C
D
44 km
48 km
42 km
B
A250
Baba Kızı
Bugün 28 6
k yıl sonra 28 + k 6 + k .
k
k
k k
k k
k
k bulunur
6
28
7
18 7 28 18 6
196 7 108 18
88 11
8
&
&
&
&
+
+ = += +
+= +
=
=
$ $ ] ] g g
Gonca Canan
Bugün : x + 4 x
3 yıl sonra : x + 7 x + 3
4 yıl sonra : x + 4
Kemal Abla
Bugün : x 4x
8 yıl sonra : x + 8 4x + 8
x
x
x x
x
x
4 8
8
4
3
4 32 12 24
8
1
8
&
&
&
+
+ = += +
=
=
Örnek : 28 yaşındaki bir babanın kızı 6 yaşındadır. Kaç yıl sonra yaşları oranının olacağını
bulalım.
Çözüm :
Örnek : Yaşları birbirinden farklı 5 kardeşin yaşlarının aritmetik ortalaması 10 dur. Kardeşlerden
hiçbiri 12 yaşından büyük olmadığına göre en küçük kardeşin yaşının en az kaç olabileceğini hesaplayalım.
Çözüm : 5 kardeşin yaşlarının aritmetik ortalaması 10 olduğundan,
Yaşları toplamı 50 olan kardeşlerden hiçbiri 12 yaşından büyük olmadığından,
seçimiyle en küçük kardeşin yaşı 50 – 42 = 8 olarak bulunur.
Örnek : Gonca’nın yaşı, Canan’ın 4 yıl sonraki yaşına eşittir. 3 yıl sonra Gonca’nın yaşı, Canan’ın
yaşının 2 katından 3 eksik olacağına göre Gonca ile Canan’ın bugünkü yaşları toplamını bulalım.
Çözüm :
x + 7 = 2(x + 3) – 3 ⇒ x + 7 = 2x + 3 ⇒ x = 4
Gonca ile Canan’ın bugünkü yaşları toplamı x + 4 + x = 4 + 4 + 4 = 12 olur.
Örnek : Ece ve Burak’ın bugünkü yaşları toplamı 18 dir. Buna göre 8 yıl sonraki yaşları toplamının kaç
olacağını bulalım.
Çözüm :
18 + 2 . 8 =18 + 16 = 34 tür.
Örnek : Kemal ile ablasının bugünkü yaşları oranı dir. 8 yıl sonra bu oran olacaktır. Buna göre
Kemal ile ablasının bugünkü yaşları farkı kaçtır? Bulalım.
Çözüm :
O hâlde Kemal ile ablasının bugünkü yaşları farkı : 3x = 3 .1 = 3 tür.
4
3
4
1
a b c d e 50
9 10 11 12
+++ + =
----
.
abcde a b c d e olur 5
10 50 &
++++ = ++++=
7
18251
Baba İki çocuk
Bugün : 3x + 25 x
k yıl sonra : 3x + 25 + k x + 2k
Örnek : Bir babanın yaşı iki çocuğunun yaşları toplamının 3 katından 25 fazladır. Kaç yıl sonra babanın
yaşı çocuklarının yaşları toplamının 3 katına eşit olur? Bulalım.
Çözüm :
3x + 25 + k = 3 . (x + 2k) ⇒ 3x + 25 + k = 3x + 6k
⇒ 25 + k = 6k⇒ 25 = 5k ⇒ k = 5 bulunur.
Karışım Problemleri
Örnek : Şeker oranı % 20 olan 30 kg lık karışıma kaç kg şeker eklenirse karışımın yeni şeker oranı %70
olur? Bulalım.
Çözüm : 30 kg lık karışımda 30. = 6 kg şeker vardır.
& & 3 150 x x kg = = 50 şeker eklenmelidir.
60 10 210 7 x
x
x
x x 30 x
6
100
70
30
6
10
7
& & +
+ = +
+ = +=+
20
100
Örnek : % 60 ı su olan 30 g şekerli su ile % 20 si şeker olan 170 g şekerli su karıştırılırsa karışımın
şeker oranı ne olur? Bulalım.
Çözüm :
Bu durumda şeker oranı
Örnek : % 20 lik H2
SO4
çözeltisinin 250 gramını % 40 lık yapmak için ne kadar H2
SO4
eklenmesi
gerektiğini bulalım.
Çözüm : Çözeltide H2
SO4
vardır. Çözeltinin % 40 lık olması için
olmalıdır. Öyleyse,
.
x x xx
x x x x g eklenmelidir
250 100
40 50 2 250 5 50
500 2 250 5 3 250 3
250
5
2
&
& &&
+ = + += + $
+= + = =
] ]] g gg
250 x x 50 100
40 ] g + =+ $
250 g
100
20
$ = 50
% 23 . olur 170 30
12 34
200
46
100
23
+
+ ===
3 0 g sudur.
100
6 0 18
17 0 100
2 0 34
$
$
=
=
30 g şekerli suyun
170 g şekerli suyun gramı şekerdir.
O hâlde 30 – 18 = 12 gramı şekerdir.
Örnek : Yandaki tabloda verilen bilgilerle problemler kuralım.
Çözüm :
a. Anne-baba ve en küçük çocuğun yaşları toplamı 56 olduğuna göre en büyük
çocuk en az kaç yaşında olabilir?
b. Anne 26 yaşında ve ebeveynin yaşları toplamı çocukların yaşları toplamının
4 katı ise en küçük çocuk kaç yaşındadır?
c. Büyük çocuk 10, baba 36 yaşında ise aile fertlerinin yaşları toplamı kaç olur?
1. Anne-baba yaş farkı
4
2. 3 çocuklu bir aile
3. Çocuklar arası yaş
farkı en az 2 yaş252
Örnek : % 30 luk 150 g tuzlu su güneşte bırakılınca 120 g kalıyor. Bu durumda yeni karışımın tuz oranının ne olacağını bulalım.
Çözüm : Karışımdaki tuz miktarı
Güneşte kaldığında tuz miktarı değişmeyeceğinden
Dolayısıyla karışım % 37,5 luk olmuştur.
Örnek : 80 gr altın-gümüş karışımında %40 gümüş vardır. Bu karışıma 6 gr daha gümüş ekleniyor. Elde edilen bu karışıma ne kadar altın katılırsa gümüş oranı %20 olur? Bulalım.
Çözüm : 80 gr lık karışımda 80 . gr gümüş vardır. Karışıma 6 gr gümüş ve x gram altın eklenirse
Örnek : Yandaki karışımlara göre problem kuralım.
Çözüm : a. Yandaki iki karışım birleştirilirse karışım yüzde kaçlık bir karışım olur?
b. A kabına 20 litre su eklense karışım yüzde kaçlık olur?
c. B kabının derişimi yarıya indirebilmek için kaç litre su harcamak gerekir?
Kâr-Zarar Problemleri
Kâr = (alış fiyatı) . (kâr yüzdesi) = (satış fiyatı) – (alış fiyatı)
Zarar = (alış fiyatı) . (zarar yüzdesi) = (alış fiyatı) – (satış fiyatı)
İndirim = (satış fiyatı) . (indirim yüzdesi) dir.
Örnek : % 20 kârla satılırken satış fiyatı üzerinden % 10 indirim yapılarak satılan bir maldan % kaç kâr
elde edilir? Bulalım.
Çözüm : Malın alış fiyatı 100x olsun.
Bu durumda alış fiyatı 100x olan bir mal 108x e satılacağından % 8 kâr elde edilir.
Örnek : % 30 kârla satılan bir mal, satış fiyatı üzerinden % 20 lik bir indirim yapılarak 5200 TL ye satı-
lıyor. Bu malın maliyetinin kaç TL olduğunu bulalım.
Çözüm : Malın alış fiyatı 100x olsun.
Bu durumda satış fiyatı 104x = 5200 ⇒ x = 50 bulunur.
Malın maliyeti 100.50 = 5000 TL dir.
100 130 104 x xx x xx x 100 100 100
30 130 130 100
% % 30 20 k rla zarar a 20 c c += -= $ $ m m
100 120 x xx x xx x 100 100 100
20 120 120 100
10 108 % % 20 10 k r indirim a
c c + = -= $ $ m m
.
x
olur yleyse
x
x
x gr
O
80 6
32 6
100
20
86
38
5
1
190 86
104
&
&
+ +
+ =
+
= =+
=
32 100
40
=
15 45 . 0 g olur
100
3 0
=
120 g tuzlu suda 45 g tuz varsa
100 g tuzlu suda x g tuz vardır.
x g 37,5 dır.
12 0
45 10 0
12
45 10
2
75
3
= = ==
$ $
altın katılmalıdır.
Ö
â
â
6
2
%20
10 ,
B A
%35
40 ,
Kâr = (alış fiyatı) . (kâr yüzdesi) = (satış fiyatı) – (alış fiyatı)
Zarar = (alış fiyatı) . (zarar yüzdesi) = (alış fiyatı) – (satış fiyatı)
İndirim = (satış fiyatı) . (indirim yüzdesi) dir. 253
Örnek : Bir satıcı malının sini % 30 kârla, geri kalanını % 20 zararla satıyor. Bu malın tamamı için
kâr - zarar durumunu inceleyelim.
Çözüm : Malın tamamı 100x olsun.
Bu durumda alış fiyatı 100x olan bir mal 100x TL ye satılmıştır. Satıcı ne kâr ne de zarar etmiştir.
Örnek : % 10 kârla 330 TL ye satılan bir mal, % 10 zararla kaç TL ye satılır? Bulalım.
Çözüm : Malın alış fiyatı 100x olsun.
110x = 330 ⇒ x = 3 tür. O hâlde malın alış fiyatı 100 . x = 100 . 3 = 300 dür.
ye satılır.
Örnek : % 40 zararla 120 TL ye satılan bir mal, % 20 kârla kaç TL ye satılır? Bulalım.
Çözüm : Malın alış fiyatı 100x olsun.
60x = 120 ⇒ x = 2 dir. O hâlde malın alış fiyatı 100x = 100 . 2 = 200 dür.
ye satılır.
Örnek : Bir satıcı aldığı bir malı % 20 kârla 1800 TL ye, başka bir malı da % 20 zararla yine 1800 TL ye
satıyor. Bu satıcının bu iki satıştan sonraki kâr-zarar durumu nedir? Bulalım.
Çözüm :% 20 kârla satılan malın maliyeti 100x olsun.
O hâlde malın maliyeti 1500 TL dir.
% 20 zararla satılan malın maliyeti 100y olsun.
O hâlde malın maliyeti 2250 TL dir.
Bu satıcı bu iki malı 1500 + 2250 = 3750 TL den alıp 1800 +1800 = 3600 TL ye satmıştır. O hâlde
satıcı 3750 – 3600 = 150 TL zarar etmiştir.
Örnek : Yandaki tabloda bir mağazadaki kaban fiyatları ve yapılan indirimler
verilmiştir. Buna göre problemler kuralım.
Çözüm : a. Hangi tarife daha uygundur?
b. En ucuz ve en pahalı kabanlar kaç liraya satılırlar?
c. En fazla indirim hangi üründe olmuştur?
100 120 1800 15 y yy tir.
% 20k r
= = &
100 120 1800 15 x x x tir.
% 20k r
= = &
200 200 200 TL 100
20 240 % kr 20 a
b
+ = $ l
100 100 100 x x x x tir.
100
40 60 % zarar 40 b - = $ l
300 300 300 TL 100
10 270 % zarar 10 b
- = $ l
100 100 100 x x x x tir.
100
10 110 % kr 10 a
b
+ = $ l
: .
: .
si x x x x x x
u x x x xx x
xx x
5
2
100 5
2
40 40 40 40 100
30 52
5
3
100 5
3
60 60 60 60 100
20 48
52 48 100
%
%
k r
zarar
30 a
20
$
$
= +=
= -=
+ =
b
b
l
l
_
`
a
b
b
b
b
5
2
Malın
Malın ü
â
â
â
â
â
1. 200 TL→ %30
2. 190 TL→ %10
3. 250 TL→ %40 254
İşçi-Havuz Problemleri
Örnek : Bir havuzu doldurmak için A, B, C muslukları yapılmıştır. A musluğu boş havuzu 12 saatte, B
musluğu 18 saatte, C musluğu ise 24 saatte doldurmaktadır. Buna göre;
a. 3 musluğun bu havuzu kaç saatte dolduracağını,
b. A musluğu 3 saat, B musluğu 4,5 saat açık kaldıktan sonra kalan kısmı C musluğunun kaç saatte dolduracağını bulalım.
Çözüm : a. 1 saatte A havuzun sini, B ini, C ünü doldurur. 1 saatte toplamda havuzun
si dolar.
1 saatte havuzun si doluyor.
x saatte havuzun si dolar.
6 saatte dolar. elde edilir x . 1 A B C A B C x
111 111 1
x x .
c m ++ ++= = & 72
13
72
72
13
72
= = & ,
72
72
72
13
24
1
18
1
12
1
72
13 ++=
24
1
18
1
12
1
b. 3 saatte A musluğu havuzun ünü doldurur.
saatte B musluğu havuzun ünü doldurur.
Toplamda havuzun si dolmuş olur. C musluğu havuzun tamamını 24 saatle dolduruyorsa yarısı dolu olan havuzu saatte doldurur.
Örnek : Bir halıyı Hasan 6 günde, Hüseyin 4 günde, kağan ise 12 günde dokumaktadır.
a. Üçü birlikte halıyı kaç günde dokurlar?
b. Hüseyin 1 gün çalıştıktan sonra üçü birlikte kaç günde dokurlar.
c. Hasan 1,5 gün, Hüseyin 2 gün çalışırsa geriye Kağan’a kaç günlük iş kalır?
ç. İşin tamamının 1 günde bitmesi için 4. kişinin işin tamamını kaç günde bitiren bir kişi olması
gerekir?
Çözüm : a. Hüseyin işin tamamını 4 günde bitirebiliyorsa üçü birlikte çalıştığında iş 4 günden daha kısa
sürede biter.
1 günde işin si biter. O hâlde işin tamamı
1 günde si
x günde si
günde biter. x
x
2
= = 1 2 &
2
2
2
1
6
1
4
1
12
1
12
6
2
1
++ = =
2
24
= 12
4
1
4
1
4
2
2
1
+==
/
18
9 2
4
1
4 5, =
2
9
= c m
12
3
4
1
=
(3) (4) (6)
Yandaki çözüm değişkenlerle ifade edilecek olursa
1 saatte lik kısım dolar.
x saatte 1 (tamamı) dolar.
A B C
111 + +
Bir havuzu sırasıyla A, B, C saat sürede dolduran muslukların hepsi aynı anda açıldığında havuz x saatte doluyorsa, x,A,B,C arasında bağıntısı vardır. x
A B C
1111
= + +255
ALIŞTIRMALAR
1. Hangi sayının yarısının 2 eksiğinin olur?
2. Bilet gişesindeki kuyrukta, Ceren önden dokuzuncu, Ceyda arkadan on birinci sıradadır. Ceren ile
Ceyda arasında 5 kişi bulunup Ceyda gişeye daha yakın olduğuna göre bu kuyrukta kaç kişi vardır?
3. Zeliha ile Arzu’nun yaşları toplamı 30 dur. Zeliha, Arzu’nun yaşında iken Arzu 12 yaşında idi. Buna
göre Zeliha bugün kaç yaşındadır?
4. 30 yaşındaki bir babanın, 2 çocuğunun yaşları toplamı 10 dur. Kaç yıl sonra, babanın yaşı çocuklarının yaşları toplamına eşit olur?
5. Aralarında 300 km mesafe bulunan A ve B kentlerinden aynı anda iki araç birbirlerine doğru saatte 40 km ve saate 60 km hızlarıyla harekete başlıyorlar. Kaç saat sonra karşılaşırlar?
6. A dan saatteki hızı 40 km olan bir araçla, B den saatteki hızı 50 km olan başka bir araç aynı anda
birbirlerine doğru harekete başlıyorlar. Araçlar birbirleriyle karşılaştıklarında A ya gidenin 4 saatlik
yolu kaldığına göre A ile B arası kaç km dir?
i,
4
1
5
b. Hepsi birlikte işin tamamını 2 günde bitiriyorlarsa Hüseyin 1 gün tek çalışırsa işin tamamı 2 günden fazla sürer.
Hüseyin 1 günde işin ünü yapar geriye lük kısım kalır.
lük kısım 2 günde
lük kısım x günde
günde işin tamamıbiter.
O hâlde toplamda 1 + 1,5 = 2,5 günde biter.
c. Hasan 1,5 günde işin ünü bitirir. Hüseyin 2 günde işin sini bitirir. Geriye işin
lük kısmı kalır. Kağan işin tamamını 12 günde bitiriyorsa 4 te birini günde
bitirir.
ç. Üç işçi işin tamamını 2 günde bitirmektedir. 1 günde işin yarısı biter yarısı lik kısmını 1 günde yapabilecek 4. bir işçi gerekir.
1 günde işin sini yapan 4. işçi, işin tamamını günde bitirir.
O hâlde 4. işçinin işin tamamını 2. günde yapabilecek olması gerekir.
Örnek : Yandaki tabloda bir sınıftaki öğrencilerin soru çözme hızları verilmiş-
tir. Buna göre problemler kuralım.
Çözüm :
1. Ahmet’in 1 günde çözdüğü testleri Mehmet kaç günde çözer?
2. Ali ve Veli’nin birlikte 2 günde çözdüğü sayıda test sorusunu Tunç kaç
günde çözer?
3. Aynı süre içinde öğrencilerin en fazla soru çözenden, en az soru çözene doğru sıralayınız.
1 2/
1
= 2
2
1
2
1
c m
12.
4
1
1 = 3
4
1
2
1
4
1
-+= c m
4
2
2
1
=
/
6
3 2
4
1
=
x 2. , 4
3
2
3
= == 1 5
4
3
4
4
4
3
4
1
Gün Gün
Ahmet x
Mehmet 5x
Ali 2x
Veli 3x
Tunç 4x256
4. TEST
1. 2
7
. 83
. 258
çarpımının en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
A. 1015 B. 1016 C. 1017 D. 1018 E. 1019
2. (443)x
= 227 ise x sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 E. 3
3. (123)4
+ (234)5
toplamının 6 tabanındaki eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A. (200)6
B. (210)6
C. (230)6
D. (240)6
E. (250)6
4. a > 2 olmak üzere 2a3
+ a sayısının a tabanındaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
A. (21)a
B. (201)a
C. (2010)a
D. (2011)a
E. (2111)a
5. 24x
sayısının 96 tane doğal sayı böleni olduğuna göre x sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7
6. k, n ∈ N olmak üzere 27! . 15 = k . 6n
olmak üzere n sayısının en büyük değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 E.16
7. 1! + 3! + 5! + 7! + ... +157! sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 E. 7
8. 2a3b dört basamaklı sayısı, 9 ile tam bölünebilmekte ve 5 ile bölümünden 3 kalanını vermektedir.
Buna göre a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A. 18 B. 16 C. 12 D. 9 E. 6
9. 24 litre su, 32 litre meyve suyu ve 36 litre limonata hacimleri eşit şişelere hiç artmamak koşuluyla
doldurulacaktır. En az kaç şişe kullanılır?
A. 6 B. 8 C. 9 D. 17 E. 23
10. 12, 15 ve 18 sayılarına tam bölünebilen üç basamaklı en büyük sayı kaçtır?
A. 900 B. 960 C. 980 D. 990 E. 996
11. işleminin sonucu kaçtır?
A. –7 B. –5 C. –4 D. –1 E. 4
12. a, b, c ardışık üç çift sayı olmak üzere, a < b < c ise (b – a)3
+ (a – c)2
ifadesinin eşiti kaçtır?
A. 12 B. 18 C. 24 D. 28 E. 30
13. a, b ∈ Z
+
olmak üzere, a2
– b2
= 23 ise a + b kaçtır?
A. 13 B. 15 C. 20 D. 23 E. 33
14. 1233 + 6421 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
15. 19761978 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 E. 8
16. x sayısının 6 ya bölümünden kalan 5 ve y sayısının 6 ya bölümünden kalan 4 ise x2
. y2 sayısının
6 ya bölümünden kalan kaçtır?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6
6] ] - - + - -- -- 55 53 8 7 g g : @ 6 ] g@
7. 4 sayısı, 16 nın yüzde kaçıdır?
8. % 40 kârla satılırken satış fiyatı üzerinden % 10 indirim yapılarak satılan bir maldan % kaç kâr edilir?
9. 2000 TL nin % 80 den 3 aylık faizi ne kadardır?
10. Tuz oranı % 70 olan 600 g tuzlu su karışımının yarısı dökülüyor. Dökülen miktar kadar % 10 u tuz
olan başka bir karışım ilave ediliyor. Yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?
11. Bir havuza açılan 2 musluktan bir havuzu 9 günde değeri 6 günde doldurmaktadır. İlk musluk 6 saat açık kaldıktan sonra diğeride açılıyor, havuz kaç günde dolar?257
17. işleminin sonucu kaçtır?
A. –1 B. C. D. 1 E.
18. işleminin sonucu kaçtır?
A. B. C. D. E.
19. a ve b aralarında asal sayılardır. ise a . b kaçtır?
A. 12 B. 48 C. 108 D. 120 E. 150
20. Aşağıdakilerden hangisi sayısı arasında değildir?
A. B. C. D. E.
21. olduğuna göre B A aşağıdakilerden hangisidir?
A. B. C. D. E.
22. denkleminin çözüm kümesi {1} ise a sayısı kaçtır?
A. 6 B. C. D. 7 E. 8
23. ise x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7
24. ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı
değerlerinin çarpımı kaçtır?
A. –36 B. –32 C. –27 D. –24 E. –21
25. ifadesinde a nın hangi değeri için b bulunamaz?
A. B. C. 1 D. E. 2
26. kaçtır?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
27. denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A. {0} B. {–2} C. {0, –2} D. {1} E. ∅
28. toplamının en küçük değeri kaçtır?
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 E. 16
29. eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 E. 12
1 14 G G xaaa -+++- 351
3 1 52 x+ +=
a b a b ise a b +- + -- = + 3 2 30
2
3
3
2
3
1
a
b
b
3 2
2 1
=
+
-
-- - 1 32 1 3 GG GG x ve y ise x y
x
x
3
2
1
2
2
1
1
+
-
-
- =
3
20
3
19
a x x
1 a
3
] g + -+= - 52 1
63 5, h ^3 5, @ ^ h 3 5, 6 @ 3 5, 63,+3h
A ve B =- = + ^h h 3 3 , , 3 26
15
8
15
7
30
13
5
2
30
11
ile 3
1
2
1
,
b
a
=0 75
42
13 17
42 42
11
42
7
42
1
3
1
2
1
7
2
14
1
- + $
4
21
21
4
21
4
-
,
,
,
0 2
1
0 8
0 8
-258
30. işleminin eşiti kaçtır?
A. –5–11 B. –511 C. –511 D. 5–11 E. 5–12
31. işleminin sonucu kaçtır?
A. B. C. 1 D. 2 E.
32. ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A. B. 2a5
C. a6
D. E. 3a5
33. ise n kaçtır?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
34. ise x aşağıdakilerden hangisidir?
A. 0 B. C. 1 D. E. 2
35. işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A. B. C. D. E. 2
36. eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
A. B. –1 C. 0 D. E. 1
37. ifadesinin değeri kaçtır?
A. B. C. 1 D. E.
38. işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A. B. C. 0 D. E.
39. oranı kaçtır?
A. B. C. D. E.
40. 12 işçi 6, parça işi 2 günde bitirebiliyorsa 8 işçi 30 parça işi kaç günde bitirebilir?
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 E. 16
41. Bir havuzun, biri 6 diğeri 8 saatte havuzu dolduran iki vanası ile 12 saatte boşaltan bir vanası vardır.
Hepsi birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?
42. 172 TL ye satılan mal önce %10 zam daha sonra son satış fiyatı üzerinden %9 indirimle satılıyor.
Malın son fiyatı ilk fiyatından ne kadar fazla veya azdır?
10
9
5
4
10
7
5
3
2
1
a b
ve
b c ise c
a
3
= = 5 3 2
-2 2 - 2 2 2 2
2 2
1
2 2
1
+
-
-
2 2 2 5 2 5
6 25 6 25 + +-
2
3
2
3
-
16
4
64
1
5 2
2
x
x
4
= -
-
5
9
5
8
5
7
2
3
0 49 0 64 0 01 ,,, + -
2
3
2
1
,
333
3333
xxx 0 3
xxxx
+ +
$$$ =
7 7 7 7 49 ...
tan
nnn n
n e
3
1
=
+
123 444$ $
4 444
a
3
a 1 5
2
5
2 a ise
8
4
1
2
x
x
x
= - -
-
49
144
144
49
144
48
3 2 1 2 +
- - -2
^ h
555 1 3 4
- -
- -
$ $
2 3
^ ^ h h ] g259
SÖZLÜK
A
açık önerme: İçerisinde değişken bulunan ve bu değişkenin alacağı değerle doğruluğu veya
yanlışlığı kesinleşen önerme.
aksiyom: Doğruluğu ispatsız kabul edilen önerme.
analitik düzlem: Üzerine koordinat sistemi yerleştirilmiş düzlem.
apsis: Koordinat düzlemindeki bir noktanın birinci bileşeni (x).
apsisler ekseni: Koordinat düzlemini oluşturan yatay eksen (x ekseni).
aralarında asal sayılar: “1”den başka ortak böleni olmayan doğal sayı çifti.
asal sayı: “1” ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan 1 den büyük tam sayı.
asal çarpanlara ayırma: Herhangi bir sayma sayısını, asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazma.
ayrık kümeler: Ortak elemanları olmayan kümeler.
B
bağıntı: Bir kartezyen çarpımının alt kümesi.
bazı (en az bir) niceleyicisi: Önüne geldiği önerme kalıbını, en az bir değer için doğrulaması gereken niceleyici (“ ” sembolü ile gösterilir.).
bileşik önerme: En az iki önermenin “ve, veya, ise, ancak ve ancak” bağlaçları ile birleşmesinden
oluşan önerme.
birim fonksiyon: Tanım kümesinin her elemanını, yine kendisine eşleyen fonksiyon.
boş küme: Hiç elemanı olmayan küme.
Ç
çarpanlara ayırma: Bir ifadeyi kendisinden daha basit ifadelerin çarpımı biçiminde yazma.
çelişki: Doğruluk değeri daima 0 (sıfır) olan önerme.
çift gerektirme: Her zaman doğru olan iki yönlü koşullu önerme.
D
denk önermeler: Doğruluk değeri aynı olan önermeler.
etkisiz (birim) eleman: A kümesi üzerinde bir “ ” işlemi verilsin. ∀ x ∈ A için,
eşitliğini sağlayan e elemanı.
E
evrensel küme: Üzerinde çalışılan konu ile ilgili tüm elemanları içeren küme.
evrensel niceleyici: “∀” ile gösterilen ve “her” veya “bütün” diye okunan sembol.
F
fonksiyonun değer kümesi: f: A → B fonksiyonundaki B kümesi.
fonksiyonun görüntü kümesi: f: A → B fonksiyonundaki ƒ(A) kümesi.
fonksiyonun tanım kümesi: f: A → B fonksiyonundaki A kümesi.
_ xe ex x _ _ = =
7260
G
gerçek sayılar: Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar kümesinin hepsini
kapsayan kümenin elamanları. Reel sayılar.
gerektirme: Her zaman doğru olan koşullu önerme.
H
hipotez: p ⇒ q biçimindeki teoremde, p önermesi (verilenler).
hüküm: p ⇒ q biçimindeki teoremde, q önermesi (istenilen).
İ
irrasyonel sayılar: Rasyonel olmayan (devirli ondalık açılımları olmayan) sayılar.
ispat: Bir teoremin hükmünün doğru olduğunun gösterilmesi.
işlem: olmak üzere A x A’nın bir alt kümesinden herhangi bir B ⊂ R ye tanımlanan iki de-
ğişkenli fonksiyon.
K
kartezyen çarpım: Birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden seçilerek oluşturulan ikililerin kümesi (AxB).
koşullu önerme: p ⇒ q biçimindeki önerme.
M
matematiksel sistem: Bir küme ve bu küme üzerinde tanımlanmış bir veya daha fazla işlemin oluş-
turduğu sistem.
modüler aritmetik: Tam sayıların 1’den büyük bir doğal sayı ile bölümünden elde edilen kalan sı-
nıfları ile yapılan aritmetik.
muhakeme: Usa vurma. Bir sorunu çözmek için çıkar yol arama.
mutlak değer: Sayı doğrusu üzerinde sayının orijine uzaklığı.
O
OBEB: Sıfırdan farklı, en az iki sayıyı bölebilen en büyük sayı.
OKEK: Sıfırdan farklı, en az iki sayının bölebildiği en küçük sayı.
ordinat: Koordinat düzlemindeki bir noktanın ikinci bileşeni (y).
Ö
önerme: Doğru ya da yanlış bir hüküm bildiren cümle.
öz alt küme: Bir kümenin kendisi dışındaki alt kümelerinin her biri.
T
teorem: p ≡ 1 iken doğru olan p ⇒ q gerektirmesi.
totoloji: Doğruluk değeri daima 1 olan bileşik önerme.
V
varlıksal niceleyici: “∃” sembolü ile gösterilen bazı niceleyicisi.
Venn şeması: Bir kümenin elemanlarının, kapalı bir eğri içinde yazılarak gösterimi.
A ! Q261
KAYNAKÇA
Foresma, Scott, Exploring Mathematics, USA, 1994.
Halıcı, Emrehan, Zekâ Oyunları, TÜBİTAK Yayınları, Ankara, 2005.
Real Life Math, Scholastics Professional Books, Jefferson City, 2003.
Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı, Matematik Dersi Öğretim Programı ve Kılavuzu (9-12. Sınıflar), MEB, Ankara, 2005.
Türk Dil Kurumu, Türkçe Sözlük, Ankara, 2005.
Türk Dil Kurumu, Yazım Kılavuzu, Ankara, 2008.
SEMBOLLER
∧ ve
v veya
⇒ ise
⇔ ancak ve ancak
p' p önermesinin değili
≠ eşit değildir
≡ denktir
≡ denk değil
∈ elemanıdır
∉ elemanı değildir
⊂ alt küme
⊄ alt küme değil
∪ birleşim
∩ kesişim
∅, { } boş küme
A / B, A – B A kümesinin B kümesinden farkı
∃ bazı, en az bir
∀ her, bütün
A' A kümesinin tümleyeni
A x B A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı
f: A → B A’dan B’ye f fonksiyonu
f
–1 f fonksiyonunun tersi
gof f ve g fonksiyonlarının bileşkesi
a ≡ b(modm) a denktir b modül m
[a, b] a, b kapalı aralığı
(a, b) a, b açık aralığı
a’nın denklik sınıfı
N doğal sayılar kümesi
N+ pozitif doğal sayılar kümesi
Z tam sayılar kümesi
Z+ pozitif tam sayılar kümesi
Z– negatif tam sayılar kümesi
Q rasyonel sayılar kümesi
Q' irrasyonel sayılar kümesi
R gerçek sayılar kümesi
karekök
n inci dereceden kök
< küçüktür
≤ küçüktür veya eşittir
> büyüktür
≥ büyüktür veya eşittir
|x| x in mutlak değeri
n
a1. TEST 2. TEST 3. TEST 4. TEST
1 D 1 E 1 A 1 B
2 B 2 C 2 D 2 A
3 C 3 D 3 B 3 D
4 A 4 B 4 C 4 C
5 B 5 D 5 A 5 C
6 C 6 D 6 C 6 C
7 B 7 D 7 A 7 E
8 C 8 C 8 B 8 E
9 D 9 D 9 C 9 E
10 E 10 C 10 B 10 A
11 B 11 D 11 D 11 C
12 C 12 E 12 E 12 C
13 D 13 B 13 C 13 D
14 C 14 E 14 A 14 A
15 E 15 C 15 C 15 D
16 D 16 C
17 C 17 C
18 B 18 C
19 D 19 A
20 D 20 E
21 A 21 E
22 C
23 B
24 A
25 B
26 C
27 E
28 A
29 C
30 A
31 E
32 A
33 B
34 A
35 B
36 D
37 E
38 B
39 E
40 D
CEVAP ANAHTARLARI
262